Trạng thái của vật ở thời điểm t1 được biểu diễn bằng vị trí M1 trên đường trịn.
- Thời điểm t2 = t1 +0,125s = t1 +T/4, tương đương với trên đường tròn vật sẽ quay từ M1 đi góc π/2 đến M2 ở nửa dưới của đường tròn.
Suy ra: x2 = - 3 cm
Vật đang chuyển động theo chiều dương nên có v2 > 0. Áp dụng công thức 2 2 22 2 2 v A x ω = + Suy ra: v2 = 12π 2cm/s.
Nhận xét: Các ví dụ 1 và 2 trên đây vẫn có thể giải theo phương pháp
thơng thường bằng các phương trình lượng giác, nhưng sẽ khó khăn hơn, vì khi đó học sinh phải giải hệ các phương trình lượng giác phức tạp. Mặt khác, nghiệm của các phương trình lượng giác là một họ nhiều giá trị nên việc chọn nghiệm nào cũng là một khó khăn nữa đối với học sinh. Nên giải bằng cách vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều như trên là tối ưu nhất.
Bài tập tự giải: 6 -6 x 1 O ω M1 M2 π /3 π /6 -3 -3
Bài 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình: 2 os(4 ) 3
x c t π
π
= + cm. Vào
thời điểm t vật có li độ x = 2cm và đang chuyển động theo chiều dương. Hỏi vào thời điểm trước đó 0,25(s) vật đang ở vị trí có li độ bằng bao nhiêu?
Đáp số: - 2cm.
Bài 2: Một vật dao động điều hịa với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có tốc độ 24 ( / )π cm s và li độ của vật đang giảm. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm 0,125(s) sau đó.
Đáp số: 0 cm/s.
Bài 3: Một vật dao động điều hịa với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có vận tốc -12π cm/s và chuyển động nhanh dần. Hỏi vào thời điểm 0,125(s) sau đó vận tốc của vật là bao nhiêu?
Đáp số: -12π 3cm/s.
Bài 4: Một con lắc lò xo dao động với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có gia tốc -48π2cm/s và li độ đang giảm. Hỏi vào thời điểm
24
5 (s) sau đó vận tốc của vật là bao nhiêu?
Đáp số: 12π cm/s.
Bài 5: Một con lắc lị xo dao động với phương trình 6 os(4 ) 2
x c t π
π
= − cm. Tại
thời điểm t vật có vận tốc 0 cm/s và li độ đang giảm. Hỏi vào thời điểm
16
3 (s) sau đó vận tốc của vật là bao nhiêu?
Đáp số: -12π 2cm/s.
2.3.1.4. Dạng 4: Tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian cho
trước, thời gian đi hết đoạn đường cho trước.
Nếu vật dao động điều hịa và cho biết phương trình dao động của vật thì có thể vận dụng phương pháp tương tự để tìm quãng đường vật đi được
trong một khoảng thời gian nào đó hoặc ngược lại, tìm thời gian để vật đi được một đoạn đường nào đó.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hồ với phương trình: x = 4cos(2πt +
π/4)cm, (t tính bằng giây). Tìm quãng đường vật đi được trong 1,25 giây đầu
tiên kể từ thời điểm ban đầu?
Hướng dẫn giải:
Theo đầu bài, vật dao động điều hòa với: A = 4cm; ω = 2π T=1 s; φ = π/4.
Ta có thể vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động trịn đều để giải, bằng cách mơ tả chuyển động trên hình 2.10.
Hình 2.10. Mơ tả bài tập ví dụ 1
Nhận thấy:
- Trạng thái ban đầu của vật được biểu diễn tương ứng bằng điểm M0 trên đường tròn.
Sau thời gian 1,25s = (1+1/4)T, vật sẽ quay được 1 vòng, trở về M0 và quay tiếp góc π/2 đến M.
- Trong thời gian bằng 1T, vật luôn đi được quãng đường bằng: 4A = 16 (cm).
- Từ M0 đến M, vật đi được thêm quãng đường là: 2.2 = 4 (cm).
4 -4 O x ω M0 M π /2 π /4 -2 2 π /4
- Vậy tổng quãng đường vật đi được trong 1,25 giây đầu tiên là: 16 + 4 (cm).
Ví dụ 2: Cho phương trình dao động của một vật: x = 4cos(10πt – 2π/3)
cm. Tính thời gian kể từ thời điểm ban đầu để vật đi được quãng đường bằng 20 cm?
Hướng dẫn giải:
Giống như ví dụ 1, ví dụ 2 cũng là bài tập về dao động điều hoà với phương trình dao động đã cho có các dữ kiện là:
A = 4 cm; ω = 10π T =0,2 (s); φ = -5π/6.
Ta có thể vận dụng mối liên hệ với chuyển động tròn đều để giải, bằng cách mơ tả chuyển động trên hình 2.11.
Hình 2.11. Minh họa bài tập ví dụ 2
Nhận thấy:
- Trạng thái của vật ở thời điểm ban đầu được biểu diễn ở vị trí M0, có li độ x0 = - 2 cm.
- Quãng đường vật đi được là S = 20 cm = 4A + A.
- Để đi được quãng đường bằng 4A, mất khoảng thời gian bằng 1T, tương đương trên đường tròn vật quay 1 vòng trở về M0.
M0 4 -4 x O ω π /3 π /3 -2 2 M π /3
Để đi tiếp quãng đường bằng A = 4 cm, vật phải đi từ vị trí có x0 = -2 cm đến vị trí có x = 2 cm, tương đương với trên đường tròn vật quay từ M0 đến M với góc quay
3
π , sẽ mất khoảng thời gian là: / 3
2 6
T T
π
π =
Vậy tổng thời gian để vật đi được quãng đường bằng 20 cm là:
7 1,4
( )
6 6 6
T T
T + = = s
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox với biên độ A, chu kì
T. Tính qng đường dài nhất vật đi được trong khoảng thời gian T/4.
Hướng dẫn giải:
Theo đầu bài, vật dao động điều hồ nên có thể vận dụng phương pháp tương tự với chuyển động tròn đều để giải. Qúa trình dao động của vật được mơ tả trên hình 2.12.
Từ hình 2.12, nhận thấy:
Hình 2.12. Minh họa bài tập ví dụ 3
- Trong khoảng thời gian T/4, tương đương với trên đường tròn vật sẽ quay được góc π/2. Để đi được quãng đường dài nhất, vật phải đi ở vùng có tốc độ lớn nhất, đó là lân cận hai bên vị trí cân bằng, tương đương với các vị trí trên đường trịn mà vật quay từ M1 đến M2 như hình 2.12.
Vậy quãng đường lớn nhất vật có thể đi được trong thời gian T/4 là:
A 2 A -A O x ω M1 M2 π /4 π /4 -A/ A/
Bài 1: Một vật dao động điều hoà trên một quỹ đạo thẳng dài 6cm. Thời gian
đi hết chiều dài quỹ đạo là 1s. Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 10s đầu. Biết lúc t = 0 vật ở vị trí cách biên 1,25cm.
Đáp số: 60cm
Bài 2: Một vật dao động điều hoà trên một quỹ đạo thẳng với phương trình:
x = 4cos(πt + π/3)cm. Tính quãng đường vật đi được trong thời gian từ 1/6(s) đến 32/3 (s)?
Đáp số: 84cm
Bài 3: Một vật dao động điều hịa theo trục Ox với biên độ A, chu kì T. Tính
quãng đường dài nhất vật đi được trong khoảng thời gian 2T/3?
Đáp số: 3 A
Bài 4: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox với biên độ A,chu kì T.Tính qng đường ngắn nhất vật đi được trong khoảng thời gian T/4?
Đáp số: 2A-A
Bài 5: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x = 8cos(2πt + π/3) cm.
Tìm vị trí xuất phát để trong khoảng thời gian 1/3(s) vật đi được quãng đường dài nhất?
Đáp số: Từ vị trí x = 4 cm theo chiều âm, hoặc từ vị trí x = -4 cm theo chiều dương.
Bài 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x = 8cos(2πt + π/3) cm.
Tìm vị trí xuất phát để trong khoảng thời gian 2/3(s) vật đi được quãng đường ngắn nhất
Đáp số: Từ vị trí x = 4 cm theo chiều dương,
hoặc từ vị trí x = -4 cm theo chiều âm.
Bài 7: Một con lắc lò xo dao động với biên độ 6cm và chu kỳ 2(s). Tính thời
Đáp số: 2/3(s)
Bài 8: Một con lắc lò xo dao động với biên độ 6cm và chu kỳ 2s. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường bằng 18cm?
Đáp số: 4/3(s)
Bài 9: Một con lắc lò xo dao động với biên độ 6cm và chu kỳ 2(s). Tính thời
gian lâu nhất để vật đi được quãng đường bằng 18cm?
Đáp số: 5/3(s)
2.3.2. Chương “Sóng cơ”
Phương trình mơ tả dao động của sóng cơ thuộc dạng hình sin tương đương với dao động điều hịa. Vì vậy giải các bài tập chương “ Sóng cơ”có thể vận dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động trịn đều.
2.3.2.1. Dạng 1: Tìm các đại lượng của sóng.
Ví dụ 1: Một sóng hình sin lan truyền từ nguồn O dọc theo một đường
thẳng với biên độ sóng A khơng đổi, chu kì T, bước sóng λ. Tại thời điểm t = 0, điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.Tại thời điểm
3 T t= , một điểm M cách nguồn một khoảng bằng 4 λ có li độ 5cm. Tính biên độ của sóng? Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Sóng có dạng hình sin như một dao động điều hịa. Vậy có thể sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải. Có thể mơ tả PPTT để giải bài tập này qua hình 2.13.
Hình 2.13. Minh họa bài tập ví dụ 1
Từ hình 2.13, nhận thấy:
- Vì tại thời điểm t = 0, điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương và sóng truyền từ O đến M, điểm M cách O là λ/4, nên M dao động trễ pha hơn O là π/2. Do đó, trạng thái dao động của O và M ở thời điểm ban đầu t0 = 0 được biểu diễn tương đương bằng các vị trí O0 và M0 trên đường trịn.
- Trạng thái dao động của M trên ở thời điểm t = T/3 được biểu diễn tương đương bằng vị trí Mt đường tròn.
- Trong thời gian t = T/3, trên đường tròn tương đương với chuyển động quay được góc α =M OM·0 t , với:
Suy ra: 2
3
π α =
- Trên hình 2.13, ta thấy li độ của M ở thời điểm t = T/3 bằng A//2 . Mà theo giả thiết, ở thời điểm t = T/3, M có li độ bằng 5 cm . Suy ra:
A/2 = 5 cm. Vậy: A= 10 cm.
Ví dụ 2: Một sóng hình sin lan truyền từ nguồn O với biên độ sóng A
khơng đổi, chu kì T, bước sóng λ. Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương
O0 Mt A -A u 0 ω M0 π /3 2π /3 A/2
truyền sóng cách nhau λ/3. Tại thời điểm t, M và N có li độ lần lượt là : uM = 3cm và uN = -3cm. Tính biên độ sóng A?
Hướng dẫn giải:
Qúa trình truyền sóng là q trình điều hịa theo khơng gian với chu kì là bước sóng λ. Nên có thể áp dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải. Có thể mơ tả bằng hình 2.14. Từ hình 2.14, ta nhận thấy:
- Hai điểm M,N cách nhau λ/3 nên hai dao động tại M,N lệch pha nhau
góc 2 / 3 2
3
λ π
ϕ π λ
∆ = = . Lại có uM = 3cm và uN = -3cm nên ta có thể biểu diễn trạng thái tương đương của M,N trên đường tròn bằng hai điểm M và N như ở hình 2.14.
Hình 2.14. Minh họa bài tập ví dụ 2
Trên hình 2.16, ta có : · 2 ;·
3 6
MON π MOx π
= =
Vì : cos π/6= 3/A suy ra : A = 2 3 cm Vậy biên độ sóng là: A = 2 3 cm
Bài tập tự giải :
Bài 1: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng. Phương trình
sóng tại nguồn O là : u o = Acos( 2π t
2
π
+ ) (cm), biên độ sóng truyền đi
A -A O x ω M N π/6 π/6 -3 3 2π/3
không đổi, bước sóng là λ. Điểm M nằm trên phương truyền sóng, M cách O là λ/3. Tại thời điểm t = T/2 M có li độ uM = 2(cm). Tính biên độ sóng A?
Đáp số: 4 / 3cm
Bài 2: Một sóng cơ học lan truyền trong mơi trường với vận tốc truyền sóng v
= 40cm/s. Phương trình sóng tại nguồn là: u = 4sin (πt/2) cm, biên độ sóng truyền đi khơng đổi. Điểm M nằm trên một phương truyền sóng. Biết rằng tại thời điểm t thì li độ của phần tử M là 3cm. Hỏi tại thời điểm (t + 6) s li độ của M bằng bao nhiêu?
Đáp số: -3cm
Bài 3: Một sóng cơ học lan truyền trong mơi trường với biên độ sóng A
truyền đi khơng đổi, chu kì T, bước sóng λ. Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau λ/3. Tại thời điểm t1 = 0, M và N có li độ lần lượt là uM = +3cm và uN = -3cm. Biết sóng truyền từ M đến N. Hỏi sau thời gian ít nhất bằng bao nhiêu M sẽ có li độ bằng A?
Đáp số: T/12
Bài 4: Nguồn sóng ở O được truyền theo phương Ox . Trên phương này có hai điểm P và Q cách nhau PQ = 15cm . Biết tần số sóng là 10Hz, vận tốc truyền sóng v = 40cm/s, biên độ sóng khơng đổi khi truyền đi và bằng 3cm . Nếu tại thời điểm nào đó P có li độ 3 / 2 cm, thì li độ của Q có độ lớn bằng bao nhiêu?
Đáp số: 1,5cm
Bài 5: Một sóng cơ học truyền đi trong một mơi trường với bước sóng λ, tần
số f và biên độ sóng là A khơng đổi. Sóng truyền theo chiều từ điểm M đến điểm N cách nhau 7λ/3. Tại một thời điểm nào đó tốc độ dao động của M là 2πfA , hãy tính tốc độ dao động tại N tại cùng thời điểm đó?
2.3.2.2. Dạng 2: Tìm các đại lượng của sóng dừng.
Ví dụ 1: Một sóng dừng trên sợi dây căng nằm ngang với hai đầu cố
định, bụng sóng dao động với biên độ bằng 2a. Tìm khoảng cách từ một điểm M trên dây đến bụng và nút gần nhất, biết M có biên độ dao động bằng a .
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Vì sóng cơ hình sin vừa điều hịa theo thời gian với chu kì T và điều hịa theo khơng gian với "chu kì" là bước sóng λ. Vì vậy, ta cũng có thể áp dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. Nếu xét ở cùng một thời điểm xác định t thì li độ u của các điểm khác nhau trong môi trường có sóng truyền qua biến thiên điều hịa theo khơng gian ( biến số x) với chu kì bước sóng λ , ta có hệ thức liên hệ giữa khoảng cách d và góc quay tương đương trên đường trịn là: .
Trên cơ sở đó có thể biểu diễn các điểm khác nhau của sợi dây trong một múi sóng trên đường trịn như hình 2.15
Hình 2.15. Minh họa bài tập ví dụ 1
Từ hình 2.15, nhận thấy:
- Trong một múi sóng (giữa hai nút liên tiếp), có hai điểm có biên độ bằng a là M1 và M2, với các góc từ M1 và M2 đến bụng và nút gần nhất đều là α =π . π/4 2a 2a A M O ω M1 π/4 a π/4 M2 Bụng Nút Nút Bụng π/4 AM
- Theo hệ thức: ta suy ra: Khoảng cách từ một điểm M trên dây đến bụng và nút gần nhất đều là d = λ/8.
Ví dụ 2 (Đề thi đại học năm 2014): Trên một sợi dây đàn hồi đang có
sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6 cm. Trên dây có những phần tử sóng dao động với tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C và D là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7 cm. Tại thời điểm