6. Kết cấu đề tài
1.1 Tổng quan về Lý thuyết xếp hàng
1.1.2.9 Các số đo hiệu năng
Đối với Lý thuyết xếp hàng ta quan tâm đến các số đo hiệu năng, đó là các giá trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm:
Tỉ lệ tới trung bình (λ) : chỉ ra số “kì vọng các khách hàng tới theo đơn vị
thời gian”. Thời gian tới trung bình có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau:
Thời gian tới trung bình = 1/Tỷ lệ tới trung bình = 1/λ
Chẳng hạn nếu có 4 lần tới được trơng đợi trong 1 phút, thì: - Tỉ lệ tới trung bình (λ) = 4 lần khách hàng tới trong 1 phút
- Thời gian tới trung bình = ¼ phút cho mỗi lần khách hàng tới = 15 giây. Như vậy về trung bình khách hàng tới cứ sau mỗi 15 giây.
Tỉ lệ phục vụ trung bình (µ) : là “số lượng trơng đợi các khách hàng được
hoàn thành phục vụ theo đơn vị thời gian”.
Thời gian phục vụ trung bình = 1/Tỉ lệ phục vụ trung bình = 1/µ
Chẳng hạn, nếu dịch vụ cho 5 khách hàng có thể được hồn tất trong mỗi phút:
- Tỉ lệ phục vụ trung bình (λ) = 5 khách hàng một phút
- Thời gian phục vụ trung bình = 1/5 phút cho mỗi khách hàng = 12 giây cho mỗi khách hàng.
Tức là về trung bình phải mất 12 giây mới phục vụ được một khách hàng. 29
Nếu µ>λ hay 1/µ < 1/λ là đúng trong hệ thống xếp hàng, thì hệ thống này được gọi là trong “điều kiện trạng thái vững vàng”.
Cườngnguồn phục vụ riêng lẻ bận rộn”, được ký hiệu bởi “ρ" (rho). độ lưu thông (�): Biểu diễn cho “Phân số trơng đợi về thời gian các
� = λ/µ = 1/µ/1/λ
� = Thời gian phục vụ trung bình/Thời gian khoảng tới trung bình < 1
Chẳng hạn, nếu có 4 khoảng tới khách hàng trơng đợi trong mỗi phút, và việc phục vụ cho 5 khách hàng có thể được hồn thành trong một phút
4
ρ = = 0,8 => 80% 5
Điều này có nghĩa là từng nguồn phục vụ đều bận hết 80% thời gian.
Cường độ lưu thông nên nhỏ hơn 100% bởi vì khi nó bằng hay lớn hơn 100% thì bao giờ cũng có khách hàng chờ đợi trong hàng đợi. Do đó, trong trường hợp như vậy, những biện pháp nào đó (như phân bổ thêm nguồn phục vụ) nên được tính tới để làm cho nó nhỏ hơn 100%.
Độ dài hàng đợi trung bình (Lq) : đó là kỳ vọng của chuỗi thời gian liên tục
{lq (t)}t ≥ 0 trong đó lq (t) là số khách hàng đợi trong hàng tại thời điểm t.
Độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống (L) : đó là kỳ vọng của chuỗi thời
gian liên tục {l(t)} t ≥ 0 trong đó l(t) là số khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t. Vậy l(t) = lq (t) + Số khách hàng đang được phục vụ.
Thời gian đợi trung bình của hàng (Wq) : là kỳ vọng của quá trình thời
gian rời rạc {qn;n=1,2,...} trong đó qn là khoảng thời gian mà khách hàng thứ n phải đợi trong hàng cho đến lúc anh ta được nhận phục vụ.
Thời gian đợi trung bình của hệ thống (W) : là kỳ vọng của quá trình thời
gian rời rạc {wn;n = 1, 2,...} trong đó wn = qn + sn là thời gian khách hàng thứ n ở trong hệ thống, đó là thời gian đợi trong hàng và thời gian được phục vụ.
Công thức liên hệ giữa độ dài hàng đợi và thời gian đợi ở trạng thái cân bằng
L= λW
Lq= λWq 1.1.3 Các mơ hình xếp hàng:
1.1.3.1 Mơ hình M/M/1: Hoạt động dịch vụ chỉ có một kênh, một pha, dòng vào tuân theo quy luật Poisson và thời gian dịch vụ tuân theo luật phân bố xác suất giảm dần.
a. Điều kiện áp dụng :
Đây là mơ hình xếp hàng đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất. Mơ hình này dựa trên các giả thiết sau:
- Khách hàng được phục vụ theo trật tự FIFO.
- Tất cả các khách hàng đều chờ cho đến khi mình được phục vụ, khơng bỏ đi ngay hoặc bỏ đi nửa chừng.
- Khách hàng không phụ thuộc lẫn nhau. Số lượng khách hàng đến (tức chỉ số dịng vào λ) khơng thay đổi theo thời gian.
- Dịng vào là dịng vơ hạn tuân theo luật Poisson.
- Thời gian phục vụ từng khách hàng có thể khác nhau, nhưng năng suất dịch vụ trung bình µ là một số đã biết trước.
- Thời gian dịch vụ tuân theo luật phân bố xác suất giảm dần. - Năng suất phục vụ trung bình lớn hơn chỉ số dịng vào (µ> λ).
b. Các công thức sử dụng :
Gọi λ là số lượng trung bình khách hàng đến trong một đơn vị thời gian. µ là số lượng trung bình khách hàng phục vụ được (năng suất dịch vụ trung bình).
- Số lượng khách hàng trung bình nằm trong hệ thống (Ls), gồm cả số đang xếp hàng và số đang được phục vụ:
λ
Ls =
μ−λ
- Thời gian trung bình một khách hàng phải trải qua trong hệ thống (Ws), gồm cả thời gian xếp hàng và thời gian được phục vụ:
1
Ws =
- Số lượng trung bình khách hàng xếp trong hàng (Lq), bằng số đối tượng bình quân trong hệ thống trừ đi số đối tượng bình quân đang được phục vụ
λ2
Lq =
µ(µ−λ)
- Thời gian chờ đợi trung bình của một khách hàng xếp trong hàng (Wq)
λ
Wq =
µ(µ−λ)
- Tỷ lệ hoạt động có ích của hệ thống, hay xác suất để cho hoạt động dịch vụ đang bận việc (ρ)
λ ρ =
µ
- Tỷ lệ thời gian rỗi của hệ thống, hay xác suất khơng có một khách hàng nào trong hệ thống (Po)
Po = 1- ρ = 1- λ⁄µ
1.1.3.2Mơ hình M/M/k: Hoạt động dịch vụ có nhiều kênh, một pha, dịng vào Poisson, thời gian dịch vụ phân bố giảm dần.
a. Điều kiện áp dụng :
Ngồi các điều kiện như mơ hình M/M/1, ta giả sử năng suất ở các kênh là giống nhau và bằng µ.
Gọi M là số kênh được mở. Điều kiện M.µ > �
b. Các cơng thức sử dụng :
Với các ký hiệu đã nêu trên chúng ta có thể tính được một số chỉ tiêu theo các công thức sau:
- Tỷ lệ hoạt động có ích của hệ thống (xác suất để hệ thống bận việc), hay hệ số sử dụng (ρ)
λ ρ =
M. µ
- Xác suất để hệ thống không hoạt động, hay xác suất để khơng có khách hàng trong hệ thống (Po)
Po= n 1 M Điều kiện Mµ > � �∑M−1 1 �λ� �+ 1 �λ� Mµ n=0 n! µ M! µ Mµ−λ
- Số lượng khách hàng trung bình trong hệ thống (Ls)
M
λµ�λ�µ� λ
Ls =
(M−1)!(Mµ−λ)2 Po +
µ
- Thời gian trung bình của một người/đơn vị trong hệ thống (bao gồm cả thời gian trong hàng chờ và thời gian phục vụ)
M µ�λ�µ� 1 Ls Ws = (M−1)!(Mµ−λ)2 Po + µ R= λ
- Số lượng khách trung bình xếp trong hàng chờ (Lq)
λ
Lq = Ls - µ
- Thời gian trung bình một khách hàng xếp trong hàng chờ để được phục vụ (Wq)
1 Lq
Wq = Ws -
µ =
λ
1.1.3.3Mơ hình M/M/k/N: Hoạt động dịch vụ có một kênh, một pha, thời
gian dịch vụ là một hằng số.
Đây là hàng có q trình đến Poisson với tốc độ λ, thời gian phục vụ có phân bố mũ tốc độ µ với k hệ phục vụ. Trạng thái của hệ thống không bị giới hạn bởi số lượng N. Khi một khách hàng đến hệ thống thì xảy ra hiện tượng sau: Nếu đã có đủ N khách hàng trong hàng thì lập tức khách hàng này rời khỏi hệ thống cịn trường hợp ngược lại thì khách hàng sẽ xếp hàng chờ.
Các công th ứ c s ử d ụ ng :
- Số lượng khách trung bình xếp trong hàng chờ (Lq)
λ2
Lq =
2µ(µ−λ)
- Thời gian trung bình một khách hàng xếp trong hàng chờ để được phục vụ (Wq)
λ
Wq =
2µ (µ−λ)
- Số lượng khách trung bình trong hệ thống (Ls) Ls = Lq + λ⁄µ
- Thời gian trung bình một khách hàng nằm trong hệ thống (Ws) Ws = Wq + 1/µ
1.1.3.4Mơ hình G/G/1: Mơ hình hàng có chiều dài hạn chế, hay hàng chờ hữu hạn (vẫn mơ hình 1 kênh, 1 pha).
Trong thực tế chiều dài của hàng có thể bị giới hạn bởi lý do nào đó. Ví dụ: phạm vi để xếp hàng khơng cho phép (như nhà hàng chỉ có 100 ghế), hoặc người xếp hàng thiếu kiên nhẫn bỏ đi nếu hàng dài quá mức giới hạn nào đó. Trong trường hợp này, ta cần xem xét một mơ hình xếp hàng khác gọi là mơ hình lượng khách hàng hữu hạn. Lý do mơ hình này khác 3 mơ hình xếp hàng trước đây là bây giờ có mối quan hệ phụ thuộc giữa chiều dài của dòng chờ và tỷ lệ khách đến. Một cách tổng qt khi dịng chờ trở nên dài hơn thì tỷ lệ khách đến sẽ giảm xuống thấp hơn.
a. Điề u ki ệ n s ử d ụ ng :
- Chỉ có một kênh phục vụ - Lượng khách đến hữu hạn
- Lượng khách đến tuân theo quy luật phân phối Poisson và thời gian phục vụ tuân theo hàm mũ
- Khách hàng được phục vụ theo nguyên tắc FIFO
b. Các công th ứ c s ử d ụ ng :
Ngồi các ký hiệu λ, µ, ρ đã nêu ở phần trước, ta gọi n là số đối tượng tối đa cho phép tham gia hệ thống. Lúc đó:
- Xác suất để hệ thống khơng hoạt động, hay xác suất để khơng có khách hàng trong hệ thống (P0):
1−ρ
P0 =
- Xác suất để hệ thống đầy (Pn)
n
Pn = P0 .ρP
- Số khách hàng bỏ đi không xếp hàng trong một đơn vị thời gian = Pn .λ Hệ thống có một kênh phục vụ, q trình đến là tổng quát nhưng các thời gian đến trung gian tn độc lập, có cùng phân bố và có kỳ vọng chung là E[t1]. Thời gian phục vụ trong mỗi chu kỳ cũng độc lập, cùng phân bố và có kỳ vọng chung E[s1]. Kendall ký hiệu hệ thống này là G/G/1 (cũng có khi ký hiệu GI/GI/1, ở đây I thay cho Independence nghĩa độc lập).
Trên đây chỉ là một số mơ hình đơn giản. Trong thực tế thường gặp phải những trường hợp phức tạp hơn, chẳng hạn, các đại lượng đề cập ở trên tuân theo một phân phối xác suất bất kì. Vì vậy nhiều trường hợp bài tốn xếp hàng khơng có lời giải. Do đó mà đơi khi người ta sử dụng kỹ thuật mô phỏng để giải các bài toán xếp hàng phức tạp cũng như nhiều loại bài toán khác.
1.1.4 Một số điểm hạn chế của các mơ hình hàng chờ:
Các mơ hình hàng chờ giới thiệu ở trên là những mơ hình tiện lợi nhất được áp dụng khá rộng rãi. Tuy nhiên do các mơ hình này cơng nhận các giả thiết “quá chặt chẽ”, ít xảy ra trong thực tế, nên các chuyên gia trong lĩnh vực toán ứng dụng/Vận trù học, Khoa học quản lý cũng đã đề xuất xem xét nhiều mơ hình khác. Đó là các mơ hình với các giả thiết như: số xe hàng đến giao hàng là vơ hạn, dịng xe đến không tuân theo phân phối Poisson, cường độ phục vụ phụ thuộc vào số lượng xe trong hàng chờ… và việc giải quyết những mơ hình như vậy cần tới sự trợ giúp của phương pháp mô phỏng ngẫu nhiên.
Ngay cả khi các giả thiết khá chặt chẽ của 4 mơ hình đã nêu trong mục này (cũng như một số mơ hình tương tự khác) là hợp lí, thì việc các mơ hình hàng chờ đưa ra các lời giải với trạng thái vững cũng ít có ý nghĩa thực tế. Trong nhiều ứng dụng thực tiễn, các hệ thống hàng chờ không bao giờ đạt tới trạng thái vững. Chẳng hạn, trong một hệ thống hàng chờ, số lượng xe trung bình đến giao hàng trong ngày thay đổi liên tục trong ngày, không cho phép hệ thống đạt trạng thái vững.
Do đó để giải quyết nhiều bài toán hàng chờ trong lĩnh vực dịch vụ đám đông và các lĩnh vực khác, cần áp dụng phương pháp mơ phỏng để tìm ra các lời giải có tính thực tiễn cho các mơ hình hàng chờ khi hệ thống khơng thể đạt tới trạng thái vững hoặc khi khơng có các mơ hình lý thuyết thích hợp.
1.1.5 Các phương pháp giải bài tốn mơ hình hàng chờ:
Để tìm lời giải cho một mô hình hàng chờ người ta thường sử dụng hai phương pháp: phương pháp giải tích và phương pháp mơ phỏng trên máy tính. Trong đó phương pháp giải tích là phương pháp cơ bản và được sử dụng khá phổ biến.
1.1.5.1 Phương pháp giải tích:
Phương pháp giải tích để giải mơ hình hàng chờ gồm các bước sau:
- Bước 1 : Phân tích hệ thống, chủ yếu là phân tích bản chất của dịng u cầu /
tín hiệu đến và các trạng thái của hệ thống.
- Bước 2 : Thiết lập hệ phương trình trạng thái cho các xác suất trạng thái (xác
suất để hệ thống ở một trạng thái nào đó tại thời điểm t).
- Bước 3 : Giải hệ phương trình để tìm các xác suất trạng thái. Từ đó thiết lập
các mối quan hệ giữa các chỉ tiêu cần phân tích.
- Bước 4 : Tính tốn, phân tích các chỉ tiêu, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét
và các quyết định.
Phương pháp giải tích thường sử dụng các giả thiết rất chặt chẽ của toán học về các đặc trưng của hệ thống, vì vậy nó có một số hạn chế nhất định khi giải các bài toán thực tế.
1.1.5.2 Phương pháp mơ phỏng:
Trong khi đó, phương pháp mơ phỏng/mơ phỏng ngẫu nhiên để giải mơ hình hàng chờ được áp dụng cho các bài tốn dịch vụ đám đơng khơng giải được bằng cơng cụ giải tích, nhất là những bài toán liên quan đến hệ thống lớn, bất ổn định, hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên, không tuân theo các giả thiết quá chặt chẽ của toán học. Trong nhiều trường hợp phương pháp mô phỏng cho ta tiết kiệm được thời gian và chi phí nghiên cứu. Tuy nhiên phương pháp mô phỏng chỉ tạo ra
các phương án đủ tốt để đánh giá hoạt động của hệ thống chứ không đưa ra được kỹ thuật tìm lời giải tốt nhất, nó tỏ ra rất thành cơng khi giải quyết nhiều bài toán hàng chờ nảy sinh từ thực tiễn.
Bản chất của phương pháp mơ phỏng là xây dựng một mơ hình số tức là mơ hình được thể hiện bằng các chương trình máy tính. Ta mơ hình hóa bản thân hệ thống S với các mối quan hệ nội tại đồng thời mơ hình hóa cả mơi trường E xung quanh, nơi hệ thống S làm việc với các quan hệ tác động qua lại giữa S và E. Khi có mơ hình số người ta tiến hành các “thực nghiệm” trên mơ hình. Các “thực nghiệm” đó được lặp đi lặp lại nhiều lần và kết quả được đánh giá sao cho phù hợp nhất với thực tế mơi trường. Kết quả càng chính xác nếu số lần thực nghiệm càng lớn.
Các bước cần tiến hành khi áp dụng phương pháp mô phỏng bao gồm:
- Bước 1 : Xác định bài tốn hay hệ thống hàng chờ cần mơ phỏng và mơ hình
mơ phỏng.
- Bước 2 : Đo và thu thập số liệu cần thiết để khảo sát thống kê các số liệu
đặc trưng/các yếu tố cơ bản của mơ hình.
- Bước 3 : Chạy mô phỏng kiểm chứng (test simulation) mơ hình và so sánh
kết quả kiểm chứng với các kết quả đã biết được trong thực tế. Phân tích kết quả chạy mơ phỏng kiểm chứng, nếu cần thì phải sửa lại phương án đã được đánh giá qua chạy mô phỏng.
- Bước 4 : Chạy mô phỏng để kiểm chứng phương án cuối cùng và kiểm tra
tính đúng đắn của mọi kết luận về hệ thống thực tế được rút ra sau khi chạy mô phỏng. Triển khai hoạt động của hệ thống hàng chờ dựa trên phương án tìm được.
1.1.6 Kết quả phân tích hàng chờ:- Về phía khách hàng: - Về phía khách hàng:
o Thời gian xếp hàng (trễ hàng đợi)
o Tổng trễ (bao gồm trễ hàng đợi và trễ phục vụ) o Số lượng khách hàng trong hàng đợi
o Số lượng khách hàng trong hệ thống (gồm khách hàng chờ và khách hàng đang được phục vụ)
o Xác suất chờ để được phục vụ
- Về phía hệ phục vụ: