Chứng minh. Dùng phép bổ sung đầy đủ của một không gian định chuẩn ta được một không gian BanachHp chứa H sao cho H là không gian con trù mật trong H.p
Vớix, yP pH sẽ tồn tại các dãy txnu,tynu H sao cho lim
nẹ8xnx, lim
nẹ8yny trongH.p
Theo Định lý 5.1.9 ta có
}xn yn}2 }xnyn}22p}xn}2 }yn}2q. Chonẹ 8, do tớnh liờn tục của hàm chuẩn ta suy ra
}x y}2 }xy}22p}x}2 }y}2q.
Theo chú ý trên, sẽ tồn tại một tích vô hướng trongHp cảm sinh ra chuẩn củaHp và ta có
nlimẹ8xxn, ynyHp xx, yyHp.
5.2 HÌNH CHIẾU TRỰC GIAO - CƠ SỞ TRỰC CHUẨN
5.2.1 Khái niệm trực giao. Hệ trực giao
Trong phần này ta luôn ký hiệuH là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 5.2.1. Hai phần tửx, yPH được gọi làtrực giao với nhau, ký hiệu là xKy, nếu xx, yy 0.
Một hệ S H được gọi là hệ trực giao nếu với mọi x, y P S và x y ta có xK y. Hơn nữa, nếu các phần tử của S có chuẩn bằng 1 thì S được gọi là hệ trực chuẩn.
Định lý 5.2.1. NếuS là một hệ trực giao gồm những phần tử khác không trongH thìS là một hệ độc lập tuyến tính và vớix1, . . . , xnPS ta cóđẳng thức Pythagore:
án i1
xi2
án i1
}xi}2.
Chứng minh.Giả sửx1, . . . , xnPS vàα1x1 αnxn0vớiαiPK, i1, . . . , n.
Khi đó với mỗij 1, . . . , n ta có 0 x0, xjy Aán
i1
αixi, xj
E xαjxj, xjy αj}xj}2.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 106 Doxi 0 ta suy ra αi 0, i 1, . . . , n. Vậy theo định nghĩaS là một hệ độc lập tuyến tính. Hơn nữa,
án i1
xi2Aán
i1
xi,
án j1
xj
E
án i1
án
j1
xxi, xjy
án i1
xxi, xiy
án i1
}xi}2.
Ta được điều cần chứng minh.
Như vậy, một hệ trực giao gồm những phần tử khác không là một hệ độc lập tuyến tính. Ngược lại, từ một hệ đếm được gồm những phần tử độc lập tuyến tính, ta có thể xây dựng được một hệ trực giao theo phương pháp được trình bày trong định lý sau đây gọi làphương pháp trực giao hóa của Schmidt.
Định lý 5.2.2. Giả sử txn, nPNu là một hệ đếm được và độc lập tuyến tính các phần tử trongH.Khi đó tồn tại các số αij, i¡j ¥1sao cho các phần tử
y1 x1
y2 x2 α21x1
y3 x3 α32x2 α31x1
. . . (5.8)
yn xn αnn1xn1 αnn2xn2 αn1x1 . . . .
lập thành một hệ đếm được và trực giao.
Chứng minh. Ta tìm các phần tử yn bằng quy nạp. Vớin 1 ta lấy y1 x1.Giả sử ta tìm đượcy1, y2, . . . , yn trực giao với nhau từng đôi một và có dạng (5.8). Ta hãy tìm yn 1 dưới dạng
yn 1xn 1 λnyn λn1yn1 λ1y1 (5.9) sao cho yn 1 trực giao với cácyi, i1, . . . , n.
Với mỗi i1, . . . , nta có
0 xyn 1, yiy xxn 1 λnyn λ1y1, yiy xxn 1, yiy λi}yi}2. Dox1, . . . , xnđộc lập tuyến tính nên y1, . . . , yn được xác định bởi (5.8) là các phần tử khác không và ta suy ra
λi xxn 1, yiy
}yi}2 , i1, . . . , n. (5.10)
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 107 Như vậy với các λi, i1, . . . , n xác định bởi (5.10) thì yn 1 xác định bởi (5.9) sẽ trực giao với các y1, . . . , yn được xác định bởi (5.8). Do đóyn 1 cũng có dạng
ynxn αnn1xn1 αnn2xn2 αn1x1.
Định lý được chứng minh.
Chú ý 5.2.3. Hệ trực giao y1, . . . , yn, . . . sinh ra không gian con M xtynunPNy trùng với không gian conN xtxnunPNy.
Chú ý 5.2.4. Từ hệtynunPNta có thể xây dựng được hệ trực chuẩn tenunPNbằng cách đặt en }yn
yn},n1,2, . . . ,và
xtenunPNy xtynunPNy xtxnunPNy.
5.2.2 Hình chiếu trực giao
Định nghĩa 5.2.2. Cho H là một không gian tiền Hilbert và M là một tập con củaH. Phần tử xPH được gọi là trực giao với M, ký hiệu là x KM, nếu xK m với mọimPM.
Ta ký hiệu
MK txPH :xKMu.
Tổng quát, vớiM, N H, ta gọiM trực giao với N,ký hiệuM KN nếu mKn với mọimPM, nPN.
Định lý 5.2.5. Giả sửM H.Khi đó MK là một không gian con đóng của H.
Chứng minh. Lấyx, yPMK vàα PK.Với mọi mPM, do mKx và mKy nên xx y, my xx, my xy, my 0,
xαx, my αxx, my 0, tức làx y, αxPMK. VậyM là không gian con của H.
Hơn nữa, giả sử dãy txnu MK và lim
nẹ8xnxo, xo PH,ta cúxxn, my 0 với mọi m P M và mọi n P N. Cho n ẹ 8 và chỳ ý rằng tớch vụ hướng là hàm liờn tục theo từng biến, ta suy ra xxo, my 0 với mọimPM. VậyxoPMK hay MK là
không gian con đóng củaH.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 108 Định lý 5.2.6. (Định lý hình chiếu trực giao)Giả sửM là một không gian con đóng của không gian HilbertH.Khi đó mỗixPHđều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng
xy z (5.11)
vớiyPM, zPMK, trong đó yPM là phần tử thỏa mãn }xy} dpx, Mq vày gọi là hình chiếu củax lên không gian M.
Như vậy H M `MK và không gian con đóng MK được gọi là phần bù trực giao của không gian con đóng M.
Chứng minh.Sự tồn tại biểu diễn (5.11).Từ giả thiết ta suy raM là tập lồi, đóng và khác rỗng. Vậy theo Định lý 5.1.10 sẽ tồn tạiyPM sao cho
}xy} dpx, Mq ¤ }xm}, @mPM.
Đặtzxy. Khi đóxy z vàzPMK.Thật vậy, với mọimPM và mọiαPK ta có
}z} }xy} ¤ }x py αmq} }zαm}. Do đó
}z}2¤ }zαm}2 xzαm, zαmy ¤ }z}2αxm, zy αxz, my |α|2}m}2. Chọn}m} 1 vàα xz, my.Khi đó bất đẳng thức trên trở thành
0¤ |xz, my|2. Suy raxz, my 0 với mọimPM, tức làzPMK.
Tính duy nhất của biểu diễn (5.11). Giả sử xy z y1 z1 vớiy, y1 PM vàz, z1 PMK.Khi đó ta suy rayy1 z1zPMXMK.
Vậy 0 xyy1, yy1y }yy1}2 }zz1}2,tức làyy1, zz1. Hệ quả 5.2.7. Giả sử te1, . . . , enu là một hệ trực chuẩn gồmnphần tử của không gian Hilbert H. Khi đó mỗi x P H có hình chiếu trực giao lên không gian con M xte1, . . . , enuy sinh bởie1, . . . , en là
y
án i1
xx, eiyei.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 109 Chứng minh. VìM là không gian con hữu hạn chiều của H nên M đóng trongH.
Vậy theo Định lý 5.2.6 ta cóxy zvớiylà hình chiếu trực giao củaxvàzPMK. VìyPM nên nó có dạng
y
án i1
αiei. Với mỗi j1,2, . . . , nta có
xx, ejy xy z, ejy xy, ejy xz, ejy xy, ejy @án
i1
αiei, ej
Eαj}ej}2 αj.
Vậyy
án i1
xx, eiyei.
Định nghĩa 5.2.3. Giả sửM là một không gian con đóng của H. Ánh xạ P :H ẹM
xịẹP xy
vớiy là hình chiếu của x lên M được gọi là phép chiếu trực giao củaH lên không gian conM.
Định lý 5.2.8. Phép chiếu trực giao P của không gian Hilbert H lên không gian con đóngM t0ulà một toán tử tuyến tính liên tục và }P} 1.
Chứng minh. Vớix, yPH và αPKtheo Định lý 5.2.6 ta có xP x z1, y P y z2
vớiz1, z2PMK.Suy ra
x yP x P y z1 z2
vớiz1, z2PMK vàP x P yPM.
Do tính duy nhất của biểu diễn (5.11) trong Định lý 5.2.6 ta có Ppx yq P x P y.
Tương tự ta cóPpαxq αP x.VậyP là toán tử tuyến tính. Hơn nữa, theo đẳng thức Pythagore ta có
}x}2 }P x}2 }z1}2¥ }P x}2. Do đó P là toán tử tuyến tính bị chặn và}P} ¤1.
Đặc biệt, nếu x PM thì P x x nên }P x} }x}. Suy ra}P} ¥ 1. Vậy ta kết
luận}P} 1.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 110 5.2.3 Hệ trực chuẩn
Trong mục này ta giả thiếtHlà không gian Hilbert. Nhắc lại rằng hệten, nPNu trongH gọi là một hệ trực chuẩn nếu
xei, ejy δij
#
1 nếu ij 0 nếu ij.
Định lý 5.2.9. Giả sử txn, nPNu là một hệ trực giao đếm được trong không gian HilbertH.Điều kiện cần và đủ để chuỗi
á8 n1
xn hội tụ là chuỗi
á8 n1
}xn}2 hội tụ và á8
n1
xn2 á8
n1
}xn}2.
Nói riêng, nếu ten, nPNulà một hệ trực chuẩn đếm được thì chuỗi
á8 n1
λnenhội tụ khi và chỉ khi chuỗi
á8 n1
|λn|2 hội tụ và á8
n1
λnen2 á8
n1
|λn|2.
Chứng minh. Đặt
Snx1 x2 xn
Sn }x1}2 }x2}2 }xn}2. Vớin, pPNta có
}Sn pSn}2
n pá
in 1
xi2
n pá
in 1
}xi}2 |Sn pSn|.
Do đó dãytSnulà dãy Cauchy trongHkhi và chỉ khi dãytSnulà dãy Cauchy trong R.
Vì H và Rlà những không gian đầy đủ nên tSnuhội tụ trong H khi và chỉ khi tSnu hội tụ trong R,tức là chuỗi
á8 n1
xn hội tụ là chuỗi
á8 n1
}xn}2 hội tụ. Hơn nữa
}Sn}2
án i1
xi2
án i1
}xi}2 Sn.
Chonẹ 8ta cú
á8 n1
}xn}2 á8
n1
xn2.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 111 Nếuten, nPNulà một hệ trực chuẩn thì kết quả phần sau của Định lý được suy ra ngay từ kết quả vừa chứng minh trên vì
}λnen}2 |λn|2, do}en}2 1, nPN.
Định lý 5.2.10. Giả sử ten, n P Nu là một hệ trực chuẩn đếm được trong không gian Hilbert H.Khi đó với mọixPH chuỗi
á8 n1
xx, enyen luôn hội tụ và
á8 n1
|xx, eny|2¤ }x}2. ()
Chuỗi
á8 n1
xx, enyen được gọi là chuỗi Fourier của x đối với hệ tenu còn hệ số xx, enygọi làhệ số Fourier củaxđối vớien.Bất đẳng thức () được gọi là bất đẳng thức Bessel.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 5.2.9 với λn xx, eny ta được chuỗi
á8 n1
xx, enyen. Vậy để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Bessel.
Với mọinPN,đặtMn xte1, e2, . . . , enuy.Như vậyMn là không gian con đóng nchiều củaH.Theo Định lý hình chiếu trực giao 5.2.6 và Hệ quả 5.2.7 ta có
xyn zn
vớiznPMnK vàyn
án i1
xx, eiyeiPMn.
VìynKznvà te1, e2, . . . , enu là hệ trực chuẩn nên }x}2 }yn}2 }zn}2 }
án i1
xx, eiyei}2 }zn}2
án i1
|xx, eiy|2}ei}2 }zn}2
án i1
|xx, eiy|2 }zn}2 ¥
án i1
|xx, eiy|2.
Bất đẳng thức này đỳng với mọi n.Cho nẹ 8 ta được bất đẳng thức Bessel.
5.2.4 Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa 5.2.4. Hệ trực chuẩn đếm đượcten, nPNu của không gian HilbertH được gọi làhệ đầy đủ hay là một cơ sở trực chuẩn đếm được củaH nếu không gian con sinh bởi hệtenu trù mật trong H,tức làM xtenuy H.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 112 Định lý 5.2.11. Giả sử ten, n P Nu là hệ trực chuẩn đếm được của không gian HilbertH.Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
a) ten, nPNulà cơ sở trực chuẩn b) x á8
n1
xx, enyen với mọixPH.
c) xx, yy á8
n1
xx, enyxy, eny với mọix, yPH.
d) }x}2 á8
n1
|xx, eny|2 với mọixPH. ( Đẳng thức Parseval).
Chứng minh.
pa ủ bq. Theo Định lý 5.2.10 ta cú chuỗi
á8 n1
xx, enyen hội tụ. Bằng cách đặt yx á8
n1
xx, enyen ta sẽ chứng minh y0.
Với mỗi mPNta có
xy, emy xx, emy Aá8
n1
xx, enyen, em
E xx, emy xx, emy 0.
Suy rayKM và do tính liên tục của tích vô hướng ta cũng suy rayKM H.Khi đó}y}2 xy, yy 0hay y0,tức là
x á8
n1
xx, enyen.
pbủcq. Từ tớnh liờn tục của tớch vụ hướng và tớnh trực chuẩn của hệ tenu ta cú xx, yy A á8
n1
xx, enyen,
á8 n1
xy, enyen
E lim
nẹ8
Aán
i1
xx, eiyei,
án j1
xy, ejyej
E
lim
nẹ8
án i1
án j1
xx, eiyxy, ejyxei, ejy lim
nẹ8
án i1
xx, eiyxy, eiy á8
i1
xx, eiyxy, eiy.
;pcủdq. Thay yxvào đẳng thức d) ta nhận được đẳng thức Parseval ở e).
pdủaq. Ta sẽ chứng minh MK t0u.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 113 Thật vậy, MK tz:zKMu nên với mọizPMK thì xz, eny 0 với mọinPN. Theo giả thiết ta có
}z}2 á8
n1
|xz, eny|2 0.
Vậyz0,tức làMK t0u.Theo định lý hình chiếu trực giao ta có H M`MK M .
Chú ý 5.2.12. Theo Định lý 5.2.11 ta nhận thấy đối với hệ trực chuẩnten, nPNu trong không gian HilbertH,nếu chuỗi Fourier củax đối với hệtenu hội tụ về chính phần tửx hoặc bất đẳng thức Bessel biến thành đẳng thức Parseval thì tenu là cơ sở trực chuẩn của H và ngược lại.
Sau đây ta sẽ xét một số các ví dụ về cơ sở trực chuẩn.
Ví dụ 5.2.13. Xét không gian `2.Ta biết rằng`2 là không gian Hilbert với tích vô hướng
xx, yy á8
i1
xiyi trong đóx pxnqnPN, y pynqnPNP`2.
Xét hệ ten, n P Nu `2 với en p0, . . . ,0, 1
pnq,0, . . .q. Vì xen, emy δnm nên ten, nPNulà một hệ trực chuẩn trong `2.
Mặt khác vớix pxnqnPNP`2 ta có xx, eny xn với mọinPN.
Đặt xpnq px1, x2, . . . , xn,0, . . .q P`2,}xxpnq} á8
kn 1
|xk|2 ẹ 0 khi n ẹ 8 (do
á8 n1
|xn|2 8). Hơn nữa
xpnq
án i1
xiei
án i1
xx, eiyei.
Chonẹ 8ta cú xpnqẹx hay
á8 n1
xx, enyenx.
Vậy theo Định lý 5.2.11 hệten, nPNu là một cơ sở trực chuẩn của`2.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 114 Ví dụ 5.2.14. Hệ các hàm lượng giác
?1 2π, 1
?πcosnx, 1
?π sinnx, n1,2, . . . () là một hệ trực chuẩn trongL2r0,2πs.
Thật vậy, ta biết rằng L2r0, πslà không gian Hilbert với tích vô hướng xf, gy
ằ
r0,2πsf gdà, vớif, gPL2r0,2πs.
Dễ dàng kiểm tra rằng hệ lượng giác () là một hệ trực chuẩn trongL2r0,2πs. Ta sẽ chứng minh không gian con sinh bởi hệ () trù mật trong L2r0,2πs.
Lấyf PL2r0,2πsvàε¡0 tùy ý. VìCr0,2πstrù mật trongL2r0,2πsnên tồn tại hàmg liên tục trên r0,2πssao cho
}fg}L2 ε{2. (5.12)
Ta có thể chọng sao cho gp0q gp2πq.
Theo định lý Weierstrass tồn tại một đa thức lượng giác ωpxq
án k0
pakcoskx bksinkxq sao cho
sup
0¤x¤2π|gpxq ωpxq| ε 2?
2π. Như vậy
}gω}L2 ằ2π
0
|gpxq ωpxq|2dx 1{2 ε{2 (5.13) Từ (5.12) và (5.13) ta có
}f ω}L2 ¤ }fg}L2 }gω}L2 ε,
tức là tập tất cả các đa thức lượng giác trù mật trongL2r0,2πs.1 Theo định nghĩa, hệ lượng giác () là một cơ sở trực chuẩn củaL2r0,2πsvà mọi phần tửf PL2r0,2πs đều có dạng
fpxq αo
?π
á8 k1
αk
coskx
?π βk
sinkx
?π
1Một câu hỏi đặt ra là: Có thể thay ở đây sự hội tụ theo mêtric của L2r0,2πs bằng sự hội tụ hầu khắp nơi không? Nghĩa là có thể chăng khẳng định được rằng chuỗi Fourier của hàm số fPL2r0,2πshội tụ hầu khắp nơi đến nó. Vấn đề này càng được nhiều người chú ý sau khi vào năm 1926 Kolmogorov xây dựng được một hàmf PLr0,2πscó chuỗi Fourier phân kỳ khắp nơi. Nhưng phải đợi đến 40 năm sau, năm 1966, Carleson mới chứng minh được rằng chuỗi Fourier của một hàm thuộcL2r0,2πsbao giờ cũng hội tụ hầu khắp nơi đến nó.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 115 với
αk 1
?π
ằ2π
0
fpxqcoskxdx, k0,1,2, . . . βk 1
?π
ằ2π
0
fpxqsinkxdx, k1,2, . . . Nếu đặt
ak 1 π
ằ2π
0
fpxqcoskxdx, k0,1,2, . . . bk 1
π
ằ2π
0
fpxqsinkxdx, k1,2, . . . thì ta có khai triển Fourier quen thuộc củaf
fpxq ao
2
á8 k1
akcoskx bksinkx .
Như đã thấy, nếu ten, n P Nu là một cơ sở trực chuẩn đếm được trong không gian HilbertH thì theo phần d) và e) của Định lý 5.2.11 mọi phần tử xPH đều có dạng
x á8
n1
xx, enyen và }x}2 á8
n1
|xx, eny|2. Ngoài ra ta có định lý sau
Định lý 5.2.15. (Riesz-Fischer)Giả sửten, nPNulà một cơ sở trực chuẩn đếm được trong không gian HilbertH.Nếu dãy số tξnunPNthỏa mãn điều kiện
á8 n1
|ξn|2 8 thì sẽ tồn tại duy nhất một phần tử x P H nhận các ξn làm hệ số Fourier, ξn xx, eny,@nPNvà
x á8
n1
ξnen, }x}2 á8
n1
|ξn|2.
Chứng minh. Do
á8 n1
|ξn|2 8 nên theo Định lý 5.2.9 chuỗi
á8 n1
ξnen hội tụ. Ta đặtx á8
n1
ξnen,khi đó với mỗi mPN xx, emy Aá8
n1
ξnen, em
Eξm.
Vậy x nhận các ξn làm hệ số Fourier. Giả sử có x1 PH sao cho ξm xx1, emy với mọi mPN.Khi đó ta có
ξm xx, emy xx1, emy, @mPN.
5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 116 Suy raxxx1, emy 0, @mPN.
Từ đó ta suy ra xx1 trực giao với không gian con M xten, n P Nuy nên xx1 KM .Nói cách khác, xx1 KH,tức làxx1. Vấn đề đặt ra là khi nào thì không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn đếm được?
Định lý 5.2.16. Mọi không gian Hilbert khả ly H đều có một cơ sở trực chuẩn đếm được hoặc hữu hạn.
Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại tập A tan, n PNu không quá đếm được trù mật trongH.Trong tậpAhãy loại bỏ đi những phần tửannào là tổ hợp tuyến tính của những phần tử trước nóa1, a2, . . . , an1.Ta thu được một hệtxnu (không quá đếm được) gồm những phần tử của tậpA và độc lập tuyến tính. Hiển nhiên ta có
xAy xtxnuy.
Áp dụng phương pháp trực giao hóa trong Định lý 5.2.2 cho hệ độc lập tuyến tính txnuta sẽ tìm được một hệ trực chuẩn không quá đếm được tenu. Hơn nữa ta có
xtenuy xtxnuy xAy H.
Vậytenulà một cơ sở trực chuẩn của H.
5.2.5 Phép đẳng cấu trong không gian Hilbert
Giả sử H, H1 là hai không gian tiền Hilbert. Một song ánh tuyến tính ϕ từ H lênH1 và bảo toàn tích vô hướng gọi là mộtphép đẳng cấu.Nói cách khác, song ánh ϕlà một phép đẳng cấu nếu với mọi x, yPH, αPKta có
ϕpαx βyq αϕpxq βϕpyq xϕpxq, ϕpyqy xx, yy.
Như vậy, phép đẳng cấu ϕ giữa H và H1 là một song ánh bảo toàn các phép toán đại số, tích vô hướng và bảo toàn chuẩn giữaH vàH1.Khi đó ta nói H đẳng cấu vớiH1.
Định lý 5.2.17. Nếu hai không gian Hilbert cùng số chiều hữu hạn hoặc cùng khả ly và vô hạn chiều thì đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp hai không gian Hilbert H và H1 cùng khả ly và vô hạn chiều. Phép chứng minh cho trường hợp H và H1 có cùng số chiều hữu hạn được tiến hành tương tự và đơn giản hơn.