Một số yếu tố tri thức luận 32

Chúng tôi sẽ tổng kết lại một số yếu tố khoa học luận thơng qua cơng trình nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2003) về “Dạy học hàm số ở trường phổ thơng” và giáo trình Đại số & Giải tích của Lê Thái Bảo Thiên Trung – Tăng Minh Dũng.

2.1.1. Sơ lược về lịch sử hình thành.

Trong lịch sử, thuật ngữ “hàm số” ra đời từ việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến đo đạc, vận tốc, thời gian,… Nó dần được hình thành và phát triển trong các giai đoạn khác nhau. Theo Nguyễn Thị Nga (2003), một số nội dung về những đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số được tổng hợp như sau:

- Về mặt cơ chế: Khái niệm hàm số hiện diện ở ba giai đoạn khác nhau:

Giai đoạn ngầm ẩn (từ cổ đại đến trung đại): Khái niệm hàm số không có tên, khơng

có định nghĩa và chỉ xuất hiện ngầm ẩn như một công cụ để giải quyết các bài toán xuất phát từ thực tế hay trong toán học.

Giai đoạn bán tường minh (thế kỉ 16 – 17): Thuật ngữ “hàm số” đã xuất hiện tường

minh nhưng khơng có định nghĩa nào được nêu lên. Hàm số vẫn chỉ hoạt động ngầm ẩn như một công cụ giúp giải quyết các bài toán.

Giai đoạn tường minh (từ thế kỉ 18): Thuật ngữ “hàm số” đã xuất hiện trong các

định nghĩa tường minh. Lúc này, nó vửa được sử dụng như một cơng cụ để giải quyết các bài toán, vừa là đối tượng để nghiên cứu. Tóm lại, hàm số hoạt động dưới hai mặt Công cụ và Đối tượng.

Thông qua tên gọi của ba giai đoạn thì có thể thấy khái niệm hàm số hiện diện ngầm ẩn đến tường minh và hoạt động dưới hai mặt công cụ và đối tượng. Từ đó, Nguyễn Thị Nga (2003) đã đưa ra một số luận điểm sư phạm về dạy học khái niệm tốn học nói riêng và khái niệm hàm số nói chung:

Khơng nên quan niệm việc dạy học một khái niệm toán học chỉ được bắt đầu từ thời điểm đưa vào định nghĩa của nó.

Trước khi được nghiên cứu một cách tường minh, một khái niệm có thể được đề cập một cách ngầm ẩn trong vai trị cơng cụ giải quyết các bài tốn. Trong giai đoạn này, một số thuộc tính bản chất của khái niệm sẽ dần dần được khám phá.

(Nguyễn Thị Nga, 2003, tr. 14) - Về các đặc trưng cơ bản: Các đặc trưng cơ bản là “phụ thuộc”, “biến thiên” và “tương ứng”. Tùy vào các giai đoạn khác nhau mà các đặc trưng có sự xuất hiện khơng giống nhau. Cụ thể như sau:

Trong giai đoạn ngầm ẩn: Các đặc trưng đã hiện diện nhưng chỉ một cách ngầm

ẩn qua các bảng số và sau đó là hình học.

Trong giai đoạn của đặc trưng “biến thiên”: Đặc trưng “tương ứng” chỉ xuất

hiện ngầm ẩn, đặc trưng “phụ thuộc” cũng được lưu ý nhưng kém rõ ràng. Duy nhất có đặc trưng “biến thiên” xuất hiện tường minh và được nhấn mạnh.

Trong giai đoạn của đặc trưng “tương ứng”: Hai đặc trưng kia thường chỉ xuất

hiện một cách ngầm ẩn cịn yếu tố “tương ứng” ln được nhấn mạnh trong hầu hết các định nghĩa của khái niệm hàm số.

- Về phương tiện biểu diễn: Hàm số được biểu diễn bằng nhiều hình thức khác nhau như bảng, hình hình học, đường cong hình học, biểu thức giải tích, đồ thị,...

2.1.2. Quan điểm về khái niệm hàm số

Quan điểm động: hàm số y = f (x) mô tả một mối quan hệ biến thiên phụ thuộc của biến y theo biến x. Trong đó x (được gọi là biến độc lập) có thể nhận các giá trị biến thiên trong một tập hợp D xác định kéo theo sự thay đổi của biến y (được gọi là biến phụ thuộc) trong một tập giá trị T.

Quan điểm tĩnh: hàm số y = f (x) là một quy tắc cho phép xác định mỗi giá trị tương ứng của biến x thuộc tập D với một và chỉ một giá trị duy nhất biến y thuộc tập T.

(Tăng Minh Dũng và Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2017, tr. 40)

2.1.3. Các cách biểu diễn hàm số Có ít nhất bốn cách để biểu diễn hàm số: Có ít nhất bốn cách để biểu diễn hàm số:  Bằng lời nói  Bằng bảng giá trị  Bằng hình vẽ đồ thị  Bằng cơng thức đại số

Tùy vào từng tình huống khác nhau mà ta sẽ lựa chọn cách biểu diễn phù hợp nhất.

Ví dụ cụ thể như sau:

 Bằng lời nói

Số tiền đi xe taxi được tính như sau: Từ 0 đến 0,7km: 11000 đồng

Tiếp theo đến 30km: 15500 đồng/km Từ 31km trở đi: 11600 đồng/km

Có thể thấy, những hàm số được mơ tả bằng lời thường xuất hiện trong các tình huống thực tế. Như ở ví dụ trên, ngồi “bằng lời nói”, chúng ta cũng có thể sử dụng các cách khác để mơ tả số tiền theo số km của taxi. Tuy nhiên cách mô tả bằng lời trong trường hợp này là phù hợp và thuận tiện nhất.

 Bằng bảng giá trị

Hình 2.1. Bảng giá trị biểu diễn nhiệt độ T tại các thời điểm t

Cách biểu diễn này thường được sử dụng khi chúng ta muốn thu thập dữ liệu về một hay một số đối tượng nào đó. Sử dụng bảng giá trị sẽ giúp chỉ ra nhiều giá trị khác nhau tương ứng với từng đối tượng hay của một đối tượng nhưng ở các thời điểm khác nhau.

 Bằng hình vẽ đồ thị

Hình 2.2. Đồ thị hàm số biểu diễn doanh số trong 12 tháng

Trong thực tế, đồ thị hay được sử dựng để biểu diễn nhiệt độ, lượng mưa của các tháng trong năm, hay biểu diễn dân số, mức lương trung bình theo đầu người của các tỉnh thành, đơ thị trong nhiều năm liên tiếp,... Mục đích của việc biểu diễn ấy là để chúng ta dễ so sánh và nhận ra mức độ chênh lệch của các đối tượng theo thời gian, theo khu vực địa lý,... Như ở ví dụ trên (hình 2.2), có 2 cách biểu diễn là bằng bảng và bằng đồ

thị, tuy nhiên, để chỉ ra mức độ chênh lệch doanh số giữa các tháng thì cách biểu diễn bằng đồ thị đã thể hiện rõ ràng hơn, dễ nhìn nhận hơn.

 Bằng công thức đại số

Giả sử một vật rơi tự do từ độ cao h0 trong mơi trường lí tưởng (bỏ qua sức cản của khơng khí). Ta có cơng thức liên hệ giữa qng đường s mà vật đi được theo thời gian t là: 𝑠 𝑓 𝑡 𝑔𝑡 với gia tốc trọng trường 𝑔 9,8 𝑚/𝑠 và chọn gốc thời gian tại thời điểm bắt đầu rơi.

Trong trường hợp này, cách biểu diễn hàm số bằng công thức là tiện lợi nhất và được ưu tiên. Từ cách biểu diễn này, chúng ta có thể chuyển sang các cách biểu diễn còn lại khi cần thiết. Tuy nhiên, việc chuyển từ một trong ba cách biểu diễn cịn lại sang cơng thức đại số thì chưa chắc đã chính xác.

2.1.4. Đồ thị của hàm số

Theo SGK 7-1, tr. 69, đồ thị hàm số 𝑦 𝑓 𝑥 được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ.

Như vậy, đồ thị của một hàm số là một đối tượng toán học trừu tượng và được biểu diễn qua những hình vẽ.

Đặc trưng của đồ thị hàm số: Tiêu chuẩn đường thẳng đứng

Theo Stewart (2016, tr. 15), tiêu chuẩn đường thẳng đứng được phát biểu là: “Một đường cong trên mặt phẳng xy là đồ thị của hàm số theo x nếu và chỉ nếu khơng có đường thẳng đứng nào cắt đường cong tại nhiều hơn một điểm.”

2.1.5. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

Theo Lê Thái Bảo Thiên Trung & Tăng Minh Dũng (2017), trong một định nghĩa hàm số, tập nguồn và tập đích của hàm số phải được chỉ rõ. Tuy nhiên, trong dạy học tốn ở bậc phổ thơng, hàm số thường được cho bởi cơng thức và tập nguồn, tập đich thì khơng được làm rõ. Từ đó có quy ước:

Tập xác định của hàm số (có thể hiểu như tập nguồn và thường kí hiệu là D) là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho giá trị y tương ứng là một số thực, hay ta thường nói, tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

Tập giá trị là tập hợp tất cả các giá trị của y. Ta có thể hiểu tập đích là ℝ hay chỉ là

tập giá trị.

(Tăng Minh Dũng và Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2017, tr. 44)

2.2. Ngơn ngữ giao tiếp tốn học liên quan đến khái niệm hàm số trong dạy học toán bậc trung học cơ sở

Theo Dự thảo chương trình mới (2018), trong mục “Mục tiêu ở cấp THCS” (tr.7) với nội dung số học và đại số, Dự thảo yêu cầu “sử dụng ngơn ngữ hàm số để mơ tả (mơ

hình hố) một số quá trình và hiện tượng trong thế giới thực”. Và trong mục Năng lực

giao tiếp toán học (trang 12) của Dự thảo (2018) cũng đưa ra yêu cầu: “Biết sử dụng

ngơn ngữ tốn học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt các nội dung toán

học cũng như thể hiện chứng cứ, cách thức và kết quả lập luận.” Vậy trước tiên, ta phải

hiểu ngơn ngữ tốn học, đặc biệt là ngơn ngữ hàm số được hiểu ở đây là gì? Đó chính là những thuật ngữ liên quan đến khái niệm hàm số trong toán học.

Theo chương trình Tốn lớp 7 và lớp 9, ở phần mục tiêu của chương hay mục tiêu ở từng bài đều có đưa ra yêu cầu HS cần nắm được các khái niệm liên quan đến hàm số, ví dụ như khái niệm hệ số góc, khái niệm đồng biến, nghịch biến,... Sau đây, chúng tôi xin liệt kê các ngơn ngữ tốn học xuất hiện trong các sách Toán 7 và sách Toán 9 và những kiểu nhiệm vụ liên quan đến từng ngơn ngữ đó.

2.2.1. Phần lý thuyết

Bảng 2.1. Bảng thống kê các ngôn ngữ giao tiếp toán học liên quan đến khái niệm hàm số tổng quát

STT Ngôn ngữ Số lần

xuất hiện

Bài học - Chương Trang -

SGK 1 [giá trị] tương ứng 21 Bài 5: Hàm số - Chương II Bài 1: Hàm số 𝑦 𝑎𝑥 𝑎 0 - Chương IV Trang 63 – SGK 7 Trang 28 – SGK 9-2 2 3 [hàm số được cho bằng] - bảng - công thức 4 6 Bài 5: Hàm số - Chương II