3.3.3 Độ phức tạp
Từ (2.3.1) ta hồn tồn có thể xác định đƣợc thuật tốn DCA cần tổng số phép tính cộng, nhân là . Cịn thuật tốn DCAPC, từ (3.15) cho thấy cần phép tính cộng nhân cho giải mã các hàng
và phép tính giải mã các cột cho mã tích. Hay
để giải mã một bit mã, thuật toán mới cần
phép tính, cịn DCA cần phép tính. Nghĩa là nếu sử dụng cùng một mã khối để kiểm soát lỗi, thuật tốn mới chỉ cần lặp 2 lần nên có số lƣợng tính tốn cho một bit đầu ra xấp xỉ 8 lần DCA. Thuật toán DCAPC cải tiến nhiều hơn DCAPC là phép tính nhân cho giải mã mỗi hàng và phép tính nhân cho giải mã mỗi cột.
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 Eb/No(dB) BER DCAPCcaitien(7,4)x(7,4) DCAPCcaitien(15,11)x(15,11) DCAPCcaitien(31,26)x(31,26) MDUDC(7,4)(7,4) MDUDC(15,11)(15,11) MDUDC(31,26)(31,26) 𝐸𝑏 𝑁 (dB)
87
Bảng 3. 4. Độ phức tạp của thuật toán DCAPC và thuật tốn cải tiến.
Thuật tốn Số phép tính nhân Số phép tính cộng
DCAPC
DCAPC cải tiến
Bảng 3.4 chỉ số lƣợng phép tính cần để giải mã mã tích với các mã thành phần là mã Hamming trong hai lần lặp khi sử dụng thuật toán DCAPC và DCAPC cải tiến. Nhƣ vậy, thuật toán DCAPC cải tiến có độ phức tạp tăng không đáng kể so với thuật tốn DCAPC. Nên có thể coi, DCAPC cải tiến và DCAPC có độ phức tạp tƣơng đƣơng.
Để khẳng định chất lƣợng thuật toán mới, chúng ta cần đánh giá độ phức tạp của nó với thuật tốn do Hagenauer trình bày. Việc đánh giá này mang tính chất tƣơng đối và giúp chúng ta có cái nhìn trực quan hơn về thuật tốn đƣợc đề xuất trong Luận án.
Bảng 3. 5. So sánh độ phức tạp của DCAPC và MDUDC.
Thuật tốn Tính theo độ phức tạp của Viterbi
DCAPC VA
MDUDC VA
Theo [5], [66] dễ dàng có thể thấy thuật tốn MAP có độ phức tạp xấp xỉ 3 lần thuật tốn SOVA, thuật tốn VA có độ phức tạp khoảng 2 lần SOVA. Mặt khác, theo [36], sự phức tạp trong quy tắc giải mã đối ngẫu với mã tuyến tính có thể so sánh đƣợc với độ phức tạp của bộ mã Viterbi cho mã đối ngẫu . Nghĩa là, DCA có cùng độ phức tạp với giải mã Viterbi hay DCA có độ phức tạp xấp xỉ MAP. Trong [30],
88
Hagenauer thực hiện MDUDC với 6 lần lặp để đạt kết quả giải mã. Bảng 3.5 chỉ ra sự so sánh về độ phức tạp giữa thuật toán MDUDC và DCAPC khi sử dụng cho mã tích . Bảng 3.5 cho thấy, MDUDC có độ phức tạp gấp lần so với DCAPC. Cả hai thuật tốn đều vét cạn thơng tin giải mã trong mã đối ngẫu với bộ mã gốc. Tuy nhiên thuật tốn MDUDC rất khó để triển khai trong thực tế do phải trình bày, sử dụng các hàm phi tuyến và cơng thức tính tốn gồm các phép cộng và phép nhân lẫn lộn [30], [55]. Nghĩa là, thuật toán MDUDC quá phức tạp và chỉ dừng lại ở mức nghiên cứu lý thuyết chứ rất khó có thể áp dụng vào thực tế ngay cả khi chúng ta có những bộ vi xử lý có khả năng tính tốn mạnh. Đây cũng chính là điểm mạnh của thuật toán giải mã mới đƣợc đề xuất DCAPC và DCAPC cải tiến. Với các thuật tốn này ta hồn tồn có thể tính đƣợc độ phức tạp giải mã, kết quả tính tốn này mở ra tính khả thi khi hiện thực hóa thuật tốn b ng các thiết bị phần cứng.
3.4 Kết luận chương
Chƣơng 3 đã phân tích đánh giá một số thuật tốn giải mã cho mã tích. Có thể nói, các phƣơng pháp giải mã này luôn phải chấp nhận sự đánh đổi giữa chất lƣợng, độ phức tạp thuật tốn và tốc độ mã hóa. Tại đây đề xuất một thuật tốn mới DCAPC có độ phức tạp thấp rất hiệu quả cho mã tích b ng ý tƣởng vét cạn thông tin giải mã của mã đối ngẫu với các mã hàng và cột trong mã tích. Chất lƣợng và độ phức tạp của thuật toán mới đƣợc đánh giá và so sánh với một số thuật toán nhƣ DCA, lặp cận tối ƣu, hay so sánh với chất lƣợng các mã có tốc độ tƣơng đƣơng mã tích nhƣ BCH, RS đều cho thấy tính vƣợt trội của thuật tốn. Khi so với thuật toán trong [30], DCAPC cho độ lợi giải mã kém hơn. Tuy nhiên, thuật tốn giải mã tích mới DCAPC đƣa ra đƣợc cơ sở lý thuyết là nền tảng cho việc nghiên cứu, đề xuất các thuật tốn giải mã cải tiến có độ phức tạp thấp hơn, có tốc độ mã hóa cao hơn và có thể cho chất lƣợng giải mã tốt hơn. Điều này đƣợc khẳng định bởi thuật toán DCAPC cải
89
tiến đƣợc trình bày trong Luận án. Thuật toán cải tiến cho DCAPC với độ phức tạp tăng khơng đáng kể, mà tốc độ mã hóa lại tăng nên cho chất lƣợng giải mã tốt hơn thuật toán DCAPC lên tới 1,15 dB tại xác suất lỗi bit
Thuật toán cải tiến cho mã tích với các mã hàng và cột là các mã Hamming, đạt độ lợi giải mã từ 0,3 dB đến 1 dB so với thuật toán giải mã Turbo với giải mã MAP cho các mã thành phần. Thuật toán DCAPC và DCAPC cải tiến rất phù hợp với các mã tích với các mã thành phần là các mã khối có độ dƣ nhỏ.
90
KẾT LUẬN
Trong thiết kế hệ thống thông tin, đặc biệt trong hệ thống không dây Wifi, WiMax,…yêu cầu thời gian thực với độ trễ nhỏ, sự phức tạp của bộ giải mã là trở ngại chính trong việc sử dụng các mã mạnh nhƣ mã tích.
Đóng góp quan trọng nhất của Luận án là đƣa ra phƣơng pháp giải mã mới cho mã tích với đề xuất thuật tốn giải mã mới, đồng thời đƣa ra giải pháp cải tiến thuật toán này. Thuật toán mới cho mã tích có cơ sở lý thuyết chắc chắn, sử dụng không gian mã đối ngẫu để giải mã có độ phức tạp tính tốn thấp.
Các kết quả chính đạt được của Luận án:
- Đề xuất các thuật toán giải mã mềm cải tiến dựa vào tính chất mang tin giải mã của mã đối ngẫu, BPA – DCS và BPA – DCZ, chất lƣợng giải mã tốt hơn tƣơng ứng đến 0,45 dB và 0,65 dB so với BPA, hệ thống phức tạp hơn.
- Đề xuất thuật toán giải mã đối ngẫu (DCA) cho các mã khối mật độ cao, so với thuật toán giải mã cứng, độ lợi mã hóa đạt tới 1,57 dB đối với mã Hamming và 1,85 dB đối với mã Golay tại . Thuật toán giải mã DCA phải trả giá là tăng độ phức tạp thuật toán theo hàm .
- Xây dựng và đề xuất đƣợc phƣơng pháp giải mã mới cho mã tích. Thuật tốn DCAPC đề xuất yêu cầu tỉ số tín hiệu trên tạp chỉ khoảng 5 dB để đảm bảo tỉ lệ lỗi bit không vƣợt quá khi sử dụng Hamming (63,57) làm mã thành phần. Đƣa ra giải pháp cải tiến cho DCAPC với độ phức tạp tăng thêm không đáng kể và chất lƣợng giải mã tăng đến 1,15 dB tại tỉ lệ lỗi bit
(nếu sử dụng các mã thành phần là mã Hamming (7,4)).
Từ việc đánh giá về độ phức tạp và kết quả mô phỏng chất lƣợng giải mã cho mã tích, thấy r ng, mã tích với các mã thành phần là các mã khối tốc độ cao, sử dụng thuật toán đƣợc đề xuất, là những ứng viên rất tốt và có thể trở thành giải pháp thay thế mang tính thực tiễn cao.
91
Hướng nghiên cứu tương lai
Luận án đã xây dựng phƣơng pháp giải mã mới có chất lƣợng kiểm sốt lỗi cao với độ phức tạp chấp nhận đƣợc cho mã tích, đó là đƣa thuật tốn mã đối ngẫu vào giải mã cho các mã hàng và cột cùng các đề xuất cải tiến. Để ứng dụng trong các hệ thống truyền dẫn vô tuyến, các mạng cảm biến vơ tuyến,…có thể xem xét tới việc đánh giá khả năng giải mã tại các giá trị xác xuất lỗi thấp hơn nữa nh m tìm sàn lỗi hay giới hạn kiểm soát lỗi của thuật toán.
Khảo sát thuật tốn mới với các mã khối Hamming có chiều dài lớn hơn hay các mã BCH tốc độ mã hóa cao nh m khai thác tối đa ƣu điểm của các mã khối mật độ cao trong vai trò là mã thành phần cho mã tích. Mơ phỏng đánh giá trên các kênh khác kênh Gauss nhƣ kênh fading là một trong các hƣớng phát triển tiếp theo của Luận án.
92
DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ
1. Nguyễn Thị Hồng Nhung, Phạm Xuân Nghĩa, Vũ Thị Thắng, Lê Tiến Cƣờng, “Giải mã mềm mã Hamming dựa trên các mã đối ngẫu,” Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Quân s , số 46, trang 27-35, tháng
12- 2016.
2. Nguyễn Thị Hồng Nhung, Phạm Khắc Hoan, Phạm Xuân Nghĩa, “Thuật toán giải mã khối mật độ cao sử dụng mã đối ngẫu,” Kỷ yếu hội thảo quốc
gia 2017 về điện tử, truyền thông và công nghệ thông tin (REV - ECIT 2017), trang 192-194, tháng 12- 2017.
3. Nguyen Thi Hong Nhung, Pham Khac Hoan, Pham Xuan Nghia, Bui Huy Hai, “Dual Codes decoding Algorithm for high density parity check codes,” Asian Academic Research Journal of Multidisciplinary, vol. 5, pp. 114-124, May 2018.
4. Nguyen Thi Hong Nhung, Pham Khac Hoan, Nguyen Trung Thanh, “The Soft-decision decoding algorithm for Hamming code using zeros codeword of dual code,” 2018 IEEE Seventh International Conference on
Communications and Electronics, July 2018.
5. Phạm Xuân Nghĩa, Nguyễn Thị Hồng Nhung, “Giải mã tích b ng giải mã quyết định mềm dùng mã đối ngẫu đảm bảo tính khả dụng,” Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Quân s , số 57, trang 11-17, tháng
93
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
[1] Nguyễn Bình (2013), Lý thuyết thơng tin, Học viện Cơng nghệ Bƣu chính Viễn thơng.
[2] Nguyễn Tùng Hƣng 2005 , “Nghiên cứu mã Turbo v mã SCCC”, Luận án tiến sĩ, Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội.
[3] Nguyễn Thúy Vân (2006), “Lý thuyết mã”, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật.
Tiếng anh
[4] L. Ahlin and J. Zander (1998), Principles of Radio Communications,
Studentlitteratur, second edition edition.
[5] O. Al-Askary (2003), Iterative decoding of product codes, PhD
Dissertation, Royal Institute of Technology.
[6] A. Al-Dweik, H. Mukhtar, E. Alsusa and J. Dias 2018 , “Ultra-Light Decoder for Turbo Product Codes,” IEEE Communications Letters, vol. 22, pp. 446-449.
[7] L. R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek and J. Raviv 1974 , “Optimal decoding of linear codes for minimizing symbol error rate,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 20, pp. 284-287.
[8] M. Baldi, G. Cancellieri and F. Chiaraluce 2012 , “Interleaved Product LDPC Codes,” IEEE Transactions on Communications, vol. 60, pp. 895-901
[9] J. R. Barry, E. A. Lee and D. G. Messerschmitt (2003), Digital communication, Springer Science+Business Media, llc, 3rd edition.
[10] G. Battail, M. C. Decouvelaere and P. Godlewski 1979 , “Replication decoding,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 25, pp. 332-335. [11] C. Berrou, A. Glavieux and P. Thitimajshima May 1993 , “Near shannon limit errorcorrecting coding and decoding: Turbo-codes,” In
94
Pro ings of ICC’93 - IEEE International Conference on Communications, pp. 1064-1070.
[12] C. Berrou and A. Glavieux (Oct. 1996 , “Near optimum error correcting coding and decoding: Turbo codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 44, pp. 1261-1271.
[13] M. Blaum and S. R. Hetzler 2018 , “Extended Product and Integrated Interleaved Codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 64,
pp. 1497-1513.
[14] Budapest June 1991 , “On suvivor error patterns for maximum likelihood soft decoding,” in Proc. IEEE Int. Symp. on Information Theory, pp. 192.
[15] D. Chase 1972 , “A class of algorithms for decoding block codes with channel measurement information,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 18, pp. 170-182.
[16] G. Cohen, M. Karpovsky, H. Mattson Jr. and J. Schatz 1985 , “Covering radius- survey and recent results,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 31, pp. 328-343.
[17] M. C. Davey and D. J. C. Mackay 1998 , “Low - Density Parity Check Codes over GF q ,” IEEE Comm. Letters, vol. 2, pp. 165-167.
[18] I. Dimnik and Y. Be’ery 2009 , “Improved Random Redundant Iterative HDPC Decoding,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 57, pp 1-6.
[19] P. Elias 1954 , “Error-free coding,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 4, pp. 29-37.
[20] T. Ericson (September 1986), A simple ananlysis of the blokh-zyablov decoding algorithm, Proceedings of the AAECC-4, Karlsruhe, Printed in
95
[21] G. D. Forney 1966 , “Generalized Minimum Distance Decoding,”
IEEE Transactions on Information Theory, vol. 12, pp. 125-131.
[22] G. D. Forney Mar 1973 , “The viterbi algorithm,” IEEE Transactions on
Information Theory, vol. 61, pp. 268-278.
[23] G. D. Forney 1988 , “Coset codes II: Binary lattices and related codes,”
IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 34, pp. 1152-1187.
[24] G. D. Forney (1996), Concatenated Codes, The M.I.T. press, Cambridge Massachusetts.
[25] G. D. Forney (Oct 1996), The forward-backward algorithm, In Thirty-
Fourth Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing Univ. Illinois, pp. 432-446.
[26] M. P. C. Fossorier, M. Mihaljevic and H. Imai (1999), “Reduced complexity iterative decoding of low density parity check codes based on belief propagation,” IEEE Trans. Commun., vol. 47, no. 5, pp. 673-680. [27] R. G. Gallager (Jan. 1962), “Low density parity check codes,” IRE
Trans. on Information Theory, IT-8, pp. 21-28.
[28] R. G. Gallager (1963), Low Density Parity Check Codes, Cambridge,
MA: MIT.
[29] H. Greenberger July and August 1978 , “An iterative algorithm for decoding block codes transmitted over a memoryless channel,” DSN progress report, pp. 42-47.
[30] J. Hagenauer, E. Offer and L. Papke 1996 , “Iterative decoding of binary block and convolutional codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 42, pp. 429-445.
[31] T. R. Halford, K. M. Chugg and A. J. Grant 2006 , “Which Codes Have 4-Cycle-Free Tanner Graphs,” IEEE Trans. Inform. Theory, no. 3, pp.
96
[32] R. W. Hamming (1950), Error detecting and error correcting codes, Bell System Tech. J., pp. 147-160.
[33] Y. S. Han, C. R. P. Hartmann and C. C. Chen 1991 , “Efcient Maximum-Likelihood Soft-Decision Decoding of Linear Block Codes Using Algorithm A,” Electrical Engineering and Computer Science Technical Reports, pp. 134.
[34] Y. S. Han, C. R. P. Hartmann and C. C. Chen 1993 , “Efficient priority - first research maximum-likelihood soft-decision decoding of linear block codes, ” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 39, pp.1514-1523.
[35] Y. S. Han, H. T. Pai, R. Zheng, P. K. Varshney 2015 , “Update- Efficient Error-Correcting Product-Matrix Codes”, IEEE Transactions on Communications, vol. 63, pp. 1925-1938.
[36] C. R. P. Hartmann and L. D . Rudolph Sept. 1976 , “An optimum symbol-by-symbol decoding rule for linear codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 22, pp. 514-517.
[37] F. Hemmati 1989 , “Closet coset decoding of uuv codes,” IEEE J.
Selected Areas Commun, vol. 7, pp. 982-988.
[38] W. W. Hines and D. C. Montgomery (1980), Probability and Statistics in Engineering and Management, John Wiley and Sons Inc., 2 edition.
[39] Y. Hu, J. P. Fonseka, Y. Bo, E. M. Dowling and M. Torlak (2017), “Constrained Turbo Product and Block-Convolutional Codes in Wireless Applications,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 66, pp. 449-4495.
[40] T. D. H. Huang, C. Y. Chang, Y. X. Zheng and Y. T. Su (2007), “Product Codes and Parallel Concatenated Product Codes,” IEEE Wireless Communications and Networking Conference, pp. 94-99.
97
[41] Nguyen Tung Hung (Jannuary- June 2013 , “A new decoding algorithm based on equivalent parity check matrix for LDPC codes,” REV Journall
on Electronics and Communications, vol. 3, No. 1-2, pp. 73-76.
[42] C. Jego and W. J. Gross 2009 , “Turbo decoding of product codes using adaptive belief propagation,” IEEE Transactions on Communications, vol. 57, pp. 2864-2867
[43] S. Jeong and J. Lee 2017 , “Iterative Channel Detection With LDPC Product Code for Bit-Patterned Media Recording,” IEEE Transactions on Magnetics, vol. 53, Article Sequence Number: 8205204.
[44] P. K. Jha 2015 , “1-Perfect Codes Over Dual-Cubes vis-à-vis Hamming Codes Over Hypercubes,” IEEE Transactions on Information Theory,
vol. 61, pp. 4259- 4268
[45] J. Jiang and K. R. Narayanan 2005 , “Iterative soft decision decoding of ReedSolomon codes based on adaptive parity check matrices," IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 52, no. 8, pp. 3746-3756.
[46] R. Johannesson and K. Sh. Zigangirov 1999 , “Fundamentals of convolutional coding,” IEEE Press series on mobile & digital
communication, New York: IEEE Press.
[47] T. Kasami, T. Takata, T. Fujiwara and S. Lin 1993 , “On complexity of Trellis structure of linear block codes,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 39, pp. 1057-1064.
[48] J. Knudsen, C. Riera, L. Danielsen, M. Parker and E. Rosnes (2012), “Random edge-local complementation with applications to iterative decoding of high-density parity-check codes,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 60, pp. 2796-2808.
98
[49] A. Lafourcade and A. Vardy (Mar. 1995 , “A symptotically good codes have infinite Trellis complexity,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 41,
pp. 555-559.
[50] H. Y. Liang, Y. C. Jhan, M. C. Wu and C. H. Cheng 2016 , “Combining the product code technique and constellation extension scheme to reduce the PAPR of SC-FDMA systems,” 2016 International Conference on Electronics, Information and Communications (ICEIC), pp. 1-4.
[51] J. H. Lim, J. H. Lee, M. S. Shin, G. Han Cho and Y. J. Song (2015), “Low-Complexity and High Performance SISO Decoding for Block Product Turbo Code (105, 44),” 2015 8th International Conference on