Giao thoa kế Fabry-Perot đồng tiêu

/ mN Nd sin si n

c) FPI không gian không khí

4.2.8 Giao thoa kế Fabry-Perot đồng tiêu

Một giao thoa kế đồng tiêu, đôi khi được gọi không chính xác là FPI cầu, bao gồm hai gương cầu M1, M2 với độ cong bằng nhau (bán kính r) đặt đối diện ở khoảng cách d = r

(Hình 4.51a) [4.39 – 4.43]. Những giao thoa kế này có tầm quan trọng lớn trong vật lý laser như phân tích phổ độ phân giải cao để phát hiện cấu trúc mode và độ rộng vạch của laser [4.41-4.43], và trong dạng gần đồng tiêu, như hộp cộng hưởng laze (mục 5.2)

Bỏ qua quang sai cầu, tất cả các tia ánh sáng đi vào giao thoa kế song song với trục của nó sẽ qua tiêu điểm F và sẽ tới lối vào P1 một lần nữa qua FPI đồng tiêu bốn lần. Hình 4.51 minh họa trường hợp chung của một tia vào FPI đồng tiêu với độ dốc θ nhỏ và qua điểm P1, A, B, C, P1, thể hiện trong hình 4.51d trong một hình chiếu. Góc θ là góc lệch của tia vào.

Hình 4.50. Thử nghiệm sắp xếp để ghi quang điện của vạch huỳnh quang có độ phân giải cao kích thích bởi một laser đơn mode trong một chùm phân tử chuẩn trực và quan sát qua FPI cộng với máy đơn sắc

máy thu huỳnh quang phổ kích thích máy đơn sắc phổ huỳnh quang lò nung chùm phân tử chuẩn trực ống nhân quang

Hình 4.51a-d. Quỹ đạo của tia trong một FPI đồng tiêu: (a) chùm tới song song với trục

FPI, (b) chùm tới nghiêng, (c) minh họa góc nghiêng, (d) hình chiếu các tia lệch trên bề

mặt gương

Bởi vì quang sai cầu, các tia với khoảng cách khác nhau ρ1 từ trục sẽ không phải tất cả đi qua F nhưng sẽ giao với trục tại các vị trí khác nhau F tùy thuộc vào ρ1 và θ. Ngoài ra, mỗi tia sẽ không chính xác vào điểm lối vào P1 sau bốn lần qua FPI đồng tiêu vì nó là hơi thay đổi ở lần kế tiếp. Tuy nhiên, nó có thể được hiển thị [4.39, 4.42] cho đầy đủ góc θ

nhỏ, tất cả các tia giao nhau tại một khoảng cách ρ(ρ1, θ) từ trục trong vùng lân cận của hai điểm P và P nằm trong mặt phẳng trung tâm của đồng tiêu FPI (Hình 4.51b).

Hiệu quang trình Δs giữa hai tia liên tiếp đi qua P có thể được tính từ quang hình học. Cho ρ1 << r và θ << 1, ta có được đối với trường hợp đồng tiêu gần d ≈ r [4.42]

2 2 3

1 2

4 os2 / â

s d   c  r b c cao

    (4.75)

Một chùm ánh sáng tới với đường kính D = 2ρ1 tạo ra trong mặt phẳng trung tâm của một FPI đồng tiêu một hệ vân giao thoa với các vòng tròn đồng tâm. Tương tự trong mục 4.2.7, cường độ I(ρ, λ) thu được bằng cách thêm tất cả các biên độ với các pha chính xác của chúng δ = δ0 + (2π/λ)Δs. Theo (4.52), ta có       2 0 2 2 , 1 4 sin / I T I R R s             (4.76) với T = 1 – R – A là hệ số truyền qua của hai gương. Cường độ cực đại cho δ = 2mπ, tương đương với

4 3

4d /r m (4.77)

khi ta bỏ qua các số hạng bậc cao (4.75) và đặt θ = và ρ2 = ρ1ρ2.

Vùng phổ tự do δν, tức là khoảng tần số giữa các cực đại giao thoa liên tiếp, cho FPI gần đồng tiêu ρ << d 4 3 4 / c d r     (4.78)

mà khác với biểu thức δν = c/2d cho FPI phẳng.

Bán kính m của vòng giao thoa bậc m thu được từ (4.77),   3 1/4

4

m m d r

    (4.79)

cho thấy ρm đó phụ thuộc rất nhiều vào khoảng cách d của gương cầu. Thay đổi d một lượng nhỏ từ d = r đến d r hiệu quang trình thay đổi

  4  3   4 3

4 / 4 /

s r   r  r   r

        (4.80)

Đối với một bước sóng λ nhất định, giá trị của  có thể được chọn mà 4(r +) = m0λ. Trong trường hợp này, bán kính của vòng trung tâm bằng không. Ta có thể đánh số các vòng ngoài bởi số nguyên p và có được với m = m0 + p cho bán kính của vòng thứ p biểu thức  31/ 4 p p r    (4.81) độ phân tán bán kính suy ra từ (4.79),   3 3/4 3 / 4 4 d mr d m d r         (4.81) tới vô cùng đối với mλ = 4d, xảy ra theo (4.79) ở tâm với ρ = 0.

Độ phân tán lớn này có thể được sử dụng cho phổ có độ phân giải cao của các cấu

hình đường hẹp với một bộ quét đồng tiêu FPI và ghi quang điện (Hình 4.52).

Nếu mặt phẳng trung tâm của FPI gần đồng tiêu được chụp bởi một thấu kính vào một lỗ tròn với bán kính đủ nhỏ b < (λr3)1/4 chỉ bậc giao thoa trung tâm được chuyển đến máy thu trong khi tất cả các bậc khác đang dừng lại. Bởi vì sự độ tán sắc xuyên tâm lớn

Hình 4.52. Ghi quang điện của nguồn sáng phổ truyền của một quét đồng tiêu FPI

cho ρ nhỏ ta một suất phân giải phổ cao. Với sự sắp xếp này không chỉ cấu hình vạch phổ mà còn độ rộng tần dụng cụ có thể được đo, khi một sóng tới đơn sắc (từ một laser ổn định đơn mode) được sử dụng. Khoảng cách gương d  r  được thay đổi bởi lượng nhỏ và công suất     0 , , 2 , , b P b I d             (4.83)

được truyền tải qua lỗ được đo như là một hàm của giá trị cố định của λ và b.

Tích phân I(ρ, λ,) có thể thu được từ (4.76), độ lệch pha δ() = 2πΔs/λ là rút ra từ (4.80).

Sự lựa chọn tối ưu cho bán kính lỗ b là dựa trên sự đáp ứng giữa độ phân giải phổ và cường độ truyền. Khi giao thoa kế có độ tinh tế F*, nửa độ rộng phổ của đỉnh truyền là

δν/F*, xem (4.55b), và suất phân giải phổ cực đại trở thành F*Δs/λ (4.60). Đối với bán kính lỗ b = (r3λ/F*)1/4, mà chỉ là (F*)1/4 lần bán kính ρ1 của một vân với p = 1 (4.81), suất phân giải phổ giảm xuống còn khoảng 70% của giá trị cực đại của nó. Điều này có thể được xác nhận bằng cách thay giá trị này của b vào (4.83) và tính toán nửa độ rộng đỉnh truyền

 * 

1, ,

P  F  .

Độ tinh tế toàn phần FPI đồng tiêu, nói chung cao hơn so với của FPI phẳng vì những lý do sau đây:

• Sự sắp xếp của gương cầu là ít quan trọng hơn so với gương phẳng, vì độ nghiêng của gương cầu không thay đổi (một gần đúng bậc nhất) độ dài quang học 4r qua FPI đồng tiêu, mà vẫn xấp xỉ như nhau cho tất cả các tia tới (Hình 4.53). Tuy nhiên, đối với FPI phẳng, chiều dài đường đi tăng đối với các tia dưới các trục giao thoa, nhưng giảm đối với các tia trên trục.

Hình4.53. Minh hoạ độ nhạy lớn hơn đối với sự lệch cho FPI phẳng so với FPI cầu

• Gương cầu có thể được đánh bóng đến độ chính xác cao hơn so với gương phẳng. Điều này có nghĩa rằng sự lệch hướng từ một mặt cầu lý tưởng ít hơn cho gương cầu hơn so với từ một mặt phẳng lý tưởng cho gương phẳng. Hơn nữa, độ lệch này không thay đổi cấu trúc giao thoa thoa nhưng lại gây ra một biến dạng của hệ vòng vì một sự thay đổi của d

Độ tinh tế toàn của một FPI đồng tiêu chủ yếu được xác định bởi hệ số phản xạ R của gương phẳng. Đối với R = 0,99, một độ tinh tế *  

/ 1 300

F  R R  có thể đạt được, mà cao hơn nhiều so với một FPI phẳng, nơi các yếu tố khác làm giảm F*. Với khoảng cách gương r = d =3 cm, vùng phổ tự do là δ = 2,5 GHz và độ phân giải phổ là Δν = 7,5MHz ở độ tinh tế F* = 300. Điều này là đủ để đo độ rộng vạch tự nhiên của nhiều dịch chuyển quang học. Với chất phủ phản xạ cao hiện đại, giá trị của R = 0,9995 có thể thu được và FPI đồng tiêu với một độ tinh tế F* ≥ 104 đã được thực hiện [4.44].

Hình 4.52 ta thấy rằng các góc khối thu nhận bởi máy thu sau lỗ với bán kính b là Ω = πb2/r2. Công suất ánh sáng truyền qua đến máy thu tỷ lệ thuận với tích của góc khối Ω và diện tích A trong mặt phẳng trung tâm, được chụp bởi thấu kính vào lỗ (thường được gọi là étendue U). Với bán kính lỗ b = (r3λ /F*)1/4 (xem ở trên) étendue trở nên

2 4/ 2 2 / *

U  A  b r  r F (4.84)

Đối với một độ tinh tế F*, étendue của FPI đồng tiêu tăng với khoảng cách gương d = r. Suất phân giải phổ

*4F r 4F r



  

 (4.85)

của FPI đồng tiêu tỷ lệ thuận với tích của độ tinh tế F* và tỉ lệ khoảng cách gương r = d với bước sóng λ. Với một étendue U = π2rλ/F*, ta có thể chèn r = UF*/(π2λ) vào (4.84) và có được cho suất phân giải phổ

2* * 2F U            , (FPI đồng tiêu) (4.86)

Hãy so sánh trường hợp của một FPI phẳng với đường kính tấm D và khoảng cách d, được chiếu sáng với ánh sáng gần như song song (Hình 4.48). Theo (4.66), hiệu quang trình giữa một tia song song với trục chính và một tia nghiêng với góc nhỏ β, được đưa ra bởi Δs =

nd(1 - cosβ) ≈ ndβ2.

Để đạt được một độ tinh tế F* với bộ ghi quang điện, biến đổi của các chiều dài đường đi cho các tia khác nhau qua giao thoa kế này không được vượt quá λ/F*, trong đó hạn chế góc khối thu nhận Ω = β2 được bởi máy thu để Ω ≤ λ/ (dF*). Étendue là

2 * * 4 D U A dF      (4.87)

Chèn giá trị của d được cho bởi phương trình này vào suất phân giải phổ ν/Δν = 2dF*/λ, ta có được 2 2 D U      , (FPI phẳng) (4.88)

Trong khi suất phân giải phổ tỉ lệ thuận với U cho FPI đồng tiêu, đó là tỉ lệ nghịch với U

cho FPI phẳng. Điều này là do tăng étendue với khoảng cách gương d cho FPI đồng tiêu nhưng giảm tỷ lệ thuận với 1/d cho FPI phẳng. Đối với một bán kính gương r > D2/4d,

étendue của FPI đồng tiêu lớn hơn của FPI phẳng với độ phân giải phổ như nhau. Điều này có nghĩa rằng công suất truyền là lớn hơn cho FPI đồng tiêu cho r > D2/4d.

Ví dụ 4.14.

FPI đồng tiêu với r = d = 5cm đã cho λ = 500nm étendue U = (2,47.10-3/F*) cm2/sr. Đây là étendue giống như của một FPI phẳng với d = 5cm và D = 10 cm. Tuy nhiên, đường kính của gương cầu có thể nhỏ hơn nhiều (ít hơn 5mm). Với một độ tinh tế F* = 100, étendue là

U = (2,5.10-5) [cm2/sr] và suất phân giải phổ là ν/Δν = 4.107. Với étendue này suất phân giải của FPI phẳng là 6.106, cung cấp toàn bộ bề mặt gương phẳng có chất lượng bề mặt để cho phép một độ tinh tế bề mặt F* ≥ 100. Trong thực tế, điều này rất khó để đạt được một mặt phẳng hoàn toàn phẳng với đường kính D = 10cm, trong khi đối với các gương nhỏ hình cầu thậm chí F* > 104 có thể thực hiện.

Ví dụ này cho thấy rằng đối với một công suất ánh sáng thu thập được, FPI đồng tiêu có thể có suất phân giải phổ cao hơn rất nhiều so với FPI phẳng.

Xem thêm thông tin chi tiết về lịch sử, lý thuyết, thực hành, và ứng dụng của giao thoa kế Fabry-Perot phẳng và cầu có thể được tìm thấy trong [4.45–4.47].