- Từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 1 (s) = 2.5T, vật quay từ M0 theo chiều dương 2,5 vòng và dừng lại ở Mt. Trong khoảng thời gian đó, vật sẽ quay qua M1 2 lần .
Vậy: Trong giây đầu tiên kể từ lúc bắt đầu dao động, vật đi qua vị trí có x = 2cm theo chiều dương dương 2 lần.
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số 5Hz. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = - 0,5A đến vị trí có li độ x2 = 0.5A.
Hướng dẫn giải:
Vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hịa và chuyển động trịn đều, ta có thể mơ tả bài tập theo hình 2.8.
Từ hình 2.8 cho thấy: trong khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = 0,5A đến vị trí có li độ x2 = - 0,5A tương đương với trên đường tròn vật quay được từ M1 đến M2 với góc quay α = = π /3 hết
2 -2 x 1 O ω 1 M0 M1 M(t)
thời gian ∆tthỏa mãn: Hình 2.7. Minh họa ví dụ 3. Suy ra: 1 6 30 T t ∆ = = (s) (Vì T = 1/f = 0.2 s) Vậy thời gian cần tìm bằng T/6 = 1/30 (s).
Bài tập tự giải.
Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3 cos (7πt - 5π/6) (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong 1312s đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -1,5 cm theo chiều âm mấy lần?
Đáp số: 4 lần.
Bài 2: Một vật dao động điều hòa với tần số bằng 5Hz. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = - 2 2A đến vị trí có li độ x2 = 3 2A?
Đáp số: 7/120 s.
Bài 3: Một vật dao động điều hoà với ly độ x=4 cos(0,5πt−5 / 6)(π cm), trong đó t tính bằng (s). Xác định thời điểm vật đi qua vị trí x = 2 3cm theo chiều dương lần thứ 2? Đáp số: t = 16 / 3(s). -A/2 A -A x1 O ω A/2 M2 M 1
Bài 4: Một vật dao động điều hồ theo phương trình: x = 10cos(2πt +π / 4) cm. Tìm thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ 3?
Đáp số:9 / 8(s).
Bài 5: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương
trình: 5cos 20 3
x t π
= +
cm. Lấy g = 10 m/s2. Tính tỉ số giữa thời gian lò xo bị nén và bị dãn trong một chu kì?
Đáp số: tnén : tdãn =1 : 2
Bài 6: Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Khi hệ cân bằng lị xo dãn 5 cm. Kích
thích cho vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với chu kì T. Xét trong một chu kì dao động thì thời gian độ lớn gia tốc của vật nhỏ hơn gia tốc rơi tự do g tại nơi treo con lắc là T/3. Tính biên độ dao động A của vật?
Đáp số: A = 10 cm.
2.3.1.3. Dạng 3: Tìm vị trí, vận tốc ở một thời điểm.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình:
4 os(2 )
3
x c t π
π
= + cm. Vào thời điểm t1 vật có li độ x1 = 2 3cm và đang chuyển động theo chiều âm. Hỏi vào thời điểm t2 = t1 + 0,25s, vật ở vị trí có li độ x2 bằng bao nhiêu và đang chuyển động theo chiều nào?
Hướng dẫn giải:
Đây là dạng bài tập tìm vị trí của vật tại một thời điểm bất kì. Theo đầu bài, vật thực hiện dao động điều hịa nên có thể vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa với chuyển động trịn đều để giải. Có thể mơ tả bài tập bằng hình 2.8.
- Ta có: A = 4cm; T = 1 s; φ = π/3. Từ hình 2.8, nhận thấy:
- Ở thời điểm t1 vật qua vị trí x1 = 2 3 cm theo chiều âm, tương đương với trên đường trịn vật quay qua vị trí M1.
.
Hình 2.8. Minh họa bài tập ví dụ 1.
- Thời điểm t2 = t1 + 0,25 s = t1 + T/4, trên đường trịn vật sẽ quay thêm góc π/2 từ vị trí M1 tới vị trí M2 thuộc nửa trên của đường tròn.
Vậy ở thời điểm t2 , vật qua vị tríx2 = -2 cm theo chiều âm.
Ví dụ 2: Một vật dao động với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t1 vật có vận tốc v1 = -12 2 πcm/s và chuyển động chậm dần. Vào thời điểm t2 = t1 +0,125s vận tốc của vật là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Phương trình dao động của vật đã cho là phương trình của vật dao động điều hòa với các giá trị: A = 6 cm; ω = 4 π T = 0,5 s;
2
π ϕ = − . Vận dụng phương pháp tương tự với chuyển động trịn đều, ta có thể minh họa bài tập này như hình 2.9.
Nhận thấy:
- Ở thời điểm t1, vật có vận tốc v1 = -12 2 πcm/s (chuyển động theo chiều âm) và chuyển động chậm dần nên phải chuyển động theo chiều từ cân bằng ra biên. Do đó phải có x1 < 0. Áp dụng công thức: 2 2 12 1 2 v A x ω = + 4 -4 O x1 ω 2 3 M2 M1 π /6 π /2 π /3 -2
Suy ra: x1 = -3 cm.
Hình 2.9. Minh họa bài tập ví dụ 2
Trạng thái của vật ở thời điểm t1 được biểu diễn bằng vị trí M1 trên đường trịn.
- Thời điểm t2 = t1 +0,125s = t1 +T/4, tương đương với trên đường tròn vật sẽ quay từ M1 đi góc π/2 đến M2 ở nửa dưới của đường tròn.
Suy ra: x2 = - 3 cm
Vật đang chuyển động theo chiều dương nên có v2 > 0. Áp dụng công thức 2 2 22 2 2 v A x ω = + Suy ra: v2 = 12π 2cm/s.
Nhận xét: Các ví dụ 1 và 2 trên đây vẫn có thể giải theo phương pháp
thơng thường bằng các phương trình lượng giác, nhưng sẽ khó khăn hơn, vì khi đó học sinh phải giải hệ các phương trình lượng giác phức tạp. Mặt khác, nghiệm của các phương trình lượng giác là một họ nhiều giá trị nên việc chọn nghiệm nào cũng là một khó khăn nữa đối với học sinh. Nên giải bằng cách vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều như trên là tối ưu nhất.
Bài tập tự giải: 6 -6 x 1 O ω M1 M2 π /3 π /6 -3 -3
Bài 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình: 2 os(4 ) 3
x c t π
π
= + cm. Vào
thời điểm t vật có li độ x = 2cm và đang chuyển động theo chiều dương. Hỏi vào thời điểm trước đó 0,25(s) vật đang ở vị trí có li độ bằng bao nhiêu?
Đáp số: - 2cm.
Bài 2: Một vật dao động điều hịa với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có tốc độ 24 ( / )π cm s và li độ của vật đang giảm. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm 0,125(s) sau đó.
Đáp số: 0 cm/s.
Bài 3: Một vật dao động điều hịa với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có vận tốc -12π cm/s và chuyển động nhanh dần. Hỏi vào thời điểm 0,125(s) sau đó vận tốc của vật là bao nhiêu?
Đáp số: -12π 3cm/s.
Bài 4: Một con lắc lò xo dao động với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có gia tốc -48π2cm/s và li độ đang giảm. Hỏi vào thời điểm
24
5 (s) sau đó vận tốc của vật là bao nhiêu?
Đáp số: 12π cm/s.
Bài 5: Một con lắc lị xo dao động với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có vận tốc 0 cm/s và li độ đang giảm. Hỏi vào thời điểm
16
3 (s) sau đó vận tốc của vật là bao nhiêu?
Đáp số: -12π 2cm/s.
2.3.1.4. Dạng 4: Tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian cho
trước, thời gian đi hết đoạn đường cho trước.
Nếu vật dao động điều hịa và cho biết phương trình dao động của vật thì có thể vận dụng phương pháp tương tự để tìm quãng đường vật đi được
trong một khoảng thời gian nào đó hoặc ngược lại, tìm thời gian để vật đi được một đoạn đường nào đó.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hồ với phương trình: x = 4cos(2πt +
π/4)cm, (t tính bằng giây). Tìm quãng đường vật đi được trong 1,25 giây đầu
tiên kể từ thời điểm ban đầu?
Hướng dẫn giải:
Theo đầu bài, vật dao động điều hòa với: A = 4cm; ω = 2π T=1 s; φ = π/4.
Ta có thể vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động trịn đều để giải, bằng cách mơ tả chuyển động trên hình 2.10.
Hình 2.10. Mơ tả bài tập ví dụ 1
Nhận thấy:
- Trạng thái ban đầu của vật được biểu diễn tương ứng bằng điểm M0 trên đường tròn.
Sau thời gian 1,25s = (1+1/4)T, vật sẽ quay được 1 vòng, trở về M0 và quay tiếp góc π/2 đến M.
- Trong thời gian bằng 1T, vật luôn đi được quãng đường bằng: 4A = 16 (cm).
- Từ M0 đến M, vật đi được thêm quãng đường là: 2.2 = 4 (cm).
4 -4 O x ω M0 M π /2 π /4 -2 2 π /4
- Vậy tổng quãng đường vật đi được trong 1,25 giây đầu tiên là: 16 + 4 (cm).
Ví dụ 2: Cho phương trình dao động của một vật: x = 4cos(10πt – 2π/3)
cm. Tính thời gian kể từ thời điểm ban đầu để vật đi được quãng đường bằng 20 cm?
Hướng dẫn giải:
Giống như ví dụ 1, ví dụ 2 cũng là bài tập về dao động điều hoà với phương trình dao động đã cho có các dữ kiện là:
A = 4 cm; ω = 10π T =0,2 (s); φ = -5π/6.
Ta có thể vận dụng mối liên hệ với chuyển động tròn đều để giải, bằng cách mơ tả chuyển động trên hình 2.11.
Hình 2.11. Minh họa bài tập ví dụ 2
Nhận thấy:
- Trạng thái của vật ở thời điểm ban đầu được biểu diễn ở vị trí M0, có li độ x0 = - 2 cm.
- Quãng đường vật đi được là S = 20 cm = 4A + A.
- Để đi được quãng đường bằng 4A, mất khoảng thời gian bằng 1T, tương đương trên đường tròn vật quay 1 vòng trở về M0.
M0 4 -4 x O ω π /3 π /3 -2 2 M π /3
Để đi tiếp quãng đường bằng A = 4 cm, vật phải đi từ vị trí có x0 = -2 cm đến vị trí có x = 2 cm, tương đương với trên đường tròn vật quay từ M0 đến M với góc quay
3
π , sẽ mất khoảng thời gian là: / 3
2 6
T T
π
π =
Vậy tổng thời gian để vật đi được quãng đường bằng 20 cm là:
7 1,4
( )
6 6 6
T T
T + = = s
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox với biên độ A, chu kì
T. Tính qng đường dài nhất vật đi được trong khoảng thời gian T/4.
Hướng dẫn giải:
Theo đầu bài, vật dao động điều hồ nên có thể vận dụng phương pháp tương tự với chuyển động tròn đều để giải. Qúa trình dao động của vật được mơ tả trên hình 2.12.
Từ hình 2.12, nhận thấy:
Hình 2.12. Minh họa bài tập ví dụ 3
- Trong khoảng thời gian T/4, tương đương với trên đường tròn vật sẽ quay được góc π/2. Để đi được quãng đường dài nhất, vật phải đi ở vùng có tốc độ lớn nhất, đó là lân cận hai bên vị trí cân bằng, tương đương với các vị trí trên đường trịn mà vật quay từ M1 đến M2 như hình 2.12.
Vậy quãng đường lớn nhất vật có thể đi được trong thời gian T/4 là:
A 2 A -A O x ω M1 M2 π /4 π /4 -A/ A/
Bài 1: Một vật dao động điều hoà trên một quỹ đạo thẳng dài 6cm. Thời gian
đi hết chiều dài quỹ đạo là 1s. Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 10s đầu. Biết lúc t = 0 vật ở vị trí cách biên 1,25cm.
Đáp số: 60cm
Bài 2: Một vật dao động điều hoà trên một quỹ đạo thẳng với phương trình:
x = 4cos(πt + π/3)cm. Tính quãng đường vật đi được trong thời gian từ 1/6(s) đến 32/3 (s)?
Đáp số: 84cm
Bài 3: Một vật dao động điều hịa theo trục Ox với biên độ A, chu kì T. Tính
quãng đường dài nhất vật đi được trong khoảng thời gian 2T/3?
Đáp số: 3 A
Bài 4: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox với biên độ A,chu kì T.Tính qng đường ngắn nhất vật đi được trong khoảng thời gian T/4?
Đáp số: 2A-A
Bài 5: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x = 8cos(2πt + π/3) cm.
Tìm vị trí xuất phát để trong khoảng thời gian 1/3(s) vật đi được quãng đường dài nhất?
Đáp số: Từ vị trí x = 4 cm theo chiều âm, hoặc từ vị trí x = -4 cm theo chiều dương.
Bài 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x = 8cos(2πt + π/3) cm.
Tìm vị trí xuất phát để trong khoảng thời gian 2/3(s) vật đi được quãng đường ngắn nhất
Đáp số: Từ vị trí x = 4 cm theo chiều dương,
hoặc từ vị trí x = -4 cm theo chiều âm.
Bài 7: Một con lắc lò xo dao động với biên độ 6cm và chu kỳ 2(s). Tính thời
Đáp số: 2/3(s)
Bài 8: Một con lắc lò xo dao động với biên độ 6cm và chu kỳ 2s. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường bằng 18cm?
Đáp số: 4/3(s)
Bài 9: Một con lắc lò xo dao động với biên độ 6cm và chu kỳ 2(s). Tính thời
gian lâu nhất để vật đi được quãng đường bằng 18cm?
Đáp số: 5/3(s)
2.3.2. Chương “Sóng cơ”
Phương trình mơ tả dao động của sóng cơ thuộc dạng hình sin tương đương với dao động điều hịa. Vì vậy giải các bài tập chương “ Sóng cơ”có thể vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động trịn đều.
2.3.2.1. Dạng 1: Tìm các đại lượng của sóng.
Ví dụ 1: Một sóng hình sin lan truyền từ nguồn O dọc theo một đường
thẳng với biên độ sóng A khơng đổi, chu kì T, bước sóng λ. Tại thời điểm t = 0, điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.Tại thời điểm
3 T t= , một điểm M cách nguồn một khoảng bằng 4 λ có li độ 5cm. Tính biên độ của sóng? Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Sóng có dạng hình sin như một dao động điều hịa. Vậy có thể sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải. Có thể mơ tả PPTT để giải bài tập này qua hình 2.13.
Hình 2.13. Minh họa bài tập ví dụ 1
Từ hình 2.13, nhận thấy:
- Vì tại thời điểm t = 0, điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương và sóng truyền từ O đến M, điểm M cách O là λ/4, nên M dao động trễ pha hơn O là π/2. Do đó, trạng thái dao động của O và M ở thời điểm ban đầu t0 = 0 được biểu diễn tương đương bằng các vị trí O0 và M0 trên đường trịn.
- Trạng thái dao động của M trên ở thời điểm t = T/3 được biểu diễn tương đương bằng vị trí Mt đường tròn.
- Trong thời gian t = T/3, trên đường tròn tương đương với chuyển động quay được góc α =M OM·0 t , với:
Suy ra: 2
3
π α =
- Trên hình 2.13, ta thấy li độ của M ở thời điểm t = T/3 bằng A//2 . Mà theo giả thiết, ở thời điểm t = T/3, M có li độ bằng 5 cm . Suy ra:
A/2 = 5 cm. Vậy: A= 10 cm.
Ví dụ 2: Một sóng hình sin lan truyền từ nguồn O với biên độ sóng A
khơng đổi, chu kì T, bước sóng λ. Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương