CHƢƠNG 3 GIẢI MÃ MỀM MÃ TÍCH
3.1 Mã tích và các đặc điểm
3.1.2 Giải mã mã tích
Trong phần này sẽ phân tích đặc điểm của các thuật tốn giải mã mã tích đã đƣợc cơng bố, từ đó đề xuất thuật tốn mới giải mã mã tích.
a) Giải mã Viterbi
Theo thuật tốn Viterbi, lƣới mã T biểu diễn mã chiều dài n là một đồ thị bao gồm một tập hữu hạn các đỉnh V, một tập hữu hạn của các cạnh đƣợc ký hiệu E và một tập hợp ký hiệu L đƣợc xếp theo anphabet của mã. Các đỉnh có thể đƣợc phân thành các tập rời rạc, , ở thời điểm i nào đó.
Lƣới mã biểu diễn gồm mỗi tập hợp con có các cạnh kết nối các đỉnh ở với các đỉnh trong và kết nối các đỉnh với các đỉnh , hoặc có cạnh khơng tồn tại… Chúng ta có thể tìm thấy đƣờng đi của các cạnh đƣợc đánh dấu kết nối bởi các đỉnh bắt đầu từ tập đầu của các đỉnh và kết thúc b ng
65
tập đỉnh . Đối với lƣới nhƣ vậy, mỗi đƣờng dẫn, chuỗi cạnh, chiều dài n đi qua các đỉnh là một từ mã trong mã [75]. Thuật toán dựa trên ý tƣởng là dọc theo các tuyến hợp nhất tại một trạng thái trên lƣới chỉ cần lƣu lại một tuyến có xác suất đúng nhất dùng cho các bƣớc xử lý tiếp theo. Các tuyến cịn lại có thể loại bỏ mà khơng ảnh hƣởng đến đặc tính tối ƣu của bộ giải mã.
Số lƣợng các phép tính cần thiết để thực hiện giải mã Viterbi trên lƣới mã T với đỉnh V và cạnh E b ng [75]:
| | | | (3.5)
Nhƣ vậy, có thể lấy số đỉnh trong lƣới làm thƣớc đo độ phức tạp giữa các đƣờng lƣới mã. Giới hạn trên cho logarit của số đỉnh tối đa tại thời điểm bất kỳ trong lƣới mã của mã tuyến tính nhị phân là giới hạn Wolf [79]:
{ } { } (3.6)
Dấu b ng xảy ra với trƣờng hợp mã có khoảng cách tối đa. Trong nhiều trƣờng hợp, tại bất kỳ thời điểm nào logarit của số đỉnh tối đa rất gần với giới hạn Wolf [75].
Hình 3. 2. Lƣới mã của mã Hamming (7, 4, 3)
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑉 𝑉
66
Do ma trận sinh của mã tích đƣợc tạo ra b ng cách lấy tích Kronecker của các ma trận sinh các mã thành phần. Nên dễ dàng thấy, một mã tích có mối liên quan đến giới hạn Wolf nhƣ sau:
{ }
{ } 3.7
Theo [5], lƣới mã của mã khối có kết nối cạnh giữa các đỉnh rất phức tạp (Hình 3.2) với số đỉnh trong lƣới khác nhau cho mỗi thời điểm. Các nghiên cứu đều cho thấy sự phức tạp của giải mã Viterbi trên lƣới mã tích.
b) Giải mã Turbo
Thuật tốn giải mã Turbo cho mã tích trên cơ sở giải mã các hàng và các cột thành phần b ng thuật tốn MAP.
Thuật tốn giải mã MAP đƣợc mơ tả ngắn gọn nhƣ sau:
1. Tách tín hiệu nh n ra thành 2 chuỗi tư ng ứng cho bộ giải mã 1 và bộ giả mã 2 .
2. Ở vịng lặp đầu tiên, thơng tin tiên nghiệm của bộ giải mã 1 đượ đưa về 0. Sau khi bộ giải mã 1 đưa ra được thơng tin ngoại lai thì sẽ được chèn và đưa tới bộ giải mã 2 đóng vai trị l thơng tin tiên nghiệm của bộ giải mã này. Bộ giải mã 2 sau hi đưa ra thông tin ngoại lai thì vịng lặp kết thúc. Thông tin ngoại lai của bộ giải mã thứ 2 sẽ được giải hèn v đưa về bộ giải mã 1 như l thông tin tiên nghiệm .
3. Quá trình giải mã giải mã cứ lặp lại như v ho đến khi th c hiện đủ số lần lặp đã qui định .
Sau vòng lặp cuối cùng, giá trị ƣớc đốn đƣợc tính b ng cách giải chèn thông tin ở bộ giải mã thứ 2 và đƣa ra quyết định cứng.
Sử dụng mã nhị phân để giải mã. Chuỗi nhận đƣợc là và kết quả của bộ giải mã là ̅. Bộ giải mã MAP trả về giá trị thực cho mỗi symbol
67
̅ nếu ̅ ̅ trong trƣờng hợp còn lại. Với L là hàm log –
likelihood của các symbol trong ̅:
̅ ∑ ∏ ( )
∑ ∏ ( ) (3.8)
Hình 3. 3. Mơ hình giải mã mã tích
Trong giải mã Turbo, chuỗi nhận đƣợc đầu tiên đƣợc giải mã MAP mã thành phần và các giá trị thực thu đƣợc từ giải mã MAP đƣợc sử dụng, không ánh xạ các kết quả thành các ký hiệu nhị phân, mà trở thành đầu vào cho giải mã MAP trong giai đoạn tiếp theo. Thủ tục đƣợc lặp lại trong các lần lặp kế tiếp sử dụng các giá trị thực do bộ giải mã MAP trả về trong lần lặp trƣớc.
Theo [30], thấy r ng có thể áp dụng giải mã Turbo cho mã tích sử dụng bộ giải mã MAP trên mã đối ngẫu của các mã thành phần (Hình 3.3). Hình thức của giải mã MAP trên mã đối ngẫu có thể thu đƣợc b ng cách thực hiện biến đổi Fourier rời rạc hoặc biến đổi Hadamard trên (3.7). Với kênh AWGN, giá trị mềm cho mỗi symbol đƣa ra bởi giải mã MAP trên mã đối ngẫu đƣợc đƣa ra nhƣ sau:
̅ ∑ ∏ ( )
∑ ( ) ∏ ( )
(3.9) trong đó
; là giá trị thực của kênh; là xác
suất chuyển tiếp nhánh trên lƣới mã và Giải mã
hàng 𝐂
Giải mã cột 𝐂| 𝐿 𝐜
Phản hồi bƣớc lặp tiếp theo
𝐿𝑐𝐲 𝐿𝑒 𝐜̅ 𝐿 𝐜̅ 𝐿|𝑒 𝐜̅ 𝐿| 𝐜̅ 𝐿 𝐜̅ Tại lần lặp cuối
68
{ , (3.10) Bảng 3. 1. Độ phức tạp của các phƣơng pháp giải mã tích
Phƣơng pháp giải mã Độ phức tạp (phép tính) /Đơn vị Turbo
(MAP)
Lần lặp
Lần lặp
Viterbi Mỗi giai đoạn
Sử dụng mã tích có kích thƣớc b ng (phân tích
với các mã tích có kích thƣớc nhỏ). Với mỗi hàng yêu cầu (3.8) hoặc (3.9) đƣợc thực hiện cho mỗi symbol trong hàng. Tƣơng tự, với mỗi cột yêu cầu tƣơng ứng thực hiện (3.8) hoặc (3.9) cho mỗi symbol trong cột. Từ Bảng 3.1, có thể thấy sự phức tạp của giải mã Viterbi tăng theo hàm mũ so với kích thƣớc của mã tích cịn độ phức tạp giải mã Turbo tăng theo hàm mũ với kích thƣớc các mã cấu thành. Các thuật tốn này đều giải mã trên lƣới mã nên độ phức tạp còn phụ thuộc vào số đỉnh và số nhánh trong lƣới.
c) Giải mã lặp c n tối ưu
Thuật toán lặp cận tối ƣu giảm sự phức tạp b ng cách ấn định độ phức tạp ở mỗi lần lặp đến giá trị tối đa chấp nhận đƣợc. Trong đó, thay vì ghi lại danh sách dài các từ mã ứng viên cho các hàng và cột, kết quả của mỗi giai đoạn đƣợc giải mã lại bởi giai đoạn sau tạo ra một danh sách mới (với kích thƣớc ấn định sẵn) và khơng nhớ những kết quả từ giai đoạn trƣớc đó. Chất lƣợng thuật toán này đƣợc cải thiện b ng cách tăng kích thƣớc danh sách giải mã cho các hàng và cho các cột đến khi nó trở thành thành hợp lẽ cực đại.
69
Hình 3. 4. Lƣu đồ thuật toán giải mã lặp cận tối ƣu
Sự linh hoạt trong điều chỉnh độ phức tạp và việc có thể ấn định độ phức tạp trong mỗi giai đoạn là lợi thế chính của thuật tốn cận tối ƣu. Lƣu đồ thuật toán giải mã lặp cận tối ƣu đƣợc thể hiện trong Hình 3.4. Với: là các ma trận kích thƣớc gồm các từ mã hàng trong mã ; | là các ma trận kích thƣớc gồm các từ mã cột trong mã . Bộ giải mã thành phần
tƣơng ứng đƣợc các từ mã , | có kích thƣớc .
𝐲 𝐜 ;
ite= max iteration Bắt đầu
𝑖 𝑗 Khởi tạo 𝐲 𝐂 𝐜̂ 𝐲 𝐜 𝐲 𝑙 𝐜𝟐 𝐂 𝐜 𝑖 𝜙 𝐜𝟐 𝑖 𝑗 𝐜𝟐 𝐂| 𝐜 𝑗 𝝍 𝐜𝟏 𝑖 𝑗 𝑙 𝑙 Kết thúc Đ Đ S Đ S S Đ S 𝐜̂ 𝐜𝟐 𝐜̂ 𝐜𝟐
70
Có thể thấy, thuật tốn giải mã lặp cận tối ƣu có độ phức tạp điều chỉnh đƣợc có thể coi là một giải pháp cho các thuật tốn giải mã tích. Tuy nhiên, nhƣợc điểm là chƣa có bộ giải mã thành phần hiệu quả khiến việc sử dụng mã tích trong thực tế của thuật toán này bị hạn chế.