3.3.1 Giải bài toán tổng quát bằng cách khảo sát hàm số
“Cho một tờ giấy hình vng có độ dài cạnh a cm.
Và các dụng cụ: Kéo, thước có vạch đo theo cm, băng keo, máy tính cầm tay.
Ta cắt đi bốn hình vng cạnh x cm ở bốn góc của tờ giấy đã cho để làm thành một cái hộp khơng nắp có thể tích V (cm3) như hình vẽ.” Hãy chế tạo một hình hộp có thể tích lớn nhất có thể. Giải Gọi x là cạnh hình vng cần cắt (0 ) 2 a x Khi đó, ta có:
+ Diện tích mặt đáy hình hộp là: ( 2x)a 2
+ Thể tích hình hộp là: V x a x .( 2 ) 4 2 x34ax a x2 2 Khảo sát V: V ' 1 2x2 8a x a2 0 2 a x (loại) hoặc 6 a x (thỏa mãn) x 0 𝑎 6 9 V’ 0 0 V 0 3 2 27a 0
3.3.2. Những lựa chọn cố định cho tình huống
- Việc lựa chọn tờ giấy hình vng có cạnh 30 cm nhằm giúp học sinh thuận tiện hơn trong việc tính tốn và dễ dàng hơn trong việc xây dựng cơng thức. Tuy nhiên, với kích thước như vậy, học sinh sẽ khó có khả năng dự đốn chính xác số đo của x để V lớn nhất.
- Tiến trình tổ chức thực nghiệm:
Thứ nhất, theo NCTM (2000), đa số học sinh cấp THCS thường mang tâm lý ngại giao tiếp trước đám đông, ngại đưa ra ý kiến và rất sợ bị chê trách, chế giễu. Họ phù hợp với làm việc theo cặp vì có thể đưa ra những ý tưởng khác nhau, bàn bạc kĩ càng trong nhóm trước khi nói trước lớp. Chính vì vậy, chúng tơi quyết định cho học sinh làm việc theo cặp (cho học sinh tự do chọn lựa bạn cùng nhóm) để tạo cho các em một khơng gian làm việc thoải mái nhất, đem lại hiệu quả tốt nhất có thể.
Thứ hai, chúng tơi tổ chức thực nghiệm theo 6 bước với mục tiêu như sau: + Bước 1 tương ứng Mở đầu:
Giúp HS hiểu rõ nội dung của bản thơng báo và hình dung ra cách tạo hình hộp từ tờ giấy hình vng cạnh 30 cm.
+ Bước 2 tương ứng Phiếu 1:
Chúng tôi yêu cầu học sinh tạo ra 4 hình hộp sau khi đã được hướng dẫn ở bước 1 nhằm để xem khả năng “nghe hiểu, đọc hiểu các u cầu tốn học” của các em có tốt khơng. Và thơng q q trình tạo hình hộp sẽ giúp học sinh nhận thấy sự thay đổi kích thước hình hộp theo x. Sau đó, chúng tơi u cầu học sinh điền vào Phiếu 1 (trả lời các câu hỏi) nhằm để các em thấy rõ sự thay đổi của V theo x đồng thời thúc đẩy các em sử dụng ngơn ngữ nói nhiều hơn trong khi giao tiếp.
Ở yêu cầu cuối (Phiếu 1), học sinh được yêu cầu “Vẽ các cặp điểm (x,V) lên hệ trục
tọa độ rồi nối chúng lại với nhau và Dự đoán giá trị x sao cho V lớn nhất” nhằm để học
sinh bước đầu làm quen với việc “biểu diễn điểm bằng ngôn ngữ hệ trục tọa độ”; biết quan sát đồ thị và đưa ra dự đoán về các giá trị (x,V) tương ứng. Bên cạnh đó, thơng qua đồ thị, học sinh cũng sẽ nhận ra sự thay đổi của V theo x.
Như vậy, thông qua bước 1, chúng tôi đã tạo cơ hội cho học sinh giao tiếp với nhau để “tổ chức và củng cố ý tưởng” nhằm tìm ra cách làm hợp lý nhất. Thông qua phần làm việc này, chúng tôi muốn nghe xem học sinh sẽ giao tiếp với nhau như thế nào và liệu rằng có ý tưởng nào đặc biệt xuất hiện hay không.
+ Bước 3 tương ứng Phiếu 2:
Ở bước 3 tương ứng với Phiếu 2, chúng tôi yêu cầu các cặp nhận xét câu trả lời của nhóm bạn. Việc yêu cầu các cặp nhận xét như vậy nhằm tạo cơ hội cho học sinh “phân
tích, đánh giá các ý tưởng toán học và các chiến lược của người khác”. Việc yêu cầu
học sinh giải thích lý do “vì sao” nhằm thúc đẩy các em đưa ra “lập luận một cách chặt
chẽ, rõ ràng”. Ngồi ra, chúng tơi muốn học sinh sử dụng ngôn ngữ viết một cách logic,
chính xác để đưa ra quan điểm, ý kiến của mình về bài làm của nhóm bạn. Đồng thời cũng đánh giá được khả năng “làm việc với văn bản tốn học (phân tích, lựa chọn, trích xuất các thông tin cần thiết)” của học sinh.
+ Bước 4 tương ứng với Phiếu 3:
Trong trường hợp này, chúng tơi sẽ thay đổi hình thức làm việc so với 2 lần trước. Cụ thể là, 2 cặp đã nhận xét phiếu 1 của nhau trong lần làm việc 2 sẽ hợp lại để cùng làm phiếu 3. Các em có nhiệm vụ đọc nội dung nhóm bạn đã nhận xét ở phiếu 2 rồi phản biện lại các ý kiến đó một cách trực tiếp để bảo vệ cho những quan điểm của nhóm mình. Thơng qua lần phản biện này, chúng tôi mong các em sẽ tích cực giao tiếp nhiều hơn và “sử dụng ngơn ngữ toán học nhiều hơn để truyền đạt một cách chính xác các ý kiến tốn
học” của đội mình, từ đó sẽ giúp đội bạn nhận ra sai lầm, đồng thời cũng cho thấy sự tự
tin của các em thông qua khả năng “Đặt và trả lời câu hỏi khi lập luận, chứng minh và
giải quyết vấn đề”.
+ Bước 5 tương ứng với Phiếu 4:
Chúng tôi yêu cầu học sinh vẽ đồ thị và dự đoán giá trị của x để V lớn nhất nhằm thử thách học sinh khả năng quan sát đồ thị để dự đoán được câu trả lời.
+ Bước 6 (tổng kết bằng Power point):
Trong bước 6 này, chúng tơi sẽ đưa ra cơng thức tính V theo x chuẩn xác nhất cho học sinh. Sau đó, chúng tơi tiến hành biễu diễn các số liệu đã thống kê của x và V lên hệ trục tọa độ thơng qua Excel. Từ hệ trục tọa độ đó, một lần nữa chúng tôi muốn khẳng định cho học sinh thấy rằng “Khi x thay đổi thì V thay đổi”
3.3.3. Biến didactic
V1: Kích thước a của tờ giấy hình vng: a = 30 cm.
Chúng tơi lựa chọn a = 30 cm để học sinh khó tìm ra giá trị của x sao cho thể tích hình hộp tạo ra đạt giá trị lớn nhất.
Bước 2:
V2: Số sản phẩm muốn mỗi cặp tạo ra: 4 sản phẩm.
Chúng tôi lựa chọn số lượng sản phẩm bằng 4 là đủ để học sinh có thể so sánh và chọn ra sản phẩm hợp lý nhất của nhóm. Nếu chọn nhiều hơn 4 sản phẩm thì càng giúp học sinh có thêm nhiều sự so sánh nhưng giới hạn về thời gian không cho phép.
Bước 3 + 4:
V3: Quy mô của người nhận xét: cả lớp cùng nhận xét từng cặp hay các cặp nhận xét đan xen.
Chúng tôi lựa chọn cặp nhận xét đan xen để mỗi cặp được thoải mái thể hiện suy nghĩ của mình; các em khơng cảm thấy e dè khi đưa ra ý kiến riêng của bản thân. Cách sắp xếp này là để phù hợp với tâm lý của học sinh cấp THCS.
Bước 5:
V5: Giá trị của x: Có cho giá trị 5 cm hay khơng cho giá trị 5 cm.
Lựa chọn không để giá trị 5 cm vào phần “Thống kê dữ liệu” nhằm mục đích để học sinh có các hướng suy nghĩ khác nhau: Có những học sinh sẽ suy nghĩ và thắc mắc tại sao giáo viên cho các giá trị từ 0.5 đến 14 và không theo một quy luật nhất định. Từ đó sẽ kích thích tính tị mị của học sinh trong việc dự đoán giá trị của x để V lớn nhất: ”Sẽ là 1 trong các số đã cho hay là một số khác trong khoảng đó?” Tuy nhiên có những hoc sinh sẽ khơng quan tâm đến giá trị 5 mà chỉ dựa vào phần hệ trục tọa độ cũng như là bảng thống kê để đưa ra dự đoán.
3.3.4. Các chiến lược
Bước 1:
* Khi được yêu cầu “điền các số đo vào bảng” và “Giải thích cách tính”, có thể xảy ra các chiến lược sau:
Chiến lược Sgt.1: Đo độ dài các cạnh bằng thước thẳng rồi tính V bằng công thức V = a.b.h
Chiến lược Sgt.2: Sử dụng công thức V = (18 – 2x).(18 – 2x).x
* Khi được hỏi vể “cơng thức tính thể tích hình hộp”, có thể xảy ra các chiến lược sau:
Chiến lược Stính.1: Cơng thức tổng qt: V = a . b. h
Với a là chiều dài đáy; b là chiều rộng đáy; h là chiều cao hình hộp.
Chiến lược Stính.2: Biểu diễn V theo x: V = (18 – 2x).(18 – 2x).x Bước 4:
* Khi được yêu cầu vẽ hệ trục tọa độ biểu diễn các cặp giá trị (x, V), có những chiến lược sau có thể xảy ra:
Chiến lược Svẽ.1: Đặt giá trị x ở trục hoành, giá trị V ở trục tung. Chiến lược Svẽ.2: Đặt giá trị x ở trục tung, giá trị V ở trục hồnh.
* Khi được u cầu dự đốn giá trị của x để V có thể đạt lớn nhất, có những chiến lược sau có thể xảy ra:
Chiến lược Sdự.1: Quan sát bảng thống kê dữ liệu rồi dự đốn.
Khi đó khả năng cao sẽ là: x = 5,5 cm V = 1985,5 cm3.
Chiến lược Sdự.2: Quan sát đồ thị rồi dự đoán.