Giao thoa kế Michelson

Nguyên tắc cơ bản của giao thoa kế Michelson (MI) được minh họa trong hình 4.25. Sóng phẳng tới

 

0 i t kx

E  A e 

được tách bởi bộ tách chùm S (với hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T) vào hai sóng

 1

1 1

i t kx

E  A e   và E2  A e2 it kx 2

Nếu tách chùm tia đã hấp thụ không đáng kể (R + T = 1), biên độ A1 và A2 được xác định bởi

1 0

A  T A và A2  R A0 với A02  A12 A22.

Sau khi được phản xạ ở mặt phẳng gương M1 và M2, hai sóng được chồng chất trong mặt phẳng quan sát B. Để cân bằng cho sự tán sắc mà

chùm 1 thỏa mãn bằng cách đi qua hai lần qua tấm kính của bộ tách chùm S, thường là một tấm bù thích hợp P được đặt trong một phía của giao thoa kế. Biên độ hai sóng trong mặt phẳng B là TR A0, vì mỗi sóng được truyền và phản xạ một lần tại bề mặt bộ tách chùm S.

Độ lệch pha  giữa hai sóng

 1 2

2 2 SM SM

 

     (4.35)

với  cho sự thay đổi pha bổ sung có thể được gây ra bởi sự phản xạ. Biên độ trường phức toàn phần trong mặt phẳng B là

 

 

0

0 i t 1 i

E  TR A e  e (4.36)

Máy thu B không thể thực hiện theo các dao động nhanh với tần số ω, nhưng đo được cường độ trung bình theo thời gian I , theo (2.30c)

      

2 2

0 0 0 0 0

1 1 1 1 os 2 1 os

2

i i

I  c A TR e e c A TR c   I c  (4.37) Hình 4.25. Hai chùm giao thoa trong một giao thoa kế Michelson

cho R = T = 1/2 và 0 1 0 02 I  2c A TR

Nếu gương M2 (được đặt trên một thanh trượt) di chuyển dọc theo một khoảng cách Δy, thay đổi hiệu quang trình Δs = 2nΔy (n là chiết suất giữa S và M2) và độ lệch pha  thay đổi bởi 2πΔs/λ. Hình 4.26 cho thấy cường độ IT   trong mặt phẳng B là một hàm của  đối với một sóng phẳng đơn sắc. Đối với cực đại tại  2m (m = 0, 1, 2, ...), cường độ truyền IT   trở thành tương đương với cường độ tới I0, có nghĩa là hệ số truyền của giao thoa kế là TI = 1 cho  2m . Trong cực tiểu cho  2m1 cường độ truyền

T  

I  bằng không! Sóng phẳng tới được phản xạ trở lại vào nguồn.

Điều này minh họa rằng MI có thể được coi như một bộ lọc phụ thuộc vào bước sóng ánh sáng truyền qua, hoặc là một phản xạ chọn lọc bước sóng. Trong hàm này, nó thường được sử dụng để lọc lựa mode trong laser (lọc lựa Fox-Smith mục 5.4.3).

Đối với ánh sáng tới khác nhau, hiệu quang trình giữa hai sóng phụ thuộc vào góc nghiêng (Hình 4.27). Trong mặt phẳng B mô hình giao thoa của vân giao thoa tròn, conic đồng tâm với trục đối xứng của hệ thống, được sản xuất. Di chuyển gương M2 làm đường kính vòng thay đổi. Cường độ đằng sau một khẩu độ nhỏ vẫn còn gần đúng hàm I  trong hình 4.26. Với ánh sáng tới song song nhưng hơi nghiêng gương M1 hoặc M2, mô hình giao thoa bao gồm các vân giao thoa song

song, di chuyển vào một hướng vuông góc với vân khi Δs thay đổi.

MI có thể được sử dụng cho các phép đo bước sóng tuyệt đối bằng cách đếm số N cực đại trong B khi gương M2 di chuyển dọc theo một khoảng cách Δy. Bước sóng λ thu được từ

2n y N/

  

Kỹ thuật này đã được áp dụng để xác định rất

Hình 4.26: Cường độ truyền qua giao thoa kế Michelson như một hàm của độ lệch pha

 giữa hai chùm giao thoa cho R = T = 0,5

Hình 4.27. Vân tròn giao thoa tạo bởi MI với ánh sáng tới khác nhau

chính xác bước sóng laser (mục 4.4).

MI có thể được mô tả trong một cách khác tương đương. Giả sử rằng gương M2

trong hình 4.25 di chuyển với một vận tốc không đổi v = Δy/Δt. Một sóng với tần số ω và vector sóng tới k

vuông góc trên gương chuyển động bị thay đổi Doppler

 

2 .k v 4 / v

    

      trên phản xạ.

Thay hiệu quang trình Δs = Δs0 + 2vt và độ lệch pha tương ứng 2 / svào (4.37) cho, với (4.38) và Δs0 = 0,

 

0

1 1 os

I  2I c t với  2v c/

Ta nhận thấy (4.39) là tín hiệu biến thiên trung bình theo thời gian, thu được từ sự chồng chất của hai sóng với tần số ω và    , cho cường độ trung bình

  2    

0 0

1 os os / 2 1 1 os

I I c t c   t x 2I c t

Lưu ý rằng tần số ω = (c/v)Δω/2 của sóng đến có thể được đo từ các tần số biến thiên Δω, tạo vận tốc v của gương di chuyển được biết. MI với gương M2 di chuyển thống nhất có thể được coi như một thiết bị biến đổi tần số cao ω (10141015s1) của một sóng quang học vào một vùng rf hở dễ dàng (v/c)ω.

Ví dụ 4.8.

v = 3cm/s  (v/c) = 10-10. Tần số 3.1015Hz ( 0, 6m) được biến thiên với 6.105Hz 100kHz

 

    .

Hiệu quang trình cực đại Δs đó vẫn còn cho vân giao thoa trong mặt phẳng B được giới hạn bởi chiều dài kết hợp của bức xạ tới (mục 2.8). Sử dụng đèn quang phổ, chiều dài kết hợp được giới hạn bởi chiều rộng của các vạch phổ Doppler và thường là một vài cm.

Tuy nhiên, với laser đơn mode ổn định, độ dài kết hợp của vài km có thể đạt được. Trong trường hợp này, hiệu quang trình cực đại trong MI, không bị hạn chế bởi nguồn nhưng do giới hạn kỹ thuật được áp đặt bởi các cơ sở phòng thí nghiệm.

Hiệu quang trình đạt được Δs có thể được tăng lên đáng kể bởi một vạch phân rã quang học, được đặt trong một nhánh của giao thoa kế (Hình 4.28). Nó bao gồm một cặp gương, M3, M4, phản xạ ánh sáng trở lại và về phía trước nhiều lần. Để giữ cho các mất mát nhiễu xạ nhỏ, gương cầu, mà bù đắp bằng cách chuẩn trực độ lệch chùm gây ra bởi nhiễu xạ, là một lợi thế. Với ổn định gia tăng của toàn giao thoa kế, hiệu quang trình lên đến 350m có thể được thực hiện [4.25], cho phép một độ phân giải phổ của  / 1011. Điều này đã được chứng minh bằng cách đo độ rộng vạh của một laser HeNe dao động tại ν = 5.1014Hz là một hàm của dòng phóng điện. Độ chính xác thu được tốt hơn 5 kHz.

Đối với máy thu sóng hấp dẫn [4.26], a MI với một bên nhánh có chiều dài 1km đã tạo được hiệu quang trình có thể được tăng lên đến  s 100km bằng cách sử dụng cao

gương cầu phản xạ cao và một lasser rắn siêu ổn định có chiều dài kết hợp sC  s(xem Tập 2, mục 9.8) [4.27].

4.2.3 Quang phổ kế Fourier

Khi bức xạ đến được bao gồm một số thành phần với tần số ωk, biên độ toàn phần trong mặt phẳng B của máy thu là tổng của tất cả các biên độ giao thoa (4.36),

 k 0k1 k

i t i

k k

E A e   e (4.40)

Một máy thu với một hằng số thời gian lớn so với chu kì cực đại 1/(ωi – ωk) không thực hiện theo các dao động nhanh của biên độ ở tần số ωk hoặc tại hiệu tần số (ωi – ωk), nhưng cho một tín hiệu tỷ lệ thuận với tổng cường độ Ik trong (4.37). Do đó ta có được cường độ toàn phần phụ thuộc vào thời gian

  0  0 

1 1

1 os 1 os

2 k k 2 k k

k k

I t  I c   I c t (4.41a)

nơi tần số âm Δωk = 2ωkv/c được xác định bởi tần số ωk của các thành phần và vận tốc v của gương di chuyển. Đo những tần số Δωk cho phép xây dựng lại các thành phần sóng đến với tần số ωk (Phổ biến đổi Fourier [4.28, 4.29]).

Ví dụ, khi sóng đến bao gồm hai thành phần với tần số ω1 và ω2, vân giao thoa thay đổi với thời gian theo

         

   

 

10 1 20 2

0 1 2 1 2

1 1

1 os2 / 1 os2 /

2 2

1 1 os / os /

2

I t I c v c t I c v c t

I c vt c c vt c

 

   

   

   

       

(4.41b)

Hình 4.28a, b. Giao thoa kế Michelson với đường trễ quang cho phép một hiệu quang trình lớn giữa hai chùm giao thoa: (a) sơ đồ sắp xếp, (b) vị trí thắt của các chùm tia phản xạ trên gương M3

máy thu

Hình 4.29. Tín hiệu giao thoa sau MI gương M2 chuyển động đều khi sóng tới bao gồm hai thành phần với tần số ω1 và ω2 và biên độ bằng nhau.

ở đây ta đã giả sử I10 = I20 = I0. Đây là một tín hiệu biến thiên, biên độ của tín hiệu giao thoa (ω1+ω2)(v/c) được điều biến tại tần số khác nhau (ω1–ω2)v/c (Hình 4.29). Từ tổng

12  1221

ta có được tần số ω1, và từ hiệu

12  1222

ta có tần số ω2.

Độ phân giải phổ gần như có thể được ước tính như sau: nếu Δy là hiệu quang trình đi qua gương di chuyển trong Hình 4.25, số cực đại giao thoa được đếm bởi máy thu là N1 = 2Δy/λ1 cho một sóng tới với bước sóng λ1, và N2 = 2Δy/λ2 bước sóng λ2. Hai bước song có thể được phõn biệt rừ ràng khi N2 ≥ N1 + 1. Điều này mang lại với λ1 = λ2 + Δλ và    cho suất phân giải phổ

2 y s

 N

  

 

  

 với  12/ 2 và N N1N2/ 2 (4.42a) Việc xem xét tương đương trong miền tần số sau. Để xác định hai tần số ω1 và ω2, phải đo ít nhất hơn một chu kì điều biến

1 2 1 2

2 1

c c

T 

     

 

 

Hiệu tần số có thể được giải là

c c c

T s N

  

   



1 /

c N





   hoặc  N s

 

  

 (4.42b)

Suất phân giải phổ λ/Δλ của giao thoa kế Michelson bằng hiệu quang trình cực đại Δs/λ đo bằng đơn vị của bước sóng λ.

Ví dụ 4.9.

a)  y 5cm,  10m N 104 b)  y 100cm,  0,5mN 4.106

ví dụ sau có thể chỉ được thực hiện với các laser có chiều dài kết hợp đủ lớn (mục 4.4).

c) 110m, 2 9, 8m12 6.1011Hz; với v = 1cm/s, ta được T = 50ms. Thời gian đo cực tiểu cho độ phân giải của hai vạch phổ là 50ms, và hiệu quang trình cực tiểu là

5.10 2 500

s vT  cm m

    .