2.2. Biện pháp dạy học “Hàm số” theo hướng phát triển năng lực GQVĐ và sáng tạo cho học
2.2.3. Biện pháp 3 Tập luyện cho HS các HĐ tư duy ST trong quá trình phát hiện và GQVĐ
phát hiện và GQVĐ vận dụng hàm số vào giải quyết những bài tốn có nội dung thực tiễn
2.2.3.1. Cơ sở và ý nghĩa của biện pháp
Sự ST được xem là một trong những phẩm chất của tư duy và hành động của con người. Mặt khác, tư duy chỉ nảy sinh khi con người gặp tình huống có vấn đề cần giải quyết. Tư duy quyết định hành động và biểu hiện thông qua HĐ của con người. Trong học Tốn, HS hình thành phát triển TDST và NL ST
thông qua các HĐ tiếp cận, hình thành và vận dụng khái niệm; tính chất, định lý; quy tắc, phương pháp; giải bài toán; thể hiện ở chỗ trong các HĐ đó có các yếu tố ST “tính mềm dẻo; tính thuần thục; tính độc đáo; tính hồn thiện; tính nhạy cảm vấn đề”. Trong đó, có thể thấy nổi bật 3 thuộc tính ST là mềm dẻo, thuần thục và độc đáo. Biểu hiện cụ thể trong quá trình học, vận dụng hàm số như sau:
Tính mềm dẻo thể hiện ở những HĐ học, vận dụng hàm số:
HS biết chuyển đổi linh hoạt giữa các dạng biểu diễn đối với cùng một hàm số; trước tình huống có nhiều hơn 2 đại lượng phụ thuộc vào nhau, các em biết nhìn nhận hàm số tuỳ theo lấy đại lượng nào làm biến số (chẳng hạn: Trong công thức vật lý S = vt, ta có thể lấy v, hoặc t làm biến số thì sẽ có những hàm số khác nhau, cịn nếu lấy cả hai đại lượng v và t làm biến số thì ta có hàm số 2 biến; ngược lại ta cũng có thể lấy S làm biến số, cịn v là hằng số thì t lại là hàm số của biến S).
Khi HS giải bài tập hoặc trả lời câu hỏi ... mà gặp khó khăn .. thì các em biết chuyển hướng suy nghĩ: tìm cách quy lạ về quen; phân chia bài tốn thành nhiều phần sau đó giải từng bài toán nhỏ (thay thế bài toán bằng bài toán đơn giản hơn để giải quyết); lật ngược vấn đề để tìm cách hạn chế bớt số lượng các trường hợp cần phải xem xét; ... Chẳng hạn: Khi giải PT chứa tham số m mà việc xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với tham số m quá phức tạp, khó khăn để “lọc ra” được những giá trị của m để PT có nghiệm ... thì các em chuyển hướng tư duy tìm con đường khác:
Xem PT từ góc nhìn “hàm số đối với ẩn m” dạng f(m,x), để tìm giá trị của m để hàm triệt tiêu ... từ đó dẫn đến bài tốn ngược: Tìm những giá trị của m để PT đã cho vơ nghiệm (khi đó số lượng giá trị của m cần tìm ít hơn nhiều so với tìm m để PT có nghiệm).
Tính thuần thục thể hiện ở những HĐ học, vận dụng hàm số:
HS tìm ra được nhiều cách cho - biểu diễn một hàm số; nhiều cách thiết lập một hàm số thì một mối quan hệ đã cho; biết xác định sự biến thiên của
hàm số mà không dùng bảng giá trị, không dùng định nghĩa mà bằng cách quan sát hướng đi lên, đi xuống của đồ thị; từ sự biến thiên của hàm số y = ax , HS biết suy luận rút ra chiều biến thiên của hàm số y = logax, ...
Tìm ra nhiều cách phát biểu một tính chất, khái niệm, quy tắc, phương pháp, lập bài toán tương tự, bài tốn tổng qt, ..., tìm ra nhiều cách chứng minh một định lý, nhiều cách giải đối với một bài tốn về hàm số ... Chẳng hạn:
Tính chất về điều kiện “cực trị của hàm số” có thể diễn đạt bằng cách tiếp cận từ đạo hàm bậc nhất, hoặc đạo hàm bậc 2 như sau:
- Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm f x'( ) 01 và '( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x1thì hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm x1.
- Hoặc: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm f x'( ) 01 và f x''( )1 âm thì hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm x1.
Tương tự như vậy đối với điều kiện đạt giá trị cực tiểu của một hàm số. Từ đó, HS biết vận dụng linh hoạt một trong hai điều kiện này để tìm cực trị của một hàm số cụ thể.
Tính độc đáo thể hiện ở những HĐ học, vận dụng hàm số:
Xuất phát từ một định lý “thuận”, chẳng hạn như: Nếu f x'( ) dương thì hàm số đồng biến ... các em biết đặt câu hỏi: Ngược lại thì sao? một hàm số đồng biến thì '( )f x có chắc chắn dương hay khơng? Hoặc từ sự biến thiên của hàm số mũ y a x, dựa vào phép tốn lơgarit là phép tốn ngoặc của phép mũ hóa, HS có thể nghĩ đến - dự đoán được chiều biến thiên của hàm số lôgarit ...
2.2.3.2. Nội dung và ví dụ minh họa biện pháp
a) Trong DH khái niệm:
- Thiết kế những tình huống gợi động cơ nhằm tạo ra/ kích thích nhu cầu nhận thức, khám phá khái niệm mới cho HS.
- Gợi mở cho HS phương pháp suy nghĩ linh hoạt ST khi các em quan sát, so sánh, rút ra nhận xét về những điểm chung trong số các đối tượng đã cho phát hiện được nhóm đối tượng có chung một số thuộc tính khái niệm mới
- Tạo thói quen phát hiện vấn đề trong quá trình phát hiện khái niệm, nhận diện và thể hiện khái niệm vừa học
- Kích thích trí tưởng tượng ST của HS trong việc phát hiện khái niệm, nhận diện và thể hiện khái niệm
- Rèn các thao tác tư duy và các kĩ năng suy luận trong quá trình học và vận dụng khái niệm
- Tạo tình huống để HS cần phải xem xét vấn đề đưa ra dưới nhiều góc độ.
Ví dụ 2.7: Chẳng hạn như GV đưa ra một loạt những đối tượng rất đa
dạng, phong phú đòi hỏi HS phải quan sát, so sánh từ nhiều góc độ mới tìm ra được những đối tượng có chung thuộc tính ... khi hình thành khái niệm “hàm số đồng biến”, “cực trị của hàm số”, “nguyên hàm”, “hàm số lũy thừa”, ...
GV thiết kế những tình huống (khác với SGK) để HS được tiếp xúc với những tình huống ở đó các em cần huy động nhiều loại kiến thức và kinh nghiệm cũ thì mới có thể nhận diện và thể hiện đúng khái niệm vừa học. GV đặt ra yêu cầu HS phát biểu, diễn đạt định nghĩa (hoặc mô tả) khái niệm bằng nhiều cách theo cách hiểu và ngôn ngữ của mình.
b) Trong DH tính chất, định lý:
- Thiết kế những tình huống gợi động cơ nhằm tạo ra/ kích thích nhu cầu dự đốn, khám phá quy luật tốn học (chính là tính chất, định lý mới) cho HS.
- Gợi mở cho HS phương pháp suy nghĩ linh hoạt ST khi các em quan sát, so sánh, rút ra nhận xét dự đoán về những quy luật chung trong những tình huống đã xét phát hiện và nêu ra được dự đoán về “một quy luật mới” ở những hiện tượng tình huống vừa phân tích tính chất, định lý mới
- Tạo thói quen phát hiện vấn đề trong q trình phát hiện tính chất, nhận diện và thể hiện định lý vừa học.
- Kích thích HS trí tưởng tượng ST (nhận ra sự có mặt của tính chất, định lý ở những tình huống đa dạng khác nhau) khi nhận diện và thể hiện định lý
- Rèn các thao tác tư duy và các kĩ năng suy luận trong quá trình so sánh, phân tích, dự đốn, tổng hợp rút ra quy luật mới chứng minh hoặc bác bỏ phát biểu định lý vận dụng.
- Tạo tình huống để HS cần phải xem xét tình huống (chứa đựng tính chất) đưa ra dưới nhiều góc độ.
Ví dụ 2.8: Chẳng hạn như GV đưa ra một loạt những tình huống - hiện
tượng rất đa dạng, phong phú đòi hỏi HS phải quan sát, so sánh từ nhiều góc độ mới phát hiện được quy luật “cứ ... thì sẽ ...” khi dự đốn tính chất mới “Nếu f x'( ) 0 (< 0) trên a b thì hàm số sẽ đồng biến (nghịch biến) trên ;
a b; ”, ...
GV thiết kế những tình huống (khác với SGK) để HS được tiếp xúc với những tình huống “nhận diện và thể hiện định lý” ở đó các em cần huy động nhiều loại kiến thức và kinh nghiệm cũ thì mới có thể vận dụng được định lý “Quan hệ giữa đạo hàm bậc hai với cực trị của hàm số”, ... GV đặt ra yêu cầu HS phát biểu, diễn đạt tính chất trong định lý bằng nhiều cách theo cách hiểu và ngơn ngữ của mình.
c) Trong DH quy tắc, phương pháp:
- Thiết kế những tình huống gợi động cơ nhằm tạo ra/ kích thích nhu cầu ở HS nhằm dự đoán, khám phá quy tắc, phương pháp toán học mới để GQVĐ.
- Gợi mở cho HS phương pháp suy nghĩ linh hoạt ST khi các em quan sát, so sánh, rút ra nhận xét dự đoán về những bước cần thực hiện giải quyết
... trong những tình huống đã xét phát hiện, rút ra, nêu được quy trình, cách thức thực hiện mới để GQVĐ đặt ra.
- Tạo thói quen phát hiện vấn đề trong q trình vận dụng (nhận diện và thể hiện) quy tắc, phương pháp tốn học vừa học
- Kích thích HS trí tưởng tượng ST (nhận ra sự có mặt của quy tắc, phương pháp tốn học đã học ở những tình huống đa dạng khác nhau) khi vận dụng quy tắc, phương pháp toán học.
- Rèn các thao tác tư duy và các kĩ năng suy luận trong q trình so sánh, phân tích, dự đốn, tổng hợp rút ra cách thức giải quyết mới phát biểu quy tắc PP vận dụng
- Tạo tình huống để HS cần phải xem xét tình huống (chứa đựng khả năng vận dụng quy tắc, phương pháp toán học) đưa ra dưới nhiều góc độ.
Ví dụ 2.9: Chẳng hạn như GV đưa ra một loạt những tình huống - hiện
tượng rất đa dạng, phong phú đòi hỏi HS phải quan sát, so sánh từ nhiều góc độ mới phát hiện được quy trình các bước cần thực hiện để “Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số bằng đạo hàm bậc nhất”; “Tìm GTLN, nhỏ nhất của hàm số trên [a;b]”.
GV thiết kế những tình huống (khác với SGK) để HS được tiếp xúc với những tình huống vận dụng “nhận diện và thể hiện quy tắc - phương pháp” ở đó các em cần huy động nhiều loại kiến thức và kinh nghiệm cũ thì mới có thể sử dụng và trình bày đúng đắn các bước thực hiện quy tắc, phương pháp. GV đặt ra yêu cầu HS phát biểu, diễn đạt quy tắc, phương pháp bằng nhiều cách theo cách hiểu và ngơn ngữ của mình.
d) Trong DH giải bài tập:
Để giải bài tốn - có thể coi là tình huống vận dụng tổng hợp trong học Toán, HS cần huy động tối đa các HĐ tư duy - “động não” để tích cực, linh hoạt, ST tìm ra câu trả lời, cách thức giải quyết, cũng như nhìn nhận đánh giá quá trình tư duy và GQVĐ của mình.
Việc phát triển NL ST cho HS theo 4 bước giải toán của G.Polya như sau: DH giải bài tập mơn Tốn thường được thực hiện theo quy trình của G.Polya, trong đó cơ hội phát triển NL GQVĐ và ST thể hiện ở từng bước trong quy trình như sau:
Ở bước 1 - Tìm hiểu nội dung đề bài:
- Xác định các đối tượng và quan hệ giữa các đối tượng được cho trong đề bài;
- Tiếp cận xem xét nhìn nhận bài tốn, phân tích, sơ đồ hóa và diễn đạt bài tốn theo những hướng, hình thức biểu đạt khác nhau.
Ở bước 2 - Tìm kiếm con đường - chiến lược giải - lập kế hoạch:
- Thiết kế những tình huống gợi động cơ nhằm tạo ra/ kích thích nhu cầu ở HS tìm mọi cách khám phá phát hiện đường lối giải bài toán.
- Gợi ý hướng dẫn HS biết phân tích u cầu, đối tượng của bài tốn thành những đối tượng, vấn đề nhỏ hơn, đưa về dạng toán quen thuộc để giải quyết;
- Rèn các thao tác tư duy và các kĩ năng suy luận trong quá trình so sánh, phân tích, dự đốn, tổng hợp tìm ra hướng giải bài tốn. Tập luyện thói quen phân tích đi lên - đi xuống hoặc cả hai để tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận trong đó cần đến nhiều suy nghĩ, tư duy một cách ST: giả thiết liên quan gì đến kết luận của bài tốn; từ đó tìm ra con đường kết nối giữa giả thiết - kết luận. Thông thường sử dụng suy luận theo kiểu “phân tích đi lên: Suy luận ngược đi từ kết luận tìm dần đến giả thiết” để tìm con đường “bắc cầu nối” giữa giả thiết và kết luận.
- Điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại (không áp dụng một cách máy móc những tri thức, kinh nghiệm đã có vào trong những hồn cảnh có những yếu tố đã thay đổi); cần đến linh hoạt, nhuần nhuyễn, đôi khi cần đến tính độc đáo
- Phát hiện ra các mối liên hệ trong những sự kiện bên ngồi tưởng như khơng có quan hệ với nhau hoặc giải thích được vấn đề mới dựa trên kiến thức của bài học.
- Gợi mở cho HS phương pháp suy nghĩ linh hoạt ST (thử và sai; tư duy ngược; nghi ngờ có sai lầm, ...) khi các em tìm ra con đường giải bài tốn; khi thực hiện trình bày lời giải; khi nhìn nhận đánh giá lại quá trình giải ... Ở bước 3 - Trình bày lời giải bài tốn:
Dựa vào kết quả phân tích, kế hoạch giải bài tốn ở bước 2, lần lượt thực hiện giải bài toán theo thứ tự các bước theo kế hoạch đã vạch ra ở bước 2; đảm bảo trình bày lời giải đúng đắn, lập luận chặt chẽ, ngắn gọn. Khi đó có thể tập luyện cho HS:
- Lập được kế hoạch, dàn ý, chương trình thực hiện theo những hướng giải khác nhau (Khơng bằng lịng một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất, ln tìm tịi và đề xuất nhiều cách giải khác nhau).
- Tổ chức HS sử dụng các thao tác tư duy và các kĩ năng suy luận trong q trình so sánh, phân tích, dự đốn, tổng hợp để lập luận để trình bày lời giải bài tốn (theo quy trình, các bước thực hiện) một cách ngắn gọn, tối ưu: Thể hiện ở tính chính xác, tính hồn chỉnh (tính nhuần nhuyễn) của bài làm (biết trình bày, diễn đạt lời giải bài tốn bằng những cách khác nhau; những lập luận chặt chẽ, lơgíc, rõ ràng cho mỗi bước giải; có phép tính đúng, có đáp số, có chuyển đổi đơn vị đo nếu cần ...; biết thực hiện gộp các bước tính trong bài giải; có những lời giải độc đáo thể hiện ở hướng giải quyết; PP giải; suy luận biểu đạt từng bước giải).
Ở bước 4 - Kiểm tra kết quả - Nghiên cứu sâu lời giải:
Sau khi giải bài toán, HS cần thử lại từng bước giải, các tính tốn, suy luận cũng như kết quả tính tốn để chính xác hóa lời giải và tối ưu hóa cách giải. Mặt khác, có thể tìm những cách giải khác cho bài toán; lựa chọn được phương án tối ưu. Hơn nữa, có thể xây dựng những bài tập tương tự, khái quát hóa thành dạng bài tốn & PP giải tổng qt. Khi đó, GV có cơ hội rèn luyện các thao tác tư duy và các kĩ năng suy luận trong quá trình so sánh, phân tích, dự đốn, tổng hợp, lập luận để đánh giá quá trình giải. Cụ thể là:
- Khả năng vận dụng phương pháp giải đã biết (tìm ra) vào các bài toán tương tự; áp dụng đối với các bài tốn khó với những tình huống và dữ liệu đã biến đổi phức tạp; Giải thích được vấn đề tương tự dựa trên kiến thức của bài học;
- Khả năng tổng hợp - khái quát hóa các cách giải đơn lẻ để tạo ra bài toán tổng quát, cách giải chung cho một dạng bài toán tổng quát; đặt được bài toán mới cùng dạng ở những ngữ cảnh khác nhau;
- Tìm được giải pháp trong những góc độ và tình huống khác nhau;
- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau; có cái