/
se keo theo ^ ^ ( B ) - ^ vụi n9i B . Tif ly thuyet phan tieh dg do
2 " > - y
ta cụ the I-ihang d^-nh rang ton t ^ n9t h9 ( m ^ ) , t' ^ T cac do do dýdng tren X sao cho han t — ^ n (B.) lõ do dýoc vdi noi B cod^-uh va
^ ^ C B ) =. 0^^(JÒ> yi>-(Òt) E NgýjJc l ^ y t a eo : jDjnh l y 3JL Cho trUểc m9t h9 (m ) c a e do do dýdng C - h ý ý h ^ t r e n X sao cho • / . ^y — ^
- 5 3 -
i i ) v ụ i :.ioi E ^ S ^ h \ n tợ —> A (B) •= r n , ( E ) d y u ( t ) l õ n9t dg ao
Levy t r e n X ,
ilhi dụ co t o n t ^ d9 do ngau n h i e n , dSi xỷng X—giõ tr^. F sao cho
h'an t ^ p E —"> A (B) l õ d9 do Levy cỷa i {^) .
Chỷ y; Vi Â(B) <; A (B) r \ m (jÒ)dyiĂt) vdi n o i B ,do t m h c h a t
1 / ^ - . . ^""^ . . - ^ . . N A . - - > - •'_•
cua cae d9 do i^evy dieu i-iifn i i ) tuong auong voa
i i i ) Han t ^ n B —^ A (B) - \ n ^ ( ý j d / x ( t ) l õ õg do Levy .
Chỷn/; ninh vờị noi tap hýu han I = ](Ê,ạ ), , (E ,a M i -t^. f T\ ,
' " ợ i x n n j i ^ ^ ^
/ \ ^ n
ạ ^ X ' t a xac dịnh han ECu) t r e n E nhý sau
ýCu) z e x p ợ - r r f l - c o s ^ . , Ò S ^ - e ' ^ ^ O J d^'^.^(-)dyu(t)j (5-1)
vụi u r í^.^ , — ,u_^)
De t h a y h ( u ) xac dịnh nhong ' õ n , l i e n t y e v d i HXO) r 1* Theo d^nh l y Bochner va d^nh l y õolnogorov t o n t ^ cua t n n h ng'au nhién f ( E , a ) dtợ9'c e h i so hoa b o i t|tp Ò^ x X^ sao cho han d^c t r ý n g dong thcợi cua f(E a ) , - - ^ , f ( E , a ) dýdc cho b d i (3-1).-Vụi moi E eo d4.nh,f(E,a) l õ hõm ngau nhien. t u y e n t ợ n h t r e n X ' . T h ^ t v$y do (3-1) t a eo
E e x p ợ i u ff ( E , a + b) - f ( E , a ) - f ( E , b ) ] ] z 1 v ụ i m9i u €: E do do f ( E ^ a t b) =: f ( E , a ) + f ( E , b ) h . c . c . Týdng t ^ f ( E , t a ) = t f ( E ^ a ) h . c . c M^t khac do d i e u k i p n i i ) E e x p f i f ( E ^ a ) j =: e x p j - \ I [l - c o s ( x , a ) ] dm (x)dyi>o(t) V l õ hõm ^ ^ ^ E X / ^ ^ ^ j d^c t r ý n g cỷa m9"t d9 do xõc s u a t t r e n X. V|!y f ( E , a ) l a k h a i t r i e n dýjợc
- 5 4 -
bSi mjt b i e n ngau nhien X-giõ t r i ''ợ' ^ 1 ^ ^ ^ i ^(E) ( ỵẽ \_5S~} ) tuc l a
V a ê X ' f ( i , a ) = ( F ( : . ) , a ) h . c . c .
Ta chỷng n i n h rang han t^p ngõu n h i e n E —2> F(E) l a n9t d9 do ngõu
0 5 ' ^
n h i e i u G i õ sỷ (E ) l õ n9't dây cae t^p rụ'i nhau .Ta eụ n 1 - eos ( x , Ò V i - E ^ = 2 1 [ l - c o s C x . a ^ u ^ ) ] ! ^ ^ . 7 ^ 7 E êpợiX\<ợ(\).\:^^>^Pẻ-(t[i- ^°<^' ZW\^^ dn^(x)dy^(t)( e x p j - y ^ (" L" " c o s ( x , a ^ u j ] dn^(x)djtx ( t ) j hay L ,'ạ\ Ẹ X E exp
chụng n i n h r a n g dõy J E(E ) 1 l õ d9e l ^ p . G u o i cung de ehýng n i n h E(E) n 2 , F(E ) h . c . c . . t h e o dinh l y I t o - N i s i o t a ehi can. id-em
t r a ( i ' ( E ) , a ) (u) =: Ij ^i: (Ê^ j ^ a ^ (u) t r o n g do "^ ky h i ^ u hhi
K = A
7 / —'
dư.c t r ý n g cua b i e n ngau n h i e n S •• Ta co
' J Y ^ F ( E ^ ) , a ) ( u ) =: exp - 2 2 ( ( [ ^ " cosCx^au)] d n ^ ( x ) d y u ( t ) j h j i
tỵ den exp J- r r [ l - c o s ( x , a u ) J dn^(x)dyuL(t)j = ( F ( E ) , a ) ( u ) ýi A
i)ẻnh l y da dýjợc ehýng n i n h xong *
T ^ n i r a n g d9 do ngau n h i e n F nay l a s i n h b d i (m ) võ /U- .
F'inh if 3^2i Giõ sụ F l õ dg do ngau n h i ^ n X - g i õ t r ^ s i n h b ụ i (m ) , ^ .
y / / /
Khi do m9t ham thiic f : T —s> E l õ F-kha t i c h neu võ c h i neu i i v ụ i moi a Ị XÍ
-35-
- 9 /
ii) han expl-fi^^^^l lõ han d^e trýng cuc n9t d9 do xac suõt
tren X.Trong trýcợng hdp nõy exp[- ^^(ê^) J chợnh la hõm d^c trýng cỷa
Á r -. . f
bien ngau nhien. X-giõ t r Ò \ fdF'
Chýnf: ninh i/ieu kỉn can: i^ờu f l a han đn gian t h i de dang iiien -E (a) I l õ han dac trýng cua IfdF .Gia su f l a han
bi e h ^ I f I ^ K .Ton t ^ dõy han đn gian K^ F i^ ợs "^^ ^n ~^ ^
1
AJẻ -h.k.11. Theo dj-uh l y 1.9 ve sý h9i tu b^ c h ^ cua U9 do ngau nhien ffdJợ' " p -lim f f dí .xlhõng dj-uh sé dý9'c cnung ninh néu ta chi ra l i n n (a) r: E (a) -.Th^t vfy d^t u ( t ) - f [l - cos(xf (t) ,a)j dm (x)
•Í^ n
Ta cụ 1 - e o s ( x f ^ ( t ) , a ) , < k l / 2 | ( x , a ) | I|^,^^„,,3 ^ ^ V n > 1] V^y u ( t ) ^ G(t) vời G(t) r E V 2 (Kx,.a)l dn^(x) + 2 ( dn^(x)
U X U ^ 1 II X i! > 1
K^t khac vx / . (E) l õ d9 do Levy ta eo
rG(t)d.jU(t) = K^/2 5 { l ( x , . a ) n dm^(x)dyu(t) + 2 ) j dn^(x)d^ J T H X H $ 1 T iix 1|> 1 00 . jjo Qc t n e o =1 Ê/2 ( | ( x , a ) r d A (x) + 2 ^ ợ II X ||> 1 ] < y :: U ^ 1 dinh l y h9ẻ t^ b^ c h ^ l i n \ u ( t ) d yu-Ct) Z \ l i n u ( t ) d / u ( t ) -n. J 3r ^ J ^ n ^
hay lim & (a) ^ Ò^(a)
^ n
Cuoi cung gia su f l õ F-kha tich.E)|.t A n ợ t : | f ( t ) | ^ n | võ f *— 1 f .Ta co f bi chan. va theo t r e n ham dõc trýng cua \ f dF
n " - A ' ' n ^ * J n n. n.
- 3 6 -
s u õ t .M^t k h õ c R ( a ) r C ợ [ ^ " c o s ( x i ( t ) , a ) ] d n C x ; d y u U J h 9 i
A X n n
tỵ TO- H Ca) .Tẻi do s u y r a h a n dõc t r ý n g cua \ fdí l õ e x p ợ - ÊCa)j D i e u k i ^ n dỷ. : cÒia sỷ d i e u k i g n c u a d j n h l y dýp'c t h o a n õ n . D | . t A =: âtt | f ( t ) | X n ] . B = A \ A ^ v õ i ( t ) = 1 ( t ) f ( t ) . n ) ^ J ^ n n n - 1 n ị *" n f l õ hõm b i c h a n do do k h a t i c h d o i vểi F . D a t X - Cf d F , a ^ Í r — . ' ^ n j n ' S = T x - C c d F ụ d ụ g - 1 f ^-^Vi (B ) l õ d õ y c õ c t a n rcii n. Ò^ i " \ n ' n A n . Í-- lr.1 ^ n ^ ^ J z ^ ^ ^ ^ J , " X ^
nhau nen day bien ngau nhien (X ) la d'9c lư.p,doi xỷng.Theo díeu ki|n can výa ehýng ninh S eo han d^e trýng la
n
e x p ) ~ \ \ f l - e o s / x f ( t ) ,â j d n (::)d / i x ( t ) j .Han nay h 9 i t u t d i han A X
n
e x p j — H ( a ) j l^dii n - ^ oo .Do dụ t h e o d^-uh l y I t o - r i i s i o d õ y (S ) h 9 i tỵ h . - c c - Ta 1 ^ co g ( t ) h 9 i t u t d i f ( t ) nen t h e o n e n h de IJif t a k e t l u ^ f Põ F - k h a t i c h . D j . n h l y dýp'c e h ý n g m i n h . Dj-nh l y 3^2. co t h e p h a t b i e u d ý ụ i m*9t d^ng k h a c t ý d n g dýdng nhý s a u Djnh l y 3 ^ 3 '^ẻẻB. s ỷ F l õ d9 do ng'au n h i e n X - g i õ t r ^ s i n h o o i (m ) , AX . X 7 J X ^ Khi dụ hõm f : T —^ E l õ F - k h a t ợ e h n e u v õ c h i n e u dg do A x õ c d:^xỷi b o i f f ÂCB.) :=. 1 \ ẻ ^ - x f ( t ) ^ B N o l j dy^>-(t) l õ d9 do L e v y t r e n X. Chung m i n h s u y t t ợ d a n g t h i ợ c ({1 - a o s ( x ^ ) } ;\^(d2:) z: T f f l - e o s ( x f ( t ) , a ) J d n C x ) d y o L ( t )
- 3 o - ^ s
1
tsõy g i o t a h a y õ p diing d^-nh l y 3 - 3 de t h u dude c u a n he g i u a .ihong g i a n di J F ) v õ u:hong g õ a n O r l i c z . X D^t t ( t , u ) - m ^ 11 X U > 1/u 1 , u > O v õ ^ C t , 0 ) - Ọ.Vểẻ p y O tạ df.t <f) ( t , u ) r ( n i n | l , l ( x l l ^ u - ^ ] d n ^ ( x ) . T ẻ c h phõn tợtng p h a n cho t a 4^ C t , u ) = u ^ ( l i x l ^ d m ( x ) + 4 ^ ( t , u ) - P J "t II X II < 1/u p u ^ ^ v ^ ^ n ^ [ | | X y> v j d v - m ^ j l i x ý > 1/u j + 4 > ( t , u ) = p-uF r 4 * ( t , v ) / v ^^ dv u V.oi moi t co d 4 . n h , e õ c h a n u —$> <P ( t , u ) võ u —^ ^ ( t , u j l a k n o n g g i a n , l i e n t^^c p h a i . G 9 i E ^ ( T , 2 Í A>^ ) - ^ t ^ P cae h a n do dýo"c
f : :E —> P. s a o cho C 4^ ( t , . e )f ( t ) | ) d y u - C t ) 4^oc.(Agl E x ( T , 2 ,ji>Ậ3 l a t ^ p c a e hõm f do d ý p c , f : i —5> E s a o cho \<ợ^ ( t , c ) f ( t ) | ^ d y u . ( t ) < l a t ^ p c a e hõm f do d ý p c , f : i —5> E s a o cho \<ợ^ ( t , c ) f ( t ) | ^ d y u . ( t ) <
cx) ^ ( v o i n j t so dUtợng c nao do )
Djnh l y 3 * 4 ' ^ i a s u F l õ d9 do n g a u n h i e n X - g i a t r ^ s i n l i b o l (n ) , j U , 1 ) Ta l u o n co b a o ham t h ụ c ^ y ( ^ ' ) C H ^ CT, S T / ^ )
2 i rieu kh"ohg g i a n X cÒ l o ^ p t h i BLx ( T , X t J ^ ) <^ ^Â)
T p X 3"> N S U X cụ d S i l o ^ p t h i R Òy ( T , Z , M ) ^ X ( P ) 3"> N S U X cụ d S i l o ^ p t h i R Òy ( T , Z , M ) ^ X ( P ) j ' Chỷng n i n h i ) l-ợeu f l õ F - k h õ t i c h t h i t h e o d^-nh l y 3 - 3 , d o do A l õ d9 do L e v y -V^iy j 4 ^ ( t , | f ( t ) | ) d y U L ( t ) = ợ m 5 | l x | J | f ( t ) l > l j d y b c U ) = A J | , J : , | ^ 1 ^ ^ OO
- 5 7 -
2) Ta b i e t r a n g neu khong g i a n X cụ l o ^ p t h i ..9ẻ u^ do 5'-nuỷ h j n A t r e n X doi xỷng v ờ i /\ ^OJ :r O võ \ n i n i 1, |1 x f ( d yu (x) < 00 s ờ l a d9 do Levy ( xen [[28 J ) . G i a sỷ f ^ Ê^ .Khi do t a ce / '
f c ^ (tyC |f ( t ) l ) d / u ( t ) < oo v ụ i so dýdng e nao dọD^t g ( t ) r c ^ ( t )
Ta co C h i n i l , II xll^l d)ờt^(x) r ( ợ n i n j l , | l x |l^ ( g ( t ) | ^jdn ( x ) d ^ ( t ) X X T
= 14^ ( t , c |f (t)|)dyLL(t) < CX) . Do do theo d^nh l y 5*3 g l õ F-kha t i c h
Suy r a f cung l õ f - k h a t i e h .
3) Gia sỷ f l a 1-kha t i e h .Theo dj-uh l y 3^3 Â l a d9 do L e v y . v l
A co doi l o ^ p nen
r < ợ > ^ ^ ( t , | f ( t ) l ) d j a ( t ) = r : ; i n [ l , j : : i P ] ý A ^ ( x ) < 0 0
\ /
Do dụ f ^ H x ( - ' 2 ] , / ^ )•
Trong n 9 t so trng h9'p cõc khong g i a n H ^^ võ h^ l a cae khong
g i a n O r l i e s - T a hay nhac 1 ^ d^-uh n g h i a Òdiong g i a n O r l i c z - G i õ su T l õ m9t hõm khong giõm l i e n t\ic p h õ i , *Y(0) — ỌG9ẻ L ^ (T, 2- ^ A< ) l a
t ^ p cae hõtm f 5!. "do dýjJe sao cho V ^ ( c |f (t)l)dytc(t) < 00 v o i n j t so dýdng c nao dọKhi dụ I^M/^'^' Z-Í M ) t r o thõnh khong g i a n n e t t u y e n t ợ n h day du voi chuan khong t h u a n n h a t
II f II r i n f i e ) 0 r [ S " [|f ( t ) / c ] d/x ( t ) ;$ 1 j . IChong g i a n nay dý9'e g9i l a khong g i a n O r l i c z .
Djnh l y 3^5 Gia su Y ^ ( t , u ) co d^ng sau
4 ^ ( t , u ) = g ( t ) h ( u ) t r o n g dụ h ( u ) l a han O r l i e s . D = t
^ ( u ) = h ( u ) / h ( l ) , ^ (u) = pu^ f f (Ậ)/v-^ ^ ' d v va
- 5 ẻ -
| i ẻ ( E ) * ^gjll^ll > l ] • ^ ợ aụ
i ; | F | l a df õo hýu hf.n t r e n T
2) T a co bao h l " thuc ẬÒ^ (F) C - s , ( ợ , 2 ,) ^1 )