Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.2. Cơ sở lý luận
1.2.4. Hoán vị, chỉnh hợp,tổ hợp
Toán học rời rạc (discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành tốn học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở tốn học của khoa học máy tính. Nó cịn được gọi là tốn học dành cho máy tính.
Tốn rời rạc gồm những nội dung nào? Toán học rời rạc gồm lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole.
Tốn học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp.
1.2.4.1. Quy tắc đếm
Quy tắc cộng: Giả sử một cơng việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực
hiện phương án B. Khi đó cơng việc có thể được thực hiện bởi m+n cách. Quy tắc nhân: Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai cơng đoạnA và
thì cơng đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó cơng việc có thể thực hiện
theon+m cách.
1.2.4.2. Hốn vị
Hốn vị (khơng lặp):
- Cho tập hợp A có n (n1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo
một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).
- Kí hiệu Pn n! là số các hốn vị của tập hợp có n phần tử. Hốn vị lặp:
- Cho k phần tử khác nhau a a1, ,...,2 ak. Một cách sắp xếp n phần tử
trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tửa2, ..., nk phần tửak, ( 1 2 ... k
n n n n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu ( , ,..., )n n1 2 nk của k phần tử.
- Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu ( , ,..., )n n1 2 nk của k phần tử là
1 2 1 2 ! ( , ,..., ) . ! !... ! n k k n P n n n n n n Hốn vị vịng quanh: - Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hốn vị vòng quanh của n phần tử.
- Số các hốn vị vịng quanh của n phần tử là:Qn (n 1)!
1.2.4.3. Chỉnh hợp
Chỉnh hợp (không lặp):
- Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Khi lấy ra
k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
- Kí hiệu: k n A là số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử. - Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là ! n
Chỉnh hợp lặp:
- Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.
- Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là k k n
A n .
1.2.4.4. Tổ hợp
Tổ hợp (không lặp):
- Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A).
- Kí hiệu: k n C (hoặc n k ) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử. - Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là ( 1)( 2)...( 1) ! ! !( )! k n n n n n k n C k k n k hay ! k k n n A C k . Tổ hợp lặp: - Cho tập A gồm n phần tử và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. - Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử 1 1 1 k k m n n k n k C C C . Các tính chất cơ bản của tổ hợp
- Tính chất 1. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n. Khi đó k n k
n n
C C .
- Tính chất 2 (hằng đẳng thức Pa-xcan). Cho các số nguyên n và k với 1 k n.Khi đó 1
1
k k k n n n
C C C .
1.2.4.5. Vai trị của hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp đối với sự phát triển tư duy phê phán
- Giúp người học hiểu sâu khái niệm Toán học.
- Tránh những hiểu nhầm, thiếu trường hợp hoặc ngộ nhận Toán học. - Phát triển các kĩ năng tư duy phê phán (phân tích, kiểm chứng, biện hộ, kiểm tra, chứng minh)mà người học có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống.
- Làm cho việc học trở nên chủ động, tích cực và sáng tạo hơn.