2.2. Biện pháp dạy học “Hàm số” theo hướng phát triển năng lực GQVĐ và sáng tạo cho học
2.2.1.2. Nội dung và ví dụ minh họa biện pháp
Căn cứ vào mối quan hệ giữa “Hàm số và đồ thị” ở lớp 12 với các kiến thức có liên quan ở các lớp dưới - nhất là ở mơn Tốn THCS; GV lồng ghép yêu cầu nhắc lại, củng cố cho HS những kiến thức cần thiết khi học và vận dụng kiến thức mới về hàm số ở lớp 12. Cụ thể là những kiến thức:
+ Biểu thức, biểu thức hữu tỷ (đa thức và phân thức), biểu thức chứa căn, biểu thức siêu việt (mũ, lôgarit, lượng giác), các phép toán biến đổi đồng nhất các biểu thức; ...
+ Kiến thức và PP chung về hàm số, tập xác định, sự biến thiên, đồ thị, ...
+ Nắm vững (khái niệm, tính chất, đồ thị) với những hàm số đã học: Bậc nhất, bậc hai, hàm phân thức, hàm vô tỷ, hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm số lượng giác.
+ Các khái niệm, tính chất, quy tắc và ứng dụng về giới hạn, hàm số liên tục, đạo hàm và ứng dụng, ...
+ Mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị với phương trình, bất phương trình, hình học, thống kê, ...
Cách thức thực hiện:
a) Ở tình huống dạy kiến thức mới:
Căn cứ vào nội dung và đặc trưng của kiến thức mới, GV xác định những kiến thức cần củng cố chuẩn bị cho HS:
Khái niệm mới thường được xây dựng bằng cách liên kết một số khái niệm đã biết nên cần củng cố, chuẩn bị cho HS những khái niệm đã biết để “làm nguyên liệu”, đồng thời với kiến thức cũ là các thao tác tư duy so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa; về tư duy lôgic cần huy động phép hội (), phép tuyển ().
Ví dụ 2.1: Tình huống DH quy tắc khảo sát hàm số bằng đạo hàm.
GV tổ chức và hướng dẫn HS tham gia vào việc huy động những kiến thức kinh nghiệm đã học ... để tìm ra quy trình “khảo sát” để xét sự biến thiên của hàm số bằng công cụ mới “đạo hàm”.
Kiến thức cũ: Ở THCS, đã học định nghĩa sự biến thiên của hàm số: Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến khi x tăng ... thì ... y tăng và là hàm số nghịch biến khi ... thì ...). Và khi đó, để xét sự biến thiên của một hàm số, người ta dựa vào định nghĩa như sau:
1. Lấy 2 giá trị của biến số x1x2 2. Tính f x( )1 và f x( )2
3. Nếu f(x1) < f(x2) thì hàm số là đồng biến 4. Nếu f(x1) > f(x2) thì hàm số là nghịch biến
Tuy nhiên, GV gợi ý HS nhận thấy: Làm như vậy ... chỉ có thể dự đốn - chứ không thể chứng minh chặt chẽ được chiều biến thiên của hàm số
( )
f x trên một khoảng a b; . Bởi lẽ rất có thể trong khoảng a b; hàm số khơng hồn tồn đơn điệu (tức là có thể vừa đồng biến rồi lại nghịch biến ...). Ở Giải tích lớp 12, người ta đưa ra định lý (thừa nhận đã được chứng minh chặt chẽ) rằng: Trên khoảng a b mà ; f x'( ) 0 thì chắc chắn hàm số sẽ ln ln đồng biến; cịn nếu '( ) 0f x thì hàm số nghịch biến.
Nhờ vậy, GV giúp cho các em giải thích được cơ sở của tính chất, quy tắc trình bày trong SGK ... Từ đó rút ra: Muốn xét sự biến thiên của hàm số
( )
f x ta chỉ cần căn cứ vào dấu của đạo hàm '( )f x là ta có thể xác định được khoảng biến thiên (đồng biến hoặc nghịch biến) của hàm số ( )f x .
Ví dụ 2.2: Dạy khái niệm mới “phương trình lơgarit”
GV cần củng cố, chuẩn bị cho HS những hiểu biết sau: các khái niệm “phương trình”, “phép tốn lơgarit”, “Hàm số lơgarit”, phép hội (), ... để xây dựng định nghĩa “Phương trình lơgarit là phương trình chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit”. Ở đây, phép hội () được ẩn vào xem như “là phương trình và có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lơgarit”.
Ví dụ 2.3: Tình huống DH Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Để chuẩn bị cho HS tiếp cận kiến thức mới “Xem xét sự biến thiên của hàm số bằng công cụ đạo hàm”, GV có thể sử dụng biện pháp 1 củng cố những kiến thức cũ như sau:
- GV giao việc trước cho HS một số nhiệm vụ ở nhà: Chia lớp thành 4 nhóm với yêu cầu HS: Tìm hiểu, đọc và trình bày trên bảng phụ hoặc chuẩn bị các Slide về một số kiến thức cơ bản đã học ở lớp 10, 11:
+) Định nghĩa khái quát về sự đồng biến, nghịch biến, cách mơ tả bảng biến thiên và hình dạng đồ thị của hàm số (Chương 2.HÀM SỐ – SGK ĐẠI SỐ 10)
+) Tìm hiểu về sự biến thiên và đồ thị của các hàm số bậc nhất y ax b , hàm số bậc hai y ax 2bx c , hàm hằng y b (Chương 2.Hàm số – SGK Đại số 10)
Nhóm II (Tổ 2) – Trình chiếu Slide hoặc bảng phụ về:
+) Kiến thức và kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai, dạng tích, thương, phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn, trong dấu trị tuyệt đối, phương trình lượng giác.
+) Kiến thức và kỹ năng tìm tập xác định của các loại hàm số: đa thức, phân thức hữu tỷ, vô tỷ và các hàm số lượng giác.
Nhóm III (Tổ 3) – Trình chiếu Slide hoặc bảng phụ về:
+) Kiến thức và kỹ năng liên quan đến các loại giới hạn của hàm số tại điểm, giới hạn bên phải, bên trái tại điểm, giới hạn tại vơ cực.
Nhóm IV (Tổ 4) – Trình chiếu Slide hoặc bảng phụ về:
+) Kiến thức và kỹ năng tính đạo hàm của các hàm số: Hàm số cơ bản, hàm số hợp và hàm số lượng giác, hàm số có chứa tham số.
- Các nhóm cử đại diện trình bày sản phẩm của nhóm mình (mỗi nhóm trình bày sơ lược trong thời gian 3 phút)
- Giáo viên cho HS đánh giá đồng đẳng.
- Giáo viên nhận xét và đánh giá việc chuẩn bị, chuẩn hóa, bổ sung các kiến thức còn thiếu, giới thiệu về nội dung nghiên cứu chủ đề hàm số ở chương I và nói lên tầm quan trọng về việc vận dụng các nội dung kiến thức mà các em đã chuẩn bị.
b) Ở tình huống luyện tập vận dụng trực tiếp kiến thức vừa học:
Ở tình huống luyện tập ngắn - vận dụng một cách trực tiếp kiến thức (khái niệm, tính chất, quy tắc) vừa học, GV cần củng cố, chuẩn bị cho HS:
Hiểu bản chất của kiến thức sẽ vận dụng; một số kiến thức cũ ẩn chứa trong câu hỏi, bài tập chuẩn bị đưa ra cho HS mà muốn vận dụng được kiến thức vừa học tính các em cần huy động và liên kết với chúng. Chú ý rằng: ở tình huống này, GV chỉ lựa chọn những bài tập ngắn, khơng địi hỏi huy động nhiều kiến thức, kỹ năng và thao tác tư duy để HS có thể làm quen với việc vận dụng trực tiếp những kiến thức vừa học một cách tương đối đơn giản.
Ví dụ 2.4: Củng cố cho HS sau khi học định lý và chuẩn bị cho việc
luyện tập, vận dụng định lý.
Sau khi học định lý về mối liên quan giữa dấu của đạo hàm f x với '( ) sự biến thiên của hàm số f x( ), GV có thể củng cố, chuẩn bị cho HS (khi cần) một số kiến thức, kỹ năng có liên quan: “quy tắc tính đạo hàm ...”, “cách xét dấu của biểu thức - mà thực chất là giải bất phương trình ở dạng đơn giản”, “cách phân khoảng tập xác định của f'(x)”, “biểu diễn nghiệm của bất phương trình dưới dạng khoảng”, “chuyển kết quả về câu trả lời theo yêu cầu của bài toán”...
Chẳng hạn: Với bài tập ngắn “Hãy tìm những khoảng mà hàm số
2
3 12 7
y x x đồng biến?”. HS cần huy động và tiến hành: + Tính '( ) 6f x x12(theo công thức đã học);
+ Giải bất phương trình 6x12 0 (theo quy tắc đã học), tìm được x2; + Biểu diễn nghiệm của bất phương trình về dạng (2; +).
+ Đối chiếu với định lý vừa học để trả lời: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; +).
c) Ở tình huống vận dụng tổng hợp khi giải bài toán:
Tương tự như đối với tình huống luyện tập, giải bài tập ngắn, ở đây GV đưa ra những bài tập phức tạp hơn, đòi hỏi HS phải huy động, vận dụng nhiều kiến thức, kỹ năng đã biết để tổng hợp cùng với kiến thức mới. Do vậy, phạm vi và mức độ củng cố, chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng kinh nghiệm cũ
rộng và sâu hơn: Cả về kiến thức cũ đã biết, kỹ năng tính tốn - suy luận đã có, hiểu biết về lơgic và ngơn ngữ ký hiệu tốn học, ...
Ví dụ 2.5: Củng cố, chuẩn bị ở tình huống vận dụng quy tắc tìm cực trị
của hàm số
Mặc dù trong SGK chỉ nêu vắn tắt 4 bước: 1. Tìm tập xác định và tính f'(x) 2. Tìm những điểm làm cho f'(x) = 0 hoặc không xác định 3. Lập
bảng biến thiên 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Nhưng để tổ chức HS luyện tập vận dụng được quy trình này đối với một hàm số cụ thể, GV cần củng cố, chuẩn bị cho các em khá nhiều kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm đã biết:
Chẳng hạn, với hàm số f(x) = x2 x 1 ([31], trang 18). Để có lời giải bài tốn, thực ra HS cần phải huy động rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm để tính tốn, lập luận, ... như sau:
1. Tìm tập xác định và tính f'(x)
Tập xác định của f(x) là mọi giá trị của x sao cho biểu thức x2 x 1có nghĩa (cần đến khái niệm tập xác định của hàm số) biểu thức x2 x 1không âm (điều kiện tồn tại của căn bậc chẵn) x2 x 1 0, x R(giải BPT bậc hai) tính 2 2 1 '( ) 2 1 x f x x x (quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, hàm vơ tỷ).
2. Tìm những điểm làm cho f'(x) = 0 hoặc không xác định Giải phương trình 2 2 1 '( ) 0 2 1 x f x x x
(giải phương trình phân thức vơ tỷ) tìm được x =
2
1 và bác bỏ tình huống '(x)f không xác định (sử dụng
x2 x 1 0, x R dẫn đến x2 x 1 0 x). 3. Lập bảng biến thiên
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
HS cần dựa trên 2 định lý vừa học (về dấu của đạo hàm với sự biến thiên của hàm số; và sự thay đổi dấu của f '(x) với điểm cực trị) để xét dấu
'(x)
f tìm những điểm x mà '(x)f thay đổi dấu tìm ra điểm cực đại nếu f'(x) thay đổi dấu từ dương sang âm; điểm cực tiểu nếu f'(x) thay đổi dấu từ âm sang dương.