o
I i - P$ 11 Ax^ - Axil > t ] = O v c i ::9i t > ị
X - ^ X
n
T^p hdp tat ea eac toan tu ngau nhnLen tu X vac Y auoc ny hieu la L(I1,X.,Y)
Thi dy 1 >:9i toan tỷ khĩng ngõu nhiờn b ^ LCX,3f) co the xen la n9t
^^
trýong hdp rieng cua toan tỷ ngõu nhien.Th^t vf.y ta djnh nghia
ạx(u^)=:. tDi vời n9i c u ,.
Thi du 2 ợ / ? ' ^ l õ .:9t ci-cn nỊ-. n h i ^ Y - g i õ t r i t h i ^ uýdc
dong n h a t v ụ i n 9 t toan t ý ngau n h i e n A tợi E Tiao i xõc djnh nhý sau
- 7 1 -
Thi dỵ 3 '-iõ sỷ B ; J l —^ L ( X , I ) l õ not bien ngau nhíen cụ g i õ t r J t r e n L(X,1'). h ec the dong nnõt v ờ i .?.9t toan t ỷ ngau niiien A
t ỷ X vac Y theo cach sau AII{LO) ZZ 'Ịẻ{UJ)::Ị. De dang liien t r a dýf^c rang A thõ nõn cac dieu lii^n i ) - i i ) cua djnh
n g h i a 1.1 .Tuy niiien,nhji se thay sau nõy I d p eac toan t ý ngau n h i e n
, * . ^ — - ^ . y\ , 4\ j f / ^ Ậ ^ /
t u j^ vao 1 rgng adn. r a t niiieu so vdi i d p eac o i e n ngau n h i e n 09 t r J
t r e n 1J(X, i ) .
Cae v i du auan t r 9 n r nliat ve toan tu ngau n n i e n ẸẸ t i e h nnan ngau
r^
n h i e n va chuoi ngau n h i e n
Thi du Ịf Gia su X l a khong gian eo 1OỊLẻ p-on dJnh.,Z l õ dg ue ngau
/ y *> , , '
n n i e n uoi xung p-on ct^nh zz trz. t r e n X xac u^nh t r e n n n c n j gian uo ( ^ i X ) ( X e n chudng 2).Tu di:--h l y 2 . r cuê. zt:Ị.<:r:.i 2 t a Ịe dang suy r a
týdng ỷng A f " IfdZ xac djnh cho t a ::'9t toan t ỷ ngau nhíen tu
Ậ^•y P '
L (1^7 X , | Q | ) võo X. p P
Thi du 5 G i l sụ X r c [ 0 , l ] võ X = L [ o , l ] . Gnor ^ ( t , s ) l a ham binh
f 1 i p ^-'
phýdng khõ tich : K z C C K Ct^6)dtds < 00 . Vụi moi han x z:x(t)
thu9C c[o,-lJta dat týdng ung no vdi han ngau nhien yợtit-u) nhý sau
Ax(uJ) r y(uJ) zy(t,cý)= rK(t,s)x(s)dW(s) (1-1) O
Tich phan ngau nhíen Wiener (1-1) ton t ^ vdi noi t vi
-I ^ 5 K. ( t ^ s ) x ( s ) d s ^ 11 xjl ( K ( t , s ) d s < 00 .K|.t knac O "O /i 1 ^ ^ E ( y ( t Í c ý ) d t r ẻ E y (t,.t>o);dt r \ ( ^ ( t , s ) x ( s ) d s d t ^ l|x||^ K < OO ^ o ý o
•72-
Dieu nõy ehýng t o y =. y ( t , o O ) l a m9t b i e n ngõu nhién co t r J t r o n g L [ 0 , l j võ hdn n5a E llAxU^ " ^ ^ y ^ ( t , w j ) d t ^ K|l x l l . Tĩ do dờ d\ng t h a y
^ ^ y O ^ 9 ^ ^
rang cong thýc ( 1 - 1 ) cho t a n'9t toan t ỷ ngau n h i e n A tợf c [ o , l J võo
r -I X / ^ -^ ' /
L J 0 , 1 | ..Ta ggl A l a toan t ỷ ngau n h i e n Fredhom vdi hfich K ( t , s ) •
/ f^
Thi dy € Cho ( 0 . ) l õ dõy cae b i e n ngau n h i e n th^c djc l^ip^cỷng phan bo v ụ i ham d^c t r ý n g e x p | - | t l \ .Gia sỷ r < p võ (k. J l a
.'n9t ma tr^in vo so chieu vụi V X . 1 ^ - -I " ^ ^ v ụ i moi X - (x ) ^ 1 t a d a t 1 ^ p oo Ax r y ^ ( y . ) " ^ vụi ỵ - Z 1^. -^^ - Ẫ- (^-2) 1 1 1 / T i I J J 3 Chuoi ( 1 - 2 ) h p i t y h - c . c . v ụ i moi i v l ^ ( i ^ . . { " I ^ . r " ^ J' s J y | k (^ < o o ) .Hat khõc ^ y ^ Ị ^ l ^ i l ^ ^ GKiixif
Dieu nõy chỷng to A3( = y — (ỵ ) l a mpt b i e n ngau n h i e n 1 - g i õ t r J
1 r
va hdn nýa E |1 y | f 4 CK|I xH^ hay E JlAxlf ^ GK H x if .-Tĩ dỊ de"'
/ / / i ^ ^ 4^
dang chifng minh dýjợc phep týdng ýng ( 1 - 2 ) cho t a m^t t o a n t ý ngau n h i e n t ỷ 1 vao 1
P r
GiỊ sý X g> Ý l a t i c h tenxo cỷa X v õ i ' .Vểi A ^ L ( i ^ , X , i : ) t a djnh n g h i a õnh x^i A : X X ợ ' — Í L (IL) b k X ( x , y ; ^ ( A X , F )
/ yj 7 . ' ' ^ P y\^ /
- 7 5 -
tuyen t ợ n h ky h i e u l õ T^ tợợ X Ẫ r vao L ( J l ) sao cho T^Ịx r y) -
"^ "^ A o A Ăx^y) - (Ax,y) v ụ i mpi x ê X ^ ^ Ý ..
Ham d^c t r ý n g cỷa toan t ỷ ngõu n h i e n A ê L( Âx^Y) l õ mpt ham xac djnh t r e n X Ẽ YÍ l a y g i õ t r J t r e n t ^ p so phỷc C dýjợc djnh n g h i a b ụ i
A u - E e x p | i T u ^
Nhý vượy neu u = T t (x Ẽ y, ) t h i Aụ ^ E e x p ợ i 2 1 1 (Ax , T )1 .Tẻi
^ k k k ^ ^=.1 ^ k k j
do suy ra rang hai toan tỷ ngau nhien A va B thujc L(-n.,X,Y) cụ cỷng ^' '' z^ V '^ • • ( -\ n ham dac trýng neu võ chi néu vụi moi n va moi dõy hýu han ){•%. ,y )7
Ậ- k k J 1 hai vecto ngau nhíen )(Ax, ,y )[ võ |(Bx Íy )? cụ cung luat
* - k Ẹ : i l ợ k k J l *
^ J ^ ^^ d
phan bo .Trong t r ý d n g hjợp nõy t a noi A va B dong l u f t võ v i ợ t A = . B . Djnh l y sau day cho t a m9t t i e u chuan de o p t ham f : X Ẽ ợ ' —> C l a hõm d^c t r ý n g cua mpt toan tỷ ngau nhien nao do tý X võo Y*
n
Djnh l y 1.2 De han f : X Ẫ ợ ' —^ C l a hõm dfc t r ý n g cỷa mpt toan
4*^ •*" ~ " ^
t ỷ ngau n h i e n A ^L(-n.,X^Yj. dieu k i f n can va du l a
i ) f l a ham xac djnh dýdng: Vểi a p i day ( c . ) ờ G, v ụ i m9i dõy
( u ^ ) ^ C X (2>Y^ t a cụ Z Z V / ^ ' ^ i " ^*^ ^ ° -^fe*^*i ^^ ợ ' ( - ) = 1- - i i ) v ụ i moi dõy {(x^ , y )V co djnh haa ( t . . . ^ ^ t t ) -•> f ( T t x , Ẽ y / ^
* - k k ) l 1 n \ ^ - k k k fcal
\ * *Í n l a ham l i e n t y e t r e n E
i i i ) võx moi X ê_X co djnh, ham y —^ f ( x Ẽ y) l õ ham d^c t r ý n g
/ ^
cua ajit õg do xõe s u a t t r e n Ỵ
Chỷng minh Dieu kifn can; i) Ta cụ T V c c A ( u , - u . ) = z Z y c . c E ẻ e x p ợ i T u "j e x p I l T u .? i - 4 . - P 1 J , i 3 " ^ - ^ l o i ^Ị A i i - ợ A j J j t J ^ E I Ị c J e x p | i T ^ u . ] ( ^ J^ O j ^'i
ii) ham (t^ ,-.-,t ) -> A ( y t x^ O Y ") — E expii Tt^ (Ax^ ,y ) 1 n ^ ^ - ' k k k ^ ) r^. s. k ị: J lõ hõm d^c trýng cỷa bien ngau nhien j{Ax lỴ )(, do dụ lien tye
*- k k .} i
trợn R •
iii) ham y -•> Ăx (Ị) y) = E exp|i(Ax,y)J lõ hõm d^e trýng cỷa phõn
J u ^^ Z' ^
bo xõc suat cỷa bien ngau nhíen Y-giõ trJ Ax .
n \ ^
iv) Giõ sý X — ^ x.Khi dụ (Ax ,y) hpi ty tdi (Ax,y) theo xõc sũt ^ n n
Do dụ lim Ăx Ẽ y) — lim E expji(Ax ,y)f =. Eexp i(Ax,y) ^ Ăx CD y)-
Dieu kifn du: Giõ sỷ ham f: X ^ Y* - > C thoa man cac dieu kíJn i)-iv)
vụi aoi dõy I = 5(x ,y )[ ta xõc djnh han F^ tren E nhý sau Í- k k J 1 • I
Do dieu kifn i) võ ii) F lõ xac djnh dýdng võ lien tyc.D;^ Ịụ co
ton tưdL dp do xac suat y u tren B . De dang thay rang h9 {/^ ^ lõ
/ / / z
t ý d n g t h ợ c h do do t h e o d j n h l y K o l m o g o r o v eo t o n t ^ m9t qũ t r i n h
^ VJBtx^yj/ / / O ^
ngõu n h i e n / c h i so h o a b ụ i t^p %9t Y^ s a o cho
? X, . ^ 4 -^^ ^
Ta chỷng to rang (x,y) ~ > B(x,y) la mpt õnh x^i song tuyen tợnh tý
X X V vao B^(-a) .-Th-?t vfy E expjit B(x i xÍ ,y) - b(x,y) - b(xÍ^y)-]
Suy r a B ( x 4 x ' , y ) - B ( x , y ) 4 ý ( x * , y ) h . c . c . Týdng tv? B ( x , y + y * ) B ( x , y ) + b ( x ^ y ' ) h . c . c . v õ
B ( t x , y ) r B ( x , t y ) - t B ( x , y ) h . c . c . v ờ i :.i9i t
Theo i i i ) v ờ i moi x ^ ^ ^^ d j n h h a n ngõu n h i e n t u y e n t i n h y — ^ l l ( x , y ) l a k h a i t r i e n dýjJc b ờ i mpt b i e n n g a u n h i e n Y - g i a t r J T 2 8 l ẬVfy t h i co
*' \ / "^ y
ton tưi va duy nhõ't mpt phõn tỷ cỷa L (-Q.) sao eho o
vụi mpi X ê X, y ê ợ' B(x,y) -z (AxÍy) h.c.r.
Tiep theo ta se chi ra rang anh x^ x —•> Ax la tuyen tinh võ lien
y *? '^^ >
t^c tợợ X võo L (^).Tẻnh tuysn tợnh cỷa A suy ra de dang tỷ tợnh
o ^ ' '
song tuyen tợnh cua Jõ võ gia thiet Y kha lỵDe ehýng minh A lien tye
ta su dỵng djnh ly do thj kin ( lihụ rang X võ L (il) lõ cac khong
o
g i a n r r e c h e t ) . G i a s ỷ x —> O v õ p - l i n Ax =: h . Eam d a c t r ý n g
n " n
1 ^ ' Z^ ^
cua bien ngõu nhien B(x ,y) lõ f (tx Ẫ y) .vl tx —> O vdi mpi t
n n n n e n t h e o d i e u k i e n i v ) t a cụ l i m f ( t x <S y) = f ( 0 ) = l v ụ i mpi t .