2.1.1 .Rốn luyện kĩ năng phõn tớch, tổng hợp qua từng bài tập
2.2.3. Rốn luyện kĩ năng đỏnh giỏ qua phỏt hiện và khắc phục sa
giải toỏn
Biết phỏt hiện và khắc phục sai lầm là một trong những yờu cầu cơ bản khi đỏnh giỏ lời giải bài toỏn. Trong giỏo dục, I.A.Komensky khẳng định : “Bất kỡ một sai lầm nào cũng cú thể làm cho HS học kộm đi nếu như GV khụng chỳ ý ngay tới những sai lầm đú, bằng cỏch hướng dẫn HS tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm”. Cỏc sai lầm của HS trong dạy học giải toỏn được hiểu là: điều trỏi với yờu cầu khỏch quan (mục đớch của giải toỏn, yờu
cầu bài toỏn…) hoặc lẽ phải (cỏc tỡnh huống điển hỡnh trong mụn toỏn: Khỏi niệm, định lý, qui tắc, cỏc nội dung của lụgớc toỏn, phương phỏp suy luận…) do đú khụng đạt được mục đớch của dạy học giải toỏn [9]. Để phỏt hiện và khắc phục sai lầm trong quỏ trỡnh giải toỏn đũi hỏi HS phải biết xem xột, đỏnh giỏ, chỉ rừ được cơ sở của những lập lụõn đỳng, đồng thời phải biết loại bỏ những lập luận hoặc những phộp biến đổi sai hoặc khụng cú căn cứ.
GV trong quỏ trỡnh giảng dạy cần ý thức được sự cần thiết tạo điều kiện, cơ hội cho HS phỏt hiện và sửa chữa những sai lầm khi giải toỏn. Cỏc biện phỏp GV xõy dựng cần khai thỏc được những khú khăn, những sai lầm phổ biến của HS khi giải toỏn về PT, HPT, BĐT và sẽ giỳp HS khắc phục dần những khú khăn, sai lầm đú.
Điều trước tiờn GV cần chỳ ý đến cỏc tỡnh huống mắc sai lầm của HS. Trong cỏc tiết học, HS được hoạt động, trỡnh bày ý tưởng, cỏch giải quyết của cỏ nhõn hoặc của nhúm mỡnh về một vấn đề đưa ra. Trong cỏc cỏch giải quyết đú cú những cỏch đỳng, cú những cỏch sai. GV luụn cần khớch lệ, trõn trọng mọi ý kiến đưa ra, đồng thời luụn tạo điều kiện, hỡnh thành thúi quen cho HS tự kiểm tra lời giải của mỡnh, kiểm tra, nhận xột lời giải của bạn. Khi HS lờn bảng giải bài tập, cần yờu cầu cỏc HS khỏc đưa ra nhận xột. Với những bài tập mà HS cả lớp cựng làm bài cỏ nhõn thỡ cú thể tổ chức hỡnh thức kiểm tra chộo: hai bạn ngồi cạnh nhau kiểm tra kết quả của nhau. Nếu lời giải chưa đỳng, cần tạo điều kiện để HS trao đổi đưa ra ý kiến, chỉ ra nguyờn nhõn sai lầm và cỏch sửa chữa. GV cũng cần tỡm hiểu nguyờn nhõn dẫn đến cỏch giải sai của HS bằng cỏch hỏi
+ Tại sao em giải như thế?
+ Em suy nghĩ như thế nào để cú lời giải này?
Qua ý kiến của HS, cựng với trao đổi, đỏnh giỏ của HS khỏc, giỳp HS đú nhận ra sai lầm đồng thời cỏc HS khỏc cũng biết và trỏnh sai lầm.
Ta xột vớ dụ sau về một tỡnh huống sai lầm mà HS thường hay gặp phải khi giải PT :
Bài toỏn: Giải PT 2x(x - 3) = 6 – 2x (1) Cú HS đó giải như sau:
(1) 2x(x – 3) = -2(x – 3) 2x = -2 x = -1 Vậy PT cú nghiệm x = -1
Khi đú GV cần “tận dụng” cơ hội này, trước hết yờu cầu HS kiểm tra lại lời giải của mỡnh, HS khỏc xem xột, đỏnh giỏ lời giải của bạn.
Nếu HS vẫn khụng thấy được chỗ sai của mỡnh thỡ yờu cầu HS khỏc đỏnh giỏ tớnh đỳng sai trong lời giải của bạn. Trong trường hợp HS vẫn chưa chỉ ra được tớnh đỳng sai, GV hướng dẫn HS qua cỏc gợi ý:
+ Liệu cú giỏ trị nào khỏc -1 cũng là nghiệm của PT khụng? (HS sẽ phỏt hiện ra x = 3 cũng là một nghiệm của PT)
Hướng dẫn HS tỡm ra nguyờn nhõn dẫn đến sai lầm qua yờu cầu HS trỡnh bày suy nghĩ của mỡnh:
+ Em suy nghĩ như thế nào (em sử dụng kiến thức nào? em dựa vào cơ sở nào ?...) để cú bước giải : 2x(x – 3) = -2(x – 3) 2x = -2
HS sẽ trả lời là chia hai vế cho x – 3. HS sẽ phỏt hiện ngay ra sai lầm khi phải trả lời cõu hỏi tiếp theo: Phộp chia thực hiện được khi nào?
Từ đú GV nhấn mạnh để HS nhớ rằng : ab = ac a(b – c) = 0 a 0 b c 0
Do đú khụng được chia cả hai vế của PT cho một biểu thức mà chưa biết chắc chắn biểu thức đú luụn khỏc khụng.
Một đặc thự khi giải cỏc bài toỏn về chủ đề PT, HPT, BĐT là yờu cầu về sử dụng chuẩn cỏc kớ hiệu, đặc biệt là cỏc kớ hiệu “ ; ”. Sử dụng khụng chớnh xỏc cỏc kớ hiệu trờn, vi phạm qui tắc biến đổi PT, HPT, BĐT tương
đương, đặt thừa hoặc thiếu điều kiện ..,là những sai lầm thường gặp với nhiều HS. Vớ dụ HS thường rất hay mắc sai lầm khi viết
x2 = 9 x =2, hoặc 1 1 x 1 x
Trong quỏ trỡnh giải toỏn núi chung và giải toỏn về chủ đề PT, HPT, BĐT núi riờng, cỏc sai lầm của HS là rất nhiều :
+ Sai lầm về sơ đồ thuật giải.
+ Sai lầm về vận dụng cỏc qui tắc lụgớc
+ Sai lầm khi vận dụng cỏc tỡnh huống điển hỡnh + Sai lầm về sử dụng cụng thức
+ Sai lầm về kĩ năng tớnh toỏn
Bờn cạnh việc chỳ ý, sử dụng trực tiếp những sai lầm của HS để rốn kĩ năng đỏnh giỏ cho HS, GV nờn chủ động tạo ra những tỡnh huống dự đoỏn trước những sai lầm mà HS cú thể mắc phải bằng cỏch đưa ra hợp lớ
những bài tập nhằm giỳp HS phỏt hiện và khắc phục những sai lầm. Yờu
cầu chung của kiểu bài đú là: Xột xem lời giải sau đỳng hay sai? nếu sai hóy sửa lại cho đỳng.
Ta xột một số vớ dụ khi dạy HS giải PT vụ tỉ:
Bài toỏn 2.16 : Khi giải PT 2
1 x x, một HS đó giải như sau: Điều kiện xỏc định 2 1 x 0 1 x 1 Khi đú 2 2 2 2 2 x 2 1 x x 1 x x 2x 1 2 x 2
Hai giỏ trị này thoả món điều kiện xỏc định.
Vậy PT cú hai nghiệm là 2; 2
2 2
GV tổ chức hướng dẫn HS trao đổi, phõn tớch để nhận ra sai lầm của lời giải bằng cỏch trả lời cỏc cõu hỏi:
+ Số 2 2
cú là nghiệm của PT khụng? + Tại sao xuất hiện nghiệm ngoại lai đú?
+ Phộp biến đổi bỡnh phương hai vế là tương đương khi cần phải cú điều kiện gỡ?
Trong bài toỏn này, HS phải chỉ ra được sai lầm trong phộp biến đối
Và nhớ đến kiến thức cơ bản x a x2 0 x a , hoặc tổng quỏt f(x) g(x) g(x) 02 f(x) g (x)
để đưa ra lời giải đỳng
Bài toỏn 2.17. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: A x y z, với x,y,z>0 y z x
Một HS đó giải như sau: Giả sử x y z 0. Ta suy ra:
2
x z 0 y(x z) z(x z) xy yz z xz Chia hai vế cho số dương xz ta được:
y y z 1
z x x (1) Mặt khỏc ta cú : x y 2
y x (2)
Cộng tương ứng cỏc vế (1) với (2) ta được: x y z 3 y z x
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A bằng 3, đạt được khi x = y = z Lời giải bài toỏn trờn cú bước sai, em hóy tỡm chỗ sai đú.
Đề bài đó khẳng định lời giải của bài toỏn là sai. Rừ ràng, khi đó được học BĐT Cụsi, HS sẽ dễ dàng đưa ra ngay đỏp ỏn của bài toỏn trờn là giỏ trị nhỏ nhất của A bằng 3, đạt được khi x = y = z. Như vậy về kết quả của lời
2 2 2
giải trong bài là đỳng. Vấn đề cần xỏc định lời giải sai ở bước nào. Đõy là vớ dụ mà HS khụng dễ dàng tỡm ra chỗ sai sút vỡ kết quả vẫn đỳng, và phõn tớch, rà soỏt cỏc bước biến đổi cũng khụng cú điểm sai. Khi đú GV cho HS trao đổi, phõn tớch lời giải để tỡm ra điểm “nghi ngờ” trong bài toỏn. Kết quả duy nhất cú thể nghi ngờ chớnh là việc giả sử x y z 0.
Vấn đề cần làm rừ: Khi nào được phộp giả sử x y z?.
GV hướng dẫn HS phõn tớch để tỡm ra sai lầm: Khi hoỏn vị vũng quanh
x thay bởi y, y thay bởi z, z thay bởi x thỡ biểu thức A trở thành A y z x z x y tức là biểu thức khụng đổi. Điều đú cho phộp ta được giả sử x là số lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhưng khụng được phộp giả sử x y z. Thật vậy, sau khi chọn x là số lớn nhất (x y; x z) thỡ vai trũ của y và z lại khụng bỡnh đẳng : giữ nguyờn x, thay y bởi z, thay z bởi y ta được x z y
z y x, khụng bằng biểu thức A.
Như đó phõn tớch ở mục 1.2.5, cỏc kĩ năng phõn tớch, tổng hợp, đỏnh giỏ cú mối liờn hệ chặt chẽ với nhau, tỏc động hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Việc rốn luyện cỏc kĩ năng này khụng phải là rốn luyện tỏch bạch từng kĩ năng, mà cỏc quỏ trỡnh này đan xen nhau, tỏc động lẫn nhau. Qua rốn luyện cỏc kĩ năng này HS hiểu được cỏch thức để giải toỏn, khụng chỉ hiểu sõu kiến thức mà cũn biết được con đường đi đến những kiến thức đú. Rốn luyện cỏc kĩ năng này thỳc đẩy tư duy sỏng tạo và tư duy phờ phỏn của HS được phỏt triển.