Nờu Y l õ khong g i a n f v t r d n deu hoa , d - d CZ , . . . , Z ) l a dõy n n i n - 1
/ ^ ' >r ^ r
eac b i e n ngõu n h i e n thýc sao cho T Id 1 < oo h . c . c . v ụ i r nao dụ
*-^ n
r < p thi bien ngõu nhién 1 -giõ trJ u - Cd ) lõ CA,e)-tac dong P n P n
dýjợc .
/ / ^ ^
Guol cung ta xet van de tac dpng cua toan tu lien hp'p cua npt toan
.-A .*Ậ^ ^fc
tu ngau nhien len m9t bien ngõu nhien. Giõ su A ^LC-n,X,ợ) .Toan tỷ
ngau nhien 3 ^ LCXI ,S^',X*) Cneu t^n tfi) dýp'e gpi la toan tu
lien hdp ngõu nhien cua A neu
vụi n9i X ờ: X, y ^ \ ' ta ce (Ax,y) = (By,x) h.c.c. {3-3)
Chu y rang khong phai bao gio cỷng ton t ^ toan tỷ lien hĩp ngõu nhíen
cho Ạ Ky nieu toan tu lien hjợp ngau nhien cua A la Â
Djnh nghia 3.12 Giõ sỷ A ^ L(-i*-,X.,Y) co lien hpp ngau nhien
A„ , u la Dien ngau nhien Í-gia trJ .Neu ton t ^ bien ngau nnien
Jlợ'—giõ trJ V ^ E \Sl) sao eho vdi n9i x ^ X (i-^:,u) — (v,x) h.c.c
o
t h i t a n o i u l a A - t a e d9ng dýoc va t a v i e t v — Âu
^ . /
Y / Djnh l y 3>13 Cho A :; X ~ > L (JL) C q > 1) l a mpt t o a n t ỷ t u y e n Djnh l y 3>13 Cho A :; X ~ > L (JL) C q > 1) l a mpt t o a n t ỷ t u y e n
t ợ n h l i e n t y e sao cho t o a n t ỷ l i e ' n hj^p A :: ( L {Si) I —?> X' l a
A " ^ / / V / ^ : ^ / X ^^ ys
p - t o n g hoa t r o n g do 1 < p < q. Khi do A , n h ợ n nhý n p t t o a n t ý ngau n h i e n
b i e n ngõu n h i ợ n u Y Ậ - g i õ t r J v d i Ellull^^ *^^"^ < oo dờ^ l õ Â -
t a c dpng dýjợc .
Y
Chỷng ninh Gụ djnh j ' ^ 1' . Neu "f ^ L {SI) thi ta d^t T -
q y ' ( V , y ' ) - T a cụ E | ( < P ,,yÍ)| ^ ^ WyMl^ EllM'll^ < oo .De t h õ y anh xgi ( V , y ' ) - T a cụ E | ( < P ,,yÍ)| ^ ^ WyMl^ EllM'll^ < oo .De t h õ y anh xgi
Y ^
T : L {SI) —^ L {SI) cho b ụ i ^ ~ > ( V ' , y ' ) l õ tuyờn t ợ n h ,
y ' q q
l i e n t y e . Vl A l õ q - t o n g hoă o > 1) nen theo djnh l y Kwapien ê25"]
t o a n t ỷ T *A ợ X —> h {Si) l õ q-khai t r i e n dýdc t ỷ c l a co
y i q ^ r . ,
ton t ^ mpt phan t u ky hipu l a By* ^ L ( I I ) sao cho
a
ờ i n p i X ê A T , ( A X ) = (By* , x) h . - c . c . hay
y '
vụi mpi X ờ X , y ' ê r (Ax,yÍ) = (ByÍ ,x) h . c . c . ' ' C3-ụ) Sể dyng g i õ t h i e t X,Y kha l y cung vụi djnh l y do t h J k i n t a de dang
/ ^ , \ X* > - v ' '
t h õ y r a n g anh x^ y* —^ iõy* t ý Ý võo L (-Q) l a tuyen t ợ n h , l i e n tyc.-V^y B ^ L ( - n . , Y ' , XÍ) va tý djnh n g h i a võ (3-6) t a co B l õ t o a n t ý lie"n hpp ngau n h i e n cua A .
Bõy gícJ g i a sỷ u ^ L' (J^ ) l a b i e n ngau n h i e n co t r J t r e n XÍ v ụ i
Eflul/^^ ^ < oọ Xờt anh xa ê xõe djnh t r e n L ( i l ) nhý s a u :
S ^ - ( ^ ( c ^ ) , u ( c u j ") . R5 r a n g S f ê L ( ị ) .Hdn nýa v i p / q + Iq-fi/q ^ o r . 1 n^n tneo o a t dang t h ý c tợolder t a co
Tị g i a t h i e t ve moment cỷa u t a suy r a S l õ mpt toan tu tuyen t i n h
CX)
li^n tuc tý L (il) vao L (Jợ.) , Vi A lõ p-tong hoa Cp > 1)
- 9 6 -
ne"n t h e o djnh l y h v ; a p i e n r 2 5 l toan tý S.A : X —:> L {Jl) l õ
p - k h a i t r i e n dý^c t o e l a cụ ton tfd. b i e n ngõu nhien v eo tr^. t r e n XÍ
(hdn nýa EivH < oc ) sao cho
v ờ i mpi X ê X S(A x) = ( v , x ) h . c . c . hay v ụ i mpi X X ( A x , u ) ^ ( - y , x ; h . c . c -
-97-
CHUCKG IV
' - ' - -> f ^ r .y^
TII^H CHAT QUY DAO CịA TOAi: TU NGAU NEIEi:
Gia sỷ A ^L(J1,X,Y) la npt toan tỷ ngau nhien tỷ h võo ỴTrong
* X r ^ S V Z^ ^
chudng nay chung t^i nhln A nhý lõ npt qua trinh ng'au nhién vụi X lõ
^ 1 J ^ ^ ^ ^ J? ^ Z^ y,' I
tưip c h i so con y l a khong g i a n t r ^ n g t h õ i . Quan dien nay dan den cac
cau h o i ve t i n h c h a t quy âo cua qua t r i n h ngau nnien naỵ
I . C a c k i e n t h ỷ e chuan b j Cho V l õ n*9t khong gian ýanach khong n h a t t h i e t kha l y . ạnh x^ f : -TI —> V dýpc gpi l õ ípt b i e n ngõu nhiờn V - g i õ t r J neu f l a do dýdc doi v d i ^ - d p . ! so Borel eỷa V võ eụ ton
tgii n p t t%.p dụng kha l y E C V sao eho ^\yy^ : f (*^) €: EJ = 1 . T^p
hpp cae biờVi ngõu n h i e n V-gia t r J dýpc ky h i ^ u l a L ( ẻ L ) . Dõ b i e t r õ n g f k E l ohan bo cua n o i f ^ L ( i l ) l a dp de I^adon t r e n V.
^ O ^^ 4 ^ ^
v ờ i n o i t j p eon E C V* t a ky h i e u O c ( F ) l õ C - d ^ so be nhat rnõ doi v d i no cae phian han t u y e n t m h a ê i: l a do dýp'ẹTa l u ụ n eo
C51(E) c:: J ^ { %l\ 6 " - d ^ i se Borel eỷa V ) .lợờu V khõ l y võ F l õ t ^ p t o t a l t h i CX{F) = ! B ( x e n j 3 5 ] )
M^t tfợp con S C V dý9e g9i l õ t*5p t r y neu eụ ton t f d (^-^^-, C V' sao cho Z = [ x e V: [ ( x , a ^ ) ^ ] 6 B"|J ụ dụ B e ^ C ^ ' ' )
ơ^ / ^ cr ^ . ^\^^ '> ^ ^^ ^ ' • V • %• r \^
Cpa , . . . . , a ky h i e u 0 - a ^ so t a t ca cac tưLp t r y s m h DOI Câ ) .
1 n ' _ •ê•! i
U ky hi*^u dưõ s ? cõc t$X' t r y .H9t anh x^ ycx ; T ẻ —^ Ơt^J dý9^e
g9i l õ npt dp do (xac s u õ t ) t r y neu yuLlõ C9ng t i n h hýu h^n trờ'n O võ
yx , '•^ ^ 4S, \ ^
cpng t m h den dude tren noi X5
Vdi moi dp do try fj^ ta djnh nghia hg I jụ \ cõc d9 do xõc a , • . ., a J
• sũt tren H nhý sau
1 n
^^ / Mo ( '^^'- ^ ^ ^ hgợp.Dõo 1 ^ m9i hp nhý hdn cae do do xac súa;^
L a , * . . , a j •
1 n
t r e n cõc K ( n = 1 , 2 , . . ) xõc djnh n9t do do t r y .
M9t phýdng phõp quan tr9ng de xac djnh dp do tru l a nhý sau: Ịiõ sỷ
ii l a rj9t anh x^. tuyen tinh tý V* võo L {Si) .De thõv rang :::o
o , ^
j Âa , . . . ,a =^ -L (.^la ,. .. ,Ma )ợ lõ týdng thich do do no xõe djnh ^ 1 n 1 n -^ ^ 1 n 1 n -^
m9t d9 do tru jUt .Ta nụi rang KA la d'9 do tru sinh bời M .Ngýp'c lõi
moi dp do try deu dýp'c sinh bdi n9"t anh x^ tuyờn tợnh tỷ V võo L (Jl )
o 1
vời Si l õ n j t khong gian xõc sũt nao dọ Hõm d^Jc trýng cỷa d'9 do
0 0
t r y l a m9t han t r e n VÍ xõe djnh bời yt^(a) n l e x p [ i t ] d j u ( t ) . .
cx=>
Neu J^ la d9 do try tren V thi Tí9't d'g do Eadon /LA tren V dý9e gpi
^ ^^
l a thac t r i e n cua /LX neu ju{Z) -jU(Z) vdi mpi tfp tru Z .Trong Ii trýờng hjợp do t a noi LX l õ n9"t d9 do Radon,
Djnh l y 1.1 I 38"] Dp tợo tru âm tren V l õ Radon neu võ chi neu
/ y f \ -^ \ y^ "X \
anh x^ tuyen t i n h M sinh ra AA l a khai t r i e n dýp^e bci mpt phan tu
f ê^ L ( J l ) týc l a : vdi mpi a ^ V ' Măou) =: ^ f ( o o ) , a ^ h . c . c
Bo de 1^ Giõ sỷ f ^ L (jl).Iýii do anh xf tuyen tinh a —ợ>(f(cu),á) o tý VÍ võo L (Jl) la lien tuc theo tooo ợ-iarkey tren V .
o
Chỷng minh Cho t > O, ê *^ ỌGpi ju la phan bo eỷa f .Vl âi^- la
Z* ^ ^*'
D|Lt u =.ợ a t V : sup |(b,a)| ^ t"! . U ik npt lin ejn thec t -po ..ackey
^ b e K ^
vụi a ^ U ta eụ
P[ l(f,a)l ^ t ] =1 ^ [ b ; l(b,a)| 4 t"J7/ju (h) ^ 1 - ê bay
P I I (f ,a)| '^ t C < ê . Bo dờ dýoc chỷng ninh.
II .Toan tỷ n^au nhiờn vời quy dao tronr- V <:^LCX,Y)
Tị nay V luon ky hieu npt khong gian banaeh na eac phan tỌ cua no
A , - N ^ , ^ ^ yy X
thupc LCiL,Y) võ topo chuan cỷa V n ^ h hdn topo chuan thong thýdng.
9
Thi du 1C Lop eac toan tý o-tong hoa)
íoan t ỷ T "^LCX,i) gpi l a ;";-tong hoa néu cụ toJ^L t p i hang sz C sao ene
v o i :ipi dõy (x, ) hýu hp.n trcnfl X t a co
ii u
ê o T ^ ip < c^ sup 5 Ỵ K ^ ' - M ' I
So 6 nhụ nhat thýc hien bõt dar.g thýc tren ta '.y hieu la ITCT)
"> f S^ 4 J
T dý$ợe g p i l a noan toan tong hoa neu T l õ p - t o n g hoa vdi npi J) > 0 . Ky h i e u I I ( X , i ) võ II (X,Y) l a Ion cae toan t ỷ D-tong hõ võ hoan t o a n t o n g hõ. M (X,Yj:yia khong g i a n Banaeh v c i ehũn ITCT)
P
y
Thi du 2 Giõ sỷ (5, 2^ ,^ ) la khong gian eụ dp dọDe eho gpn ta vitt L thay cho L (S, Yy ,/u).Theo Linde [28] toan tu T ^ 'L{Ỵ' ,1 )
p p > ?
Cl < p 4 2 ) gpi l a J V ^ - t o a n t ỷ neu han gCa) - e x p j - ||Ta|r j l õ hõm dac t r ý n g cỷa n p t dp do i-cadon jU^ t r e n X .Lểp cae J L - t o a n t ý
t ý X' võo L dýdc ky h i e u l a J^ (XÍ-,L ) . J l ( X ^ L J A .Tgt
p ^ ^ P P P i-' l ^ o n g g"ian banaeh v ờ i chuan [ flixll^dyu, 1 -IITIl^l < r < p) .
CO d o i n g õ u l i i e u H-S , • D i n b n g h i a 2 . 1 1 ) l o a n t ý T ^ LCl ,iợ) C 1 < p < oo) g o i l a n 9 t t o a n t ỷ k i e u h^S^ n ờ u ^ ||Te ợ ^ < oo , t r o n g dụ (e ) l õ cd s ờ t^ợ > n h i e n c u a 1 v a 1 / p -Í- 1 / p ' = l . P
TfLp hgợp cae toan tỷ kieu H-5 tý 1 vao Y ta ny hỉu lõ SCl ,Y) p
2) Toan tỷ T ê ^(XÍ!^) ( 1 < r < oo) g9i la n9t toan tý cụ dSi ngõu
kieu n-S neu toan tỷ lien hdp T 1 1Í —> XÍ lõ mpt toan tý kieu h-5 . ijip hpp cae toan tu ce aoi ngau Haeu n-S tý X vao 1 dýp^e ky
hifu lõ U(X,1 ) . ' r
Vụi T e s ( l ,Y) ta d^t ẻI T C = ( y ẬTe f' ] ^/^* P s ( ^-^ n J n. TtỊ bõt dõng thỷe holder ta co l l T x l l ; < : ẻ 1 X II IIT I! v õ IITẻI < ll T IL ( 2 - 1 ) s i De k i e n t r a dý^Jc r a n g 11 T 1| l õ mpt e h u õ n t r e n SCl ,.^) .Edn n ỷ a , s p S(l ,Y) lõ npt khong gian Banaeh dýdi chuan nõy-
P -
Nờu T f ịCX^I ) ta dat H T H :r II T "^ I .Ta cỷng cụ U C X ^ )
^ r * u s ^ ^ r
-)
lõ mpt khĩng gian banaeh dýdi chuan 11 T ^1 11 T II
u
Djnh l y y 2 . 2 1 ) i^ờu T ^ S ( l ,.Y) t h i T l õ t o a n t u c o n p a e t v a v d i
moi E ê L ( Y , Z ) t a co ET ^ ^i\ ,Y) . S ( l ^Y) l õ k h õ l y , -
2) Nờu T ^ U C X ^ ) thi T lõ toan tỷ eonpact w'Vểi mSi E fc L(Z,X) ta
r 4S V CO TE ^ U C Z ^ ) J ợ ờ u XÍ k h a l y t h i UCXA ) cung v $ y . Chỷng n i n h 1 ) v ụ i moii- n t a x a c d j n h t o a n t ỷ huu h ^ e h i e u T b ụ i TV. T X r: J ^ (-2^,6, )Te, . E h i do t h e o ( 2 - 1 ) t a eo n ^ - ' k k fe = i
^ " ^r""^ "^ ^ " " ^ ^ f i ' ' ^ ^ " '^^'" ^ '-^"''-" '- ^^^ '^'^'^ c-ọDo dụ
5 fe ^ I
n p t t o a n t u e o n p a c t . V d i Pv ^ LCY,Z) tê' ^ II ETe II ^ -$. II ê II
X l U T e I! ^ 4 | l ê II 2^11 Te f ' ^ oo do dụ ET ^ SCl ,Y)
T i ờ p t h e o g p i D l a t ^ p den dýdc t r u rri^t t r o n g ỴVdi :-ioi t f p hýu h^n I = { d , . . - . - , d ] C D t a d j n h ngiiia t o a n t u T ^ SCl ,Y) b o i T X - ZL Cx,.e, )d. .Ep { T 1 l õ den dýpc .Cho t r ý d e t > C.Khi
d o , e o t'on t ^ n -iha I d n dé Ị_) H Te || < ^ -.. Vểi .noi k t a chpn
d ê D s a o cho |1 Te - d || < t / 2 "^^ . K h i dụ v ụ i I - / d , . . . , d \ k ^ K k ' ^ ' • I n t a eụ (1 T - T II ^ j Ị II Tẹ - d, f ' ] " ^ ^ ' < t . n I s I ^ ^ n n -^ Viiy t h i 11 X - T. (I :$ 11 T ^ T 11 4. I T - T J < 2 t . i s ^ n s n I ' ^ s 2L) -Ihang d j n h 2) dýdc chýng n i n h t ý d n g t y - Djnh l y 2.-3 'dia s ỷ 1 < pÍ < r < 2 h c g c l < p ' < o o , r = 2 . Khi dụ t a cụ - / I Cl ,L ) - T T Cl , 1 ) = SCl ,L ) r p r o p r ? r
Chỷng minh Theo d j n h l y 3*1 eỷa [Ị+81 t a eụ - A Cl ,L ) c . TT (1 ,L )
Q -r >j Ị ^ r p r o p r ,
ợ Bao h a n t h u c TT (1 ,L ) C SCl ,L ) l õ h i e n n h i e n . G i a s ỷ
' • o p r P r
? ^ SCl ,L ) v a /u l a do do t r u t r e n 1 ' v d i han dac t r ý n g l õ ^ p r ' P
hCa) = e x p ^ - I I T a l l ^ l Ca ờ 1 ) - G i õ s ỷ H: 1 —ợ> L {Si) l a anh xf.
Ị J p p o
t u y e n t ợ n h s i n i i r a / ^ . T a eụ E e x p | i H e ^ = e x p j - l l T e || | .Do dụ
Z EjMe 1^ — k y y Te ||^ < oo v ờ i K l õ n o t hauợg so c h u n g . Tu dụ t a dýpc ^ I-'^'^ P < ^ ^ - s . .ê>at HCcu) = [ - ê ^ ^ ( t - ^ ) ] ^ Tu dụ t a dýpc ^ I-'^'^ P < ^ ^ - s . .ê>at HCcu) = [ - ê ^ ^ ( t - ^ ) ] ^ ii a õ n p t b i e n ng'au n h i e ' n ec t r J t r o n g 1 ' v õ HătÂ) "=. (r*Kt/J)^a)
J2-
h.c.c. vụi noi a ^ 1 , Theo dJnn ly _.l dp do tru /X lõ dp do Radon tỷc lõ T f _ A (1 ,h ) . r ;.; ^ r Djnh l y 2 . 4 G i l s ỷ 1 < r < p ' < 2 ..lợhi dụ t e co ^ ^ ( L , 1 j = T T (i- , 1 } = - ý d , 1 ) ^ P r o p r p r Chỷng n i n h T r ý ụ e h e t t a nh^n t h õ y r a n g v i l ^ r < p Í < 2 nen iihong
g i a n LÍ co l o ^ r - o n d j n h v a nhung dýpc võo n p t khong c i a n L (S , 7 \)
P ' "" r 1 ^ ' nõojdọTheo c õ c d j n h l y 3 - 1 v õ 3 . 5 t r o n g [ ^ o j t a eụ ýõng thiợe
I 1 (L , 1 ) :;. / L (L 1 ) . Ta c h i con can u h õ i ehýng n i n h
o p r r p r ' ^
_Ạ (L ^1 ) = U CL , 1 ) . Su dyng d j n h l y I t o - P ^ i s i o t a t h a y r a n g
r p r p r
T C ,^/L CL , 1 ) neu v õ e h i neu c h u o i y , T^e Q h o i t u h . c . c .
^ r p r ^ n n ^ '
t ờ ^ - ^ ợ ' ợ O ^ - 1 ^ - / . . > ^ ^ ' ^ , . - ' ^ ^ - . ^ ^ .
trong L' , c 0.0 ^ ^ / la uay cae oien ngau nhien on a:T.nị tnue ape •
I
ijp cung phõn be vci ha", d^lc trýn^, expj-)tl* ( 1 Vi r " <^ 2 dieu nõ;
/ r ^ kfc r ^ k e o t n e o / II T e IP < oo h a y T f U(L , 1 ; .I^gýcc l a i , n e u k e o t n e o / II T e IP < oo h a y T f U(L , 1 ; .I^gýcc l a i , n e u ^ n ^ p r ' Z ll T e IP <" oo t h i VI L* cụ l o a i r - o n d j n h nen c h u o i > T*"e 6 ^ n P X - > n n h o i t u h . c . c . h a y T ê - A CL , 1 ) . • r p r ? \ Hj qua 2 . 5 (^ia s u l < r < 2 < " P . K h i dụ n o t t o a n t u t ỷ 1 võo 1
' • * • '"'• ' • i;, p
lõ hoan toan tong hoa neu võ ehê neu : no la toan tỷ ::ieu h-S khi
•> ^ ^ '>
\ ' f ^ y ^ 4^ ^ ,- -
p' < r hay la toan tu co doi ngau kieu h^ khi p' > r.-
Giõ sỷ A,B ^ LC -Q- r^ợ-) • B dýdc gpi la npt ban sao cua A neu vdi
. ^ ^ f
moi X ^ X , AxCw-^) •=• BxCuợ) h . c - e . - Vểi n o i o*J c ? d j n h ^ õ n h x ^
X —y AxCou) g p i l a "-i^t quy d^o cua A . Ta n o i A eụ quy dưio t r o n g V n ờ u n p i quy d^o e ỷ a k deu l a phan t ỷ c u a V . V n ờ u n p i quy d^o e ỷ a k deu l a phan t ỷ c u a V .
3 -
^° ^'^ ^>° ^ Ị su A ê L(Jl,ị,Y) .Ilhi dụ A cõ -pt bõn sao vểi quy
d^o trong V ( Ạ_ co V-ban sao ) neu võ chợ neu eụ tợợi t ^ npt anh x^