Chỷng ninh Diờu liien can l õ hien nhien. Thft v^y "ohõn be cua A chinh
-iiọ^
b i e u d i ờ n A ^Gpi V l õ g i a c ỷ a ju^ .\[i AA l a fiadon V l õ t f p k h õ
o o ly ê25] . t.dn nýa ta eụ the tln dýp^c npt dõy tang cae tfp cọnpart (K )
oo
\ ^ ^n "^^ ^^''^ /^^'^-J = ^ - ^ ^ t ^^ = ^ ^ ^ -^'a cụ K l õ tfD B o r e l ụ o YV ^ n n= 1 n v ờ i yuCK) - l . V i X võY k h õ l y , cụ t o n t f i dõy (x ) c X v õ d õ y Cy ) C Ý
v ụ i s u p Íl X Ii ^ 1 , s u p II y 11 ^ 1 s a o eho ; ( b x , y ) = O v ờ i n p i n
n n n n ^
se kờo theo b = ỌXet anh xa E : V —^ Ê^ xõc dinh nhý sau
o Fb = jCbx ,y )] i. n n i o oc "I n-oact va F la anh xf ;-'âpt-npt võ lien tuc .Do dụ E(K ) lõ tõý eo
n
F(K) = V-/F(K ) lõ mpt tfp Boral kha lỵTheo djnh ly noi tieng cỷa
Kuratowski õnh xf ngýdc E r F""^ : F(K) --> V lõ de dýdc .Ta cụ o
neỷ J1.^^[L^: [(Ax^^, y^)] ^"^ ^ F ẻ K ) ] thi
P(-n^) = y^ ib: [(bx^,y^)J^ ê F(K)| ^ y u j b : Fb ê F(K) 1 i^ycL (K) = 1
xờt õnh xa G : -TI — > FCK) nhý sau GCwj) •= R A X ,y )] neu
"- n n J 1
^ / _
U U ê —TL v õ G(<j-)) •=. k néu <-u ê. J l c dụ k ê F(K) . D a t
o 0 . 0 o
A{uu) c E [ G ( ( - U ) J . Ta cụ A l õ do dýpc v õ n i e n g i õ t r J eỷa nụ bJ
/ ^ i ^ - X ^ / S^ ^ y
c h ý a t r o n g V n e n k h a l y .Vfy A l a n p t b i e n ngõu nhién V—gia t r J . o
Co d j n h X ê X. v õ y ê Ý* - Ta eo -.vi dp do /tx b i e u d i ờ n A n e n PJ ( A x , y ) = ( A ( c o ) x , y ) ] ^ p j ( A x , y ) = ợ t t [ G ( u j )] x , y ) j ^
p j ( ạ x , y ) = ( t i [ ( A x ^ , y ^ ) j 1 : , y ) ] = ^ ( b : ( b x , y ) - (^ [ ( ^ ^ n ' ^ n ^ j ' ^ ' ^ ' O ] " y u j b : ( b x , y ) r (^ợ^h')x,y)\y^juh: b ^ H[Fb] "I ^ y u d O ^ 1
Tẻi dụ v i I k h õ l y nen tẹ eo PJ U ; : . A : ẻ ( L L ; ) = A{uj)xl - 1. Ecr= n u a , ợ | ( A ( u u ) | l ^ d P = r i | E [ F b 3 | p d y u ( b ) ^ Cwhr dju (b) < oo . Djnh ly
K
Ky h i f u L ( J 1 , X , Y ) l õ t f p hp\^ cõc t o a n t ỷ ngõu n h i e n A ê L ( J I , X , Y )
s a o cho E llAxIl" < oo v ụ i -npi x ^ X. Sĩ dyng djnh l y do t h J vln t a
CO t h e dong n h a t L ' ( J I , X , Y ) v ờ i nhong g i a n c õ c t o a n t u t u y ờ n t ợ n h l i e n t y e t ý X võo L C J I ) . Ta g i õ t h i e t T: > 1
P
(?) / /
vụi noi A ^ L ^ (JI,X,Y) ta ket hpp vời .:pt anh ::f tuyen tợnh S
XV
tý L'(XI) vao tfp hdp cae anh Xf tợi X võo Y bang cong thỷe sau
P
(S^h)x - r h(co)Ax(co)dP (3-1)
, ^ j ^ \ J ^
Tieh phõn Bochner ( 3 - 1 ) ton t f i v i AX ^ L ( J l ) .Theo b õ t dang thỷe P
h o l d e r t a cụ
11(3 h ) x | l ;< vCị)ll h |i 11 X 11 C3-2)
ụ do VCA) — sup ẻL liAxIl^" \^ ' ^ ^
l l x l l ^ l *
Tẻợ C3-2) de t h a y S l õ n p t toan tỷ tuyờn t ợ n h l i e n tye tợi L {IL) võo
A p L(::,Y) v a i US 11 ^ v ( A ) .
Gia sỷ y l õ ap do t r y t r e n L CJl) xõe djnh bụi
X j h ^ L \ S I ) : [ ( b , g ^ ) , . . , ( h , g ^ ) ] ê B ] ^ P | L U : [ g ^ ( c u ) , . . ,g (ạ ) ] 6 B
Nểi cõch khõc T l õ op do t r y t r e n L {Sợ) dýp'e s i n h b ờ i anh xf dong
n h õ t I d : L ( J l ) —> L ( J l ) J ) e t h õ y O l õ n p t d^ do t r y l o f i p P P
VI sup E | I d gl^ sap E | g I =. supU g 11 ^ 1
11 ê11^1
Djnh l y 3 . 3 Giõ sỷ A ^ L ^ ( JI,X3 Y) .Khi dụ A l õ ( V , p ) - b i ờ u d i e n dýp^c
y/ . J . I
neu võ ehi neu S õnh xa L {êl) võo V võ dp do try S ợ Y ) la npt
A p A
^ /
2-
Chỷn^ ninh Diờu kien can: Theo djnh nghia cụ ton tai A êL^CJ1)
• ^ P
sao cho v ờ i n p i x ờ X AxCcu) ' ACCU)X h . c . c . Tu C3-1) t a eụ
(S^h)x =. C h(cx>)ACcu)dP .
v l t i e h phõn Bochner fhCu) )ACƠ )dP ton t f i nen tu dụ suy r a
B^h - ( hCcý)ACcu)dP ^ V vdi npi h ê L ^ C I 1 )
vụi n ờ i u ờ: V võ h ^ L^ {Sợ) t a eụ
ir
( S ^ u , h ) = < S ^ h , u > = JhCuj) < A ( o u ) , u > õP
VAy ( S^^u ){ýý)- < ; A ( O U ) , U > h . c . c .
Ham df c trýng eỷa dp do try S {^ ) lõ
S^C/) Cu) = rexpii[S^* u](co)] dP = fexp ẻ < A C ị L ; ) , U > dP
Dang thýc nõy chýng te S.(y ) trung vdi phõn b? eỷa A .LẻO dụ nụ
/
l a :npt dp do iiadon cap p t r e n V.
Diờu k i f n du: Gia sý S C Y ) l a dp do Eadon cap p t r e n V.Ta cụ
[3^(/)][ b^V: [(bx..^,ỵ)]^ e ^ } = ^{ht^p^ )^ợ(^VK-^\)]l ^^] =
ợrjh: [(h,CAx.^,ỵ)] ợ" ê bj = P jtu: C(^.,'Y^.^)]^ 6 ^ ]
Vfy s e ) l a dp do Eadon biéu d i ờ n ẠTheo dinh l y 3-2 t a iiet lufU A
dýp'c A l õ ( V , p ) - b i ờ u d i e n dýp'c •
Dinh l y 3^k G i l sS A ^ L ^^^ ( J1,X,Y) ,p ^ l . H e u toan t ỷ S l õ n'pt
t o a n t Ị p - t o n g hõ tu^ L (JL) võo Y t h i A l a ( V , p ) - b i ờ u d i ờ n dýdc. P
Chỷnê_minh: vl o lõ npt dp do try lofi p võ S lõ p-tụng hõ: , theo
A
fT c u r Sợihvrprt'?. f^R 1 ê
djnh l y n o i t i ờ n g cua Schv/artz [58] ^ S^ ^ "^^ ^^^ ^^ ^^ Eadon cap p
r -^13-
Gia su X Ẽ Ý la tieh tenso cỷa X võ YÍ võ oC lõ npt ehũn hp^p
ly tren X Ẽ YÍ .bo sung eỷa X Ẫ Í aýụi chuan nõy dýpc ky hieu lõ
-^ Z' .^^^ ^ I ^ ^
X Ẽ Ý . Moi phõn tý/eua khong gian d?i n^õu cỷa X <g) T' cụ
týdng ýng vời mgt toan tỷ T nao de cua L(X,ÝÍ) thec cõch sau
<x Ậ r . y ^ t > ) r ( l x , y ) . ; . :; . . . .
/ Djnh n g h i a 3^3 Ta n ụ i r a n g t o a n t ỷ T ^ L(X,Y) thupc l ụ p V^ nờu Djnh n g h i a 3^3 Ta n ụ i r a n g t o a n t ỷ T ^ L(X,Y) thupc l ụ p V^ nờu f h i e n han t u y e n t i n h T t r e n X Ẽ Ý xõc djnh b ụ i