Nội dung và thực hiện biện pháp

Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

2.1.2. Nội dung và thực hiện biện pháp

- Trong khi dạy học từng tiết, từng bài, giáo viên cần phải có phần củng cố kiến thức trong tiết học, bài học đó để học sinh nắm chắc được nội dung kiến thức mà các em vừa học. Việc làm này là hết sức cần thiết để học sinh nhớ được kiến thức nền tảng. Vì khi nắm được các kiến thức cơ bản, học sinh mới có thể hiểu và phát hiện ra cách giải của bài toán theo hướng đúng đắn.

- Chủ yếu ở đây là làm cho học sinh nắm vững các định nghĩa, kí hiệu và cơng thức tốn học. Giáo viên cần làm cho học sinh khơng cịn lúng túng khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân, khi nào dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp. Đặc biệt làm thế nào để khi học sinh đọc đề bài, các em có thể nghĩ ra cách giải vì đa số học sinh khi đọc đề bài toán Hoán vị, chỉnhh hợp, tổ hợp, các em mù mờ không hiểu bài đang hỏi gì và bắt đầu từ đâu. Trong khi đó, nếu như có sự gợi ý của giáo viên hoặc các em đọc lời giải thì thấy bài tốn trở nên dễ dàng và khơng khó hiểu.

- Nhấn mạnh sự khác nhau giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân để học sinh tránh nhầm lẫn giữa 2 quy tắc.

Sự khác nhau giữa 2 quy tắc đếm

Quy tắc cộng Quy tắc nhân

Cơng việc hồn thành bởi 1 trong 2 phương án thì có m + n cách

Cơng việc hồn thành bởi 2 hành động xảy ra liên tiếp có m. n cách

Bỏ đi 1 phương án cơng việc vẫn

hồn thành

Bỏ đi 1 hành động công việc khơng

hồn thành.

- Nhấn mạnh sự khác nhau giữa Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp

Sắp xếp n phần tử Lấy ra và sắp xếp k phần tử trong n phần tử

Lấy ra và không sắp xếp k phần tử trong n phần tử

Ví dụ 2.1.Bạn đang ăn ở nhà hàng Emile và phục vụ thông báo cho bạn rằng

bạn có:

(a)Hai lựa chọn cho món khai vị: Súp hoặc trái cây; (b)Ba cho món chính: thịt, cá và món rau;

(c)Hai cho món tráng miệng: kem hoặc bánh.

Bạn có bao nhiêu sự lựa chọn có thể cho bữa ăn hồn chỉnh của mình?

Giải

Giáo viên minh họa các bữa ăn có thể theo sơ đồ cây. Thực đơn của bạn được quyết định bằng ba giai đoạn, ở mỗi giai đoạn số lượng các lựa chọn có thể khơng phụ thuộc vào những gì được lựa chọn trong các giai đoạn trước đó: Hai lựa chọn ở giai đoạn thứ nhất, ba ở lần hai và hai ở lựa chọn thứ 3. Từ sơ đồ cây chúng ta thấy rằng tổng số lựa chọn là sản phẩm của số lượng sự lựa chọn ở từng giai đoạn. Trong ví dụ này, áp dụng quy tắc nhân chúng ta có 2.3.2=12 thực đơn có thể.

Ví dụ 2.2.Mộtnhómhọc sinh có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7

em chỉ biết tiếng Hàn và 5 em chỉ biết tiếng Nhật. Cần lập ra một nhóm gồm có 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Hàn và 2 em biết tiếng Nhật. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra 1 nhóm đi thực tế từ nhóm học sinh trên?

Giải

Số cách chọn 3 em biết tiếng Anh là: 3 8 56 C  (cách). Số cách chọn 4 em biết tiếng Hàn là: 4 7 35 C  (cách). Số cách chọn 3 em biết tiếng Nhật là: 2 5 10 C  (cách).

Theo quy tắc nhân ta có số cách lập một nhóm đi thực tế là 56.35.10=19600 (cách).

Để giải được bài toán trên học sinh cần phải phân tích được là nhóm cần có 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Hàn, 2 em biết tiếng Nhật. Chọn ra 3 em biết tiếng Anh trong số 8 em, là ta chỉ đi tìm tập con có 3 phần tử trong số 8 phần tử, không cần sắp xếp thứ tự các phần tử trong tập con. Như vậy học

em biết tiếng Hàn, 2 em biết tiếng Nhật thì sẽ phán đốn được sử dụng quy tắc nhân thay vì dùng quy tắc cộng. Cơng việc chọn nhóm thực tế chỉ hồn thành khi 3 hành động xảy ra liên tiếp: Sau khi chọn được 3 em tiếng Anh, chọn tiếp 4 em tiếng Hàn và cuối cùng là 2 em biết tiếng Nhật.

Ví dụ 2.3. Lớp 11A1 có 12 em học sinh nam và 14 em học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra

a) Một em học sinh đi làm sao đỏ?

b) Một em học sinh nam và 1 em học sinh nữ đi tập văn nghệ của trường?

Giải

a) Để chọn 1 em học sinh đi làm sao đỏ. Áp dụng quy tắc cộng ta có: 12+14=26 (cách).

b) Để chọn một em học sinh nam và 1 em học sinh nữ đi tập văn nghệ của trường. Áp dụng quy tắc nhân ta có: 12.14= 168 (cách).

Phân tích: Ta thấy lớp 11A1 có 12 em học sinh nam và 14 em học sinh nữ.

Để xác định xem trong ví dụ này ta dùng quy tắc cộng hay quy tắc nhân, giáo viên sẽ để học sinh vận dụng kiến thức đã học, các em hãy cho biết

a) Giáo viên: Việc cần hồn thành là gì? Để chọn ra 1 học sinh làm sao đỏ có thể thực hiện theo 2 phương án hay 2 hành động xảy ra liên tiếp?

Học sinh: Trả lời công việc cần hồn thành là chọn ra 1 sao đỏ. Cơng việc được hoàn thành bởi 1 trong 2 phương án: Phương án 1 sao đỏ là nữ, phương án 2 sao đỏ là nam.

Giáo viên: Vậy ta sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân

Học sinh: Sử dụng quy tắc cộng vì bỏ đi 1 phương án (ví dụ phương án sao đỏ là nam) thì cơng việc vẫn được hồn thành.

b) Giáo viên: Việc cần hồn thành là gì? Để chọn ra 1 nam và 1 nữ tham gia văn nghệ trường có thể thực hiện theo 2 phương án hay 2 hành động xảy ra liên tiếp?

Học sinh: Trả lời cơng việc cần hồn thành là chọn ra 1 bạn nam và 1 bạn nữ tham gia văn nghệ trường. Cơng việc được hồn thành bởi 2 hành động xảy ra liên tiếp: Hành động 1 chọn ra 1 bạn nam, ứng với mỗi cách của hành động 1, ta có hành động 2 chọn ra 1 bạn nữ.

Giáo viên: Vậy ta sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân

Học sinh: Sử dụng quy tắc nhân vì bỏ đi 1 hành động (ví dụ hành động chọn 1 bạn nam) thì cơng việc khơng được hồn thành.

Ví dụ 2.4.Giải bất phương trình 2 2 3 2 1 6 10. 2A x Ax  xCx  (1) Giải Điều kiện: x N x ; 3 Ta có: 2 2 1 (2 )! ! 6 ! (1) . 10 2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)! 1 .2 .(2 1) ( 1) ( 1)( 2) 10 2 3 12 4. x x x x x x x x x x x x x x x x x                     

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm là 3 x 4.

Học sinh sẽ vận dụng các công thức đã học để giải quyết bài toán dễ dàng. Ta thấy rằng bất phương trình trên liên quan đến chỉnh hợp và tổ hợp. Do đó giáo viên yêu cầu 1 học sinh nhắc lại 2 công thức và các tính chất. Sau đó cho học sinh thời gian làm bài.

Ví dụ 2.5.Tìm hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển

11 1 x x        Giải

Học sinh tư duy thông thường sẽ làm bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton: 11 0 1 2 11 0 11 1 10 2 9 11 0 11 11 11 11 0 11 1 9 2 7 11 11 1 1 1 1 1 ... .... . x C x C x C x C x x x x x x C x C x C x C x                                         

Từ đó suy ra được hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển là: 2 11.

C

Nhưng cũng sẽ có những học sinh phân tích sâu thì sẽ phát hiện ra nếu không phải là số hạng thứ 3 mà là số hạng thứ 10 hoặc lớn hơn thì việc liệt kê sẽ gặp khó khăn vì cồng kềnh. Từ đó học sinh sẽ tìm chiến lược khác để giải bài toán theo cách tổng quát sau:

Hạng tử thứ k+1 trong khai triển trên có dạng:

11 11 2 1 11 11 1 . k k k k k k T C x C x x            Theo đề bài ta có k   1 3 k 2.

Vậy hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển là: 2 11.

C

Học sinh sẽ phân tích tìm chiến lược giải ngắn và tổng quát cho những bài toán phức tạp hơn.

Bài 1: Tìm hệ số của x9và số hạng thứ 12 trong khai triển (2x) .19 Bài 2: Tìm hệ số của x y25 10và số hạng thứ 3 trong khai triển (x3 xy) .15 Bài 3: Tìm hệ số của x15trong khai triển

2 3 20

(1 x) 2(1x) 3(1x)  ... 20(1x) . Bài 4: (Đại học khối D - 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển

5 2 10

(1 2 ) (1 3 ) .

x  x x  x

Bài 5: Tìm hệ số của x8 trong khai triển (1x2(1x) .)8

2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện kĩ năng đặt câu hỏi cho ngƣời khác và cho chính bản thân mình

2.2.1. Cơ sở xây dựng biện pháp

Điều kiện tiên quyết của tư duy phê phán là nhận biết rằng thế giới là một nơi phức tạp và có rất nhiều vấn đề để giải quyết. Thế nên phải có sự cái nhìn sâu sắc để nhìn ra các khả năng, đặt câu hỏi. Do đó, những nhà tư duy phê phán thường là những người mắc bệnh hồi nghi nan y. Họ nhìn thế giới với sự bỡ ngỡ và muốn vượt qua những việc tưởng như rõ ràng và chấp nhận

Về một thực tế, những nhà tư tưởng thiên tài tìm kiếm ý nghĩa. Họ khơng mù qng chấp nhận những gì người khác nói. Ngược lại, các nghi vấn chính được đặt ra: Điều này có nghĩa là gì? Nó có lý khơng? Liệu có đúng khơng?... Các nhà tư tưởng đặt những câu hỏi trên kèm theo vô số nghi vấn khác về gần như tất cả mọi thứ.

Đối với các nhà tư tưởng phê phán, chân lý khơng bao giờ là thứ gì được chấp nhận một cách đơn giản chỉ vì đã có ai nói như thế. Thay vào đó, nó cần phải được “nói to lên” xem xét và kiểm chứng. Các nhà tư tưởng đã đặt họ vào vị trí mà bạn cần phải tìm kiếm để tìm ra, phải đặt câu hỏi để tự mình nhận biết.

Những câu hỏi có tính phê phán: Tại sao bạn (họ) lại đưa ra được kết luận đó? Dựa vào đâu mà bạn (họ) có khẳng định điều đó? Bạn (họ) lấy thơng tin này từ đâu? Tại sao điều này lại quan trọng? Điều gì có thể giải thích cho vấn đề này? Còn những phương án nào khác, làm thế nào để tốt hơn nữa? Mục đích của những câu hỏi này là nhằm kiểm chứng tính hợp lý của thơng tin, sự chính xác của thơng tin, nghĩa là có một cách nhìn khác trước một thông tin. Thông tin được đưa ra là một cách nhìn của người đưa tin, cịn cách nhìn của chúng ta thì sao?

Tư duy phê phán địi hỏi phải có tư duy rõ ràng, lập luận phải có dẫn chứng, luận cứ phải thuyết phục, đáng tin cậy, thơng tin có thể kiểm chứng được. Tư duy mở (open-minded): khơng bị đóng khn trong định kiến. Thái độ mở (open-hearted): mong muốn mở rộng vấn đề.

2.2.2. Nội dung và thực hiện biện pháp

Nâng cao nhận thức của học sinh về việc rèn luyện tư duy phê phán. Giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen mạnh dạn trả lời câu hỏi, mạnh dạn đưa ra những câu hỏi để hỏi thầy, hỏi bạn. Giáo viên cần tôn trọng ý kiến của học sinh, khuyến khích các em bày tỏ ý kiến, quan điểm của mình ngay cả khi người giáo viên ủng hộ hay khơng ủng hộ ý kiến đó.

Giáo viên thiết kế nhiệm vụ học tập dưới dạng mở để học sinh có cơ hội thắc mắc hỏi giáo viên. Giáo viên cần cho học sinh biết rằng, trong toán học cũng như trong cuộc sống, đồng ý hoặc khơng đồng ý, khi khơng đồng ý, ta có thể thắc mắc hoặc bày tỏ quan điểm của mình là việc làm hết sức tự nhiên và lành mạnh.

Trong buổi học giáo viên nên có những câu nói động viên các em đặt câu hỏi: Có em nào có câu hỏi khác khơng?, có em nào có câu hỏi muốn nhóm bạn giải đáp giúp?, cơ cần một bạn đặt câu hỏi giúp cơ?, bàn nào có thể đề xuất bài tốn khác?,.....

Ví dụ 2.6.Chứng minh rằng: 0 1 2 10

10 10 10 ... 10 1024

C C C  C  .

Giải

Xét khai triển nhị thức Newton   x n N, *ta có:

10 0 1 2 10 10 10 10 10 (x1) C C C  ... C . Chọn x1ở cả 2 vế trên ta có 10 0 1 2 10 10 10 10 10 2 1024C C C  ... C .

Phân tích: Trong bài tốn này ta thấy nó liên quan đến tổ hợp và khai triển nhị

thức Newton, do vậy mà học sinh cần phải nhận ra và có sự liên tưởng đến việc sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton. Nhưng việc suy nghĩ đến và việc lựa chọn công thức phù hợp là điều mà không phải học sinh nào cũng thực hiện được. Nếu khơng học sinh có thể sử dụng cơng thức khai triển nhị thức (a b) n C an0 n C a b C a bn1 n1  n2 n2 2C a bn3 n3 3 .....C bnn n sau đó lựa

chọn các giá trị a và b cho thích hợp.

Ví dụ 2.7.Cho 5 chữ số 0,1,2,3,4. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ

số mà:

a) Số 0 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?

b) Số 2 có mặt đúng 2 lần, số 4 có mặt đúng 4 lần, chữ số khác có mặt khơng q 1 lần?

Giải

Cách 1. Lập chữ số đầu tiên yêu cầu khác 0 có 4 cách. Lập 7 chữ số cịn lại có 7! 4!cách. Do đó có tất cả 4.7! 840 4! cách. Cách 2. Số cách sắp xếp 8 chữ số gồm 0;0;0;0;1;2;3; 4 thành một dãy bất kì, có 8! 4!cách. Số cách sắp xếp 8 chữ số gồm 0; 0; 0; 0; 1; 2; 3; 4 thành một số tự nhiên không đúng nghĩa (tức là chữ số 0 đứng đầu), có 7!

3! cách.

Do vậy số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán là 8! 7! 840

4! 3!  (số). b) Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: 2 chữ số cịn lại khơng có chữ số 0, có 1 cách chọn duy nhất (là cặp 1;3).

Sắp xếp 8 chữ số đã cho, có tất cả 8!

2!.4!cách. Do đó trường hợp này có 1. 8! 840

2!.4! (số).

Trường hợp 2: Trong 2 chữ số cịn lại có chữ số 0, có 2 cách chọn. Sắp xếp 8 chữ số đã chọn được: - Nếu có chữ số 0 đứng đầu, có tất cả 7! 2!.4!số. - Nếu chữ số 0 đứng ở vị trí bất kì, có 8! 2!.4!số. Do đó trường hợp này có tất cả 2 8! 7! 1470 2!.4! 2!.4!        (số).

Tổng kết lại, có tất cả 840 + 1470 = 2310 số thỏa mãn yêu cầu bài tốn đã cho.

Ví dụ 2.8.Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đơi một,

trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?

Giải Gọi số cần lập có dạng a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 . Ta xét 2 trường hợp Trường hợp 1. Chữ số 2 đứng giữa 1 và 3 có dạng 123 123 d 7.6.5.4 840 123 d 6.6.5.4=720 ab123 d 720 123 720 d123 720 abc a bc c abc d abc                Trong trường hợp 1 có 3720 (số) Trường hợp 2. Chữ số 2 đứng giữa 1 và 3 có dạng 321 Tương tự như trường hợp 1 có 3720 (số)

Vậy có 3720.2 7440 (số) thỏa mãn đề bài

Một học sinh khác đặt câu hỏi khi gặp bài toán, sẽ dễ dàng nếu a1 0. Vậy ta sẽ dùng cách phần bù. Gọi số cần lập có dạng a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 với (a1 0;ai aj) Coi 1; 2; 3 cạnh nhau là 1 phần tử +) a1có thể nhận cả 0 (giả sử) +) Xếp "1; 2; 3" có 5 cách. (7-3+1=5) +) Đổi chỗ 1;3 có 2 cách. +) Còn 7 chữ số xếp 4 vị trí có 4 7 A cách. Như vậy có 4 7 5 2 A (số). +) a1 0 +) Xếp "1;2;3" có 4 cách. (6-3+1=4)