Cơ sở khoa học và những khái niệm cơ bản

1.3. Dạy học GQVĐ và mục tiêu phát triển NLGQVĐ và ST cho HS

1.3.1.1. Cơ sở khoa học và những khái niệm cơ bản

a) Cơ sở khoa học

Theo Nguyễn Bá Kim ([18]), DH phát hiện và GQVĐ là một trong những xu hướng DH khơng truyền thống có nhiều lợi thế đối với mục tiêu & NL HS qua mơn Tốn, nhờ vào cơ sở khoa học của kiểu DH này về mặt Triết học; Tâm lý học và Giáo dục học, thể hiện ở:

+ Cơ sở triết học:

Trên cơ sở quy luật “mâu thuẫn và phát triển”, DH GQVĐ đã dựa trên mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức mới với tri thức và kinh nghiệm tốn học sẵn có ở HS (thể hiện ở tình huống gợi vấn đề).

+ Cơ sở tâm lí học:

Theo Tâm lý học, con người chỉ tư duy và nhận thức tích cực khi gặp khó khăn trở ngại. Vì thế, DH GQVĐ đã dựa trên việc đặt HS trước những khó khăn vừa sức về nhận thức, đủ để kích thích các em tích cực tham gia vào các HĐ tư duy, nhận thức, giải quyết những VĐ học Toán.

+ Cơ sở giáo dục học:

Theo Giáo dục học, cách giáo dục tốt nhất, đạt hiệu quả cao nhất khi đối tượng của giáo dục tự mình có nhu cầu và thực hiện các HĐ “tự giáo dục” bản thân. Do đó, DH GQVĐ thực hiện nguyên lý “biến việc học trở thành việc tự học” để HS chủ động “tìm đến” kiến thức của mơn Tốn.

b) Khái niệm “vấn đề”

Theo Nguyễn Bá Kim ([18], tr.132), một bài toán được gọi là vấn đề (VĐ) nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài tốn. Như vậy, có thể thấy: Một vấn đề khơng đồng nhất với một tình huống, bài tốn.

Chẳng hạn, trong DH chủ đề “Hàm số”: Trong học khái niệm VĐ có thể là “Thế nào là hàm số mũ?”; trong học tính chất, định lý VĐ có thể là “Giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm liên quan với nhau như thế nào?”; trong học quy tắc, phương pháp toán học VĐ có thể là “Để khảo sát hàm số bằng đạo hàm, ta cần thực hiện những bước nào?”; ...

Chú ý rằng: Khái niệm vấn đề mang tính tương đối, điều này cịn phụ thuộc vào thời điểm, đối tượng, điều kiện khác, ... Chẳng hạn như: Bài tốn u cầu xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = 7x sẽ không phải là một vấn đề sau khi các em đã học quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bất kì; nhưng lại là một vấn đề (ngay cả với một hàm số cụ thể đã biết nào đó, ví dụ như

2

y ax bx c ) khi học sinh chưa học quy tắc này.

c) Khái niệm “tình huống gợi vấn đề”

Tình huống gợi vấn đề (cịn gọi là tình huống có VĐ) là tình huống DH ở đó cần tồn tại một VĐ; đồng thời phải vừa sức đủ để gây ra nhu cầu nhận thức ở HS. Do vậy, tình huống DH này cần phải thỏa mãn ba điều kiện: Chứa một VĐ; VĐ đặt ra trước HS khó khăn vừa sức - đủ để gợi ra ở các em nhu cầu hứng thú nhận thức; nhờ đó tạo ra cho HS niềm tin vào khả năng GQVĐ.

Ví dụ 1.1: Khi dạy khái niệm “nguyên hàm của một hàm số”, GV đưa

ra tình huống:

Củng cố, chuẩn bị: Các em hãy tính đạo hàm của các hàm số: ( ) 5f x  x3; f x( ) x25x6; ( ) 2f x  x; ... và so sánh, nhận xét về sự liên quan giữa biểu thức ( )f x và '( )f x ?

Đặt câu hỏi: Ta đã biết cách tính đạo hàm của một hàm số ( )f x , nếu cho biết '( ) 6f x  x5thì có thể tìm được hàm số ( ) ?f x  hay không? (thỏa mãn yêu cầu chứa câu hỏi cần trả lời, mà HS chưa có sẵn câu trả lời).

- Tính vừa sức và gây niềm tin vào khả năng của HS thể hiện ở: HS đã biết các cách tính đạo hàm của hàm số (dựa vào tính chất, quy tắc, cơng thức) - nói riêng là hàm số bậc hai f x( )ax2bx c . Mặt khác cũng đã nhớ lại sự

liên hệ giữa hàm số bậc hai f x( )ax2bx c với biểu thức là đạo hàm của nó 2ax b , ... khi so sánh kết quả tính tốn cụ thể ở trên.

1.3.1.2. Một số cách xây dựng tình huống gợi vấn đề trong DH Toán (theo [18], tr.46)

a) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính tốn, đo đạc,…)

Ví dụ 1.2: Dựa vào kiến thức sẵn có của học sinh khi dạy học về tìm nguyên hàm của hàm số lũy thừa ( )f x x với mọi x K . Tìm những hàm số ( )F x sao cho F x( ) '  f x( ), x K.

GV xuất phát từ việc tổ chức HS tính đạo hàm của các hàm số cụ thể:

1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 f x x F x  x  x  2 1 3 1 2 1 ( ) ( ) 3 2 1 f x x F x  x  x   3 1 4 1 3 1 ( ) ( ) 4 3 1 f x x F x  x  x  1 ( ) ( ) 2 f x F x x x    hay 1 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 1 2 f x x  F x  x  x        

Gợi ý hướng dẫn HS so sánh, nhận xét về biểu thức F x( ) và ( )f x ? GV đặt vấn đề “Khái quát hóa để xét hàm số f x( )x với  là số thực bất kỳ”, ... giúp HS dự đoán được: Với hàm số ( )f x x,  1 thì có phải hàm số ( ) 1 1 x F x C     

 sẽ là nguyên hàm của hàm số cho hay khơng ?

Ví dụ 1.3: Khi dạy học về ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cauchy đối với

hình chữ nhật.

GV nêu ra tình huống thực tiễn “Chúng ta có một số lượng cố định vật liệu làm hàng rào vườn hoa (là hình chữ nhật) trước cửa lớp học, chẳng hạn 20 mét rào. Vậy làm thế nào để với 20 mét rào, ta làm được vườn hoa có diện tích lớn nhất để trồng hoa?”

GV có thể gợi ý HS thiết lập bài toán theo bảng sau, cho các em tự chọn số liệu độ dài các cạnh a, b sao cho chu vi bằng 20 chứng minh. Tính diện tích hình chữ nhật và dự đốn “Khi nào thì diện tích của hình chữ nhật là lớn nhất?”:

Bảng 1.1. u cầu thực hành tính tốn

TT Chu vi 2(a+b) a + b a b Diện tích S = a.b 1 20 10 2 3 4 5 6 7 . n Bảng 1.2. Kết quả thực hành tính tốn

TT Chu vi 2(a+b) a + b a b Diện tích S = a.b 1 20 10 1 9 9 2 2 8 16 3 3 7 21 4 4 6 24 5 5 5 25 6 5,5 4,5 24,75 . 6,5 3,5 22,75 . … … … n 8,2 1,8 14,76

GV cho HS tự điều chỉnh chu vi hình chữ nhật (khác với 20) và tính diện tích ... rồi rút ra dự đốn “Diện tích của hình chữ nhật lớn nhất khi độ dài các cạnh a, b như thế nào?”

GV gợi ý hướng dẫn HS phát hiện VĐ: Có phải là khi hai cạnh có kích thước bằng nhau thì diện tích lớn nhất? Tức là hình chữ nhật mà là hình vng thì diện tích là lớn nhất?.

GV tổ chức HS suy đoán “ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vng có diện tích lớn nhất ?”

Ở đây, tình huống đã nêu thỏa mãn các điều kiện của tình huống gợi vấn đề (chứa VĐ - gần gũi vừa sức với HS - gây niềm tin ở các em về khả năng giải quyết)

b) Lật ngược vấn đề

Ví dụ 1.4: Sau khi HS đã biết định lý về mối quan hệ giữa “Dấu của

đạo hàm và sự biến thiên của một hàm số”, GV gợi ý hướng dẫn HS: lật ngược lại mối quan hệ để đặt ra câu hỏi “Nếu hàm số ( )f x đồng biến trong khoảng  a b; thì dấu của đạo hàm f x'( )sẽ thế nào? Có phải là khi đó

'( ) 0

f x  với x(a;b) hay không ? ...” Đây là tình huống gợi VĐ để dạy định lý đảo (SGK Giải tích 12, [31]).

Như vậy, lật ngược vấn đề ở đây được xem là gợi ý hướng dẫn HS thiết lập và phát biểu mệnh đề đảo đối với mệnh đề đã được chứng minh trong một định lý. Từ đó đặt ra VĐ “Điều dự đốn ở đó có đúng hay khơng? Tại sao?” .

c) Xem xét tương tự

Ví dụ 1.5: Từ điều đã học về “Tính chất của hàm số mũ” có thể tìm

hiểu xem xét VĐ tương tự đối với hàm số lôgarit “Tính chất của hàm số lơgarit”.

d) Khái qt hóa

Ví dụ 1.6: Từ các trường hợp riêng đã học về những hàm số lũy thừa đã

biết ở lớp dưới y = x, y = x2, y = 1

nhiên, số nguyên, số hữu tỷ đặt ra vấn đề xét hàm số có dạng tổng quát hơn là ( )

f x x trong đó số mũ mở rộng ra số thực (R). e) Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải

Ví dụ 1.7: Đặt HS trước bài tập chưa học cách giải tổng quát, chẳng

hạn: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ y a x? Từ đó gợi ý hướng dẫn HS xây dựng công thức nguyên hàm của hàm số mũ.

g) Phát hiện sai lầm, tìm ngun nhân và cách khắc phục

Ví dụ 1.8: Khi học và vận dụng hàm số ở lớp 12, do không nắm vững

bản chất của cực trị (chỉ xét trong một khoảng nhỏ của tập xác định), về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn, ... nên một số HS không phân biệt được sự giống và khác nhau giữa “cực trị” với “giá trị lớn nhất, nhỏ nhất”, cụ thể là quan niệm sai lầm: “giá trị cực đại” và “giá trị lớn nhất” là như nhau; cũng như vậy đối với “giá trị cực tiểu” và “giá trị nhỏ nhất”. Các em không nhận thấy xét trên một phần của tập xác định thì một hàm số có thể có nhiều giá trị cực đại, giá trị cực tiểu. Đặc biệt là nhiều em vẫn cho rằng, với một hàm số thì “giá trị cực đại” khơng thể bé hơn “giá trị cực tiểu”, ...

GV đưa ra phản ví dụ và tổ chức HS phân tích phát hiện sai lầm: Xét hàm số ( ) 2 2 1 2 x x f x x   

 . Dùng công cụ đạo hàm ta xét được hàm số đạt cực đại fmax  12 tại điểm x 5; và đạt cực tiểu fmin 0 tại điểm x1.

Khi đó, nếu xét trên đoạn  6; 3thì ta cần so sánh các giá trị ( 6) 12,25

f    ; ( 3)f   16 với fmax( 5)  12 để rút ra kết luận về giá trị lớn nhất chính là giá trị cực đại fmax( 5)  12.

Còn nếu xét trên đoạn 1;2thì ta lại cần so sánh các giá trị ( 1) 4

f   ; (2) 1 4

f  với giá trị cực tiểu fmin(1) 0 để rút ra kết luận về giá trị lớn nhất là ( 1) 4f   ; giá trị nhỏ nhất chính là giá trị cực tiểu fmin(1) 0 .

Tuy nhiên, nếu như đặt câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của ( )

f x trên tập hợp X =    6; 3  1;2thì ta lại cần xem xét tất cả các giá trị: ( 6) 12,25 f    ; fmax( 5)  12; ( 3)f   16; ( 1) 4f   ; fmin(1) 0 ; (2) 1 4 f  để so sánh và kết luận: Trên X, hàm số 2 2 1 ( ) 2 x x f x x     có giá trị nhỏ nhất là ( 3)f   16 (không phải là giá trị cực tiểu!) và giá trị lớn nhất là ( 1) 4f   (không phải là giá trị cực đại!).

Đồng thời trên X thì giá trị cực đại fmax( 5)  12 lại nhỏ hơn giá trị cực tiểu fmin(1) 0 .

1.3.1.3. Khái niệm, đặc trưng, hình thức và quy trình DH phát hiện và GQVĐ DH phát hiện và GQVĐ được coi là một xu hướng DH không truyền DH phát hiện và GQVĐ được coi là một xu hướng DH không truyền thống, thể hiện ở đặc trưng:

GV thiết kế tình huống gợi VĐ để đưa HS thâm nhập vào tình huống mà không phải là thông báo cho HS những tri thức dưới dạng có sẵn. GV tổ chức và hướng dẫn HS hoạt động tham gia một phần vào việc phát hiện, chiếm lĩnh tri thức một cách tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo.

 Quy trình DH GQVĐ

Theo [18], DH GQVĐ được tiến hành theo 4 bước như sau:

Bước 1. GV hướng dẫn, tổ chức HS phát hiện và thâm nhập vào VĐ

- Phát hiện VĐ từ một tình huống gợi VĐ;

- Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng VĐ được đặt ra;

- Phát biểu VĐ, xác định rõ mục đích cần giải quyết.

Bước 2: Tìm giải pháp

Tìm đường lối GQVĐ, thường được thực hiện theo sơ đồ 1.1. sau:

Sơ đồ 1.1. Các bước tìm giải pháp GQVĐ

Phân tích VĐ: Tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của VĐ  Tìm con đường, chiến lược GQVĐ bằng cách huy động kiến thức, kỹ năng kinh nghiệm đã có để tìm đốn, lập luận  vạch ra hướng và kế hoạch GQVĐ  xác định được giải pháp.

Bước 3. Trình bày giải pháp GQVĐ đã thiết lập. Bước 4. Đánh giá và nghiên cứu sâu giải pháp.

GV hướng dẫn, tổ chức HS đánh giá lại quá trình phát hiện và GQVĐ; tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả; Đề xuất những VĐ mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược VĐ,... và hướng giải quyết (nếu có thể).

 Hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và GQVĐ

Theo Nguyễn Bá Kim [18], có thể phân chia 4 hình thức thực hiện DH GQVĐ theo 4 mức độ từ thấp đến cao như sau:

- Mức độ 1 - Giáo viên thuyết trình phát hiện và GQVĐ; - Mức độ 2 - GV và HS vấn đáp phát hiện và GQVĐ;

- Mức độ 3 - HS hợp tác phát hiện và GQVĐ với sự trợ giúp khi cần thiết của GV;

- Mức độ 4 - HS hoàn toàn độc lập phát hiện và GQVĐ.

Bảng 1.3 - Các mức độ DH phát hiện và GQVĐ Mức độ Tạo tình huống Phát hiện vấn đề Tìm giải pháp Thực hiện giải pháp Kết luận và phát triển vấn đề 1 GV đặt vấn đề GV nêu cách GQVĐ GV hướng dẫn HS thực hiện GV đánh giá kết quả làm việc của HS 2 GV nêu vấn đề GV gợi ý để HS tìm ra cách GQVĐ HS thực hiện, GV giúp đỡ khi cần GV và HS cùng đánh giá 3 GV cung cấp thơng tin tạo tình huống HS phát hiện, nhận dạng và phát biểu vấn đề nảy sinh cần giải quyết HS tự lực đề xuất các giả thuyết và lựa chọn các giải pháp HS thực hiện kế hoạch GQVĐ GV và HS cùng đánh giá 4 HS tự lực phát hiện VĐ nảy sinh trong hồn cảnh của mình hoặc của cộng đồng HS lựa chọn VĐ giải quyết HS tự đề xuất ra giả thuyết, xây dựng kế hoạch giải HS thực hiện kế hoạch giải quyết HS tự đánh giá chất lượng và hiệu quả của việc GQVĐ

DH phát hiện và GQVĐ khá phù hợp với mơn Tốn, có nhiều lợi thế phát triển NL GQVĐ, kích thích tính chủ động, ST của HS - đặc biệt là với đối tượng khá giỏi ở lớp 12.

Tuy nhiên, trong thực tế dạy và học mơn Tốn hiện nay ở trường phổ thông, đa số GV chỉ mới vận dụng DH phát hiện và GQVĐ ở mức 1 và 2. Và như vậy cần có những giải pháp để tăng cường vận dụng kiểu DH này, vươn

tới đạt mức 3 và 4, làm cho DH GQVĐ được sử dụng một cách thường xuyên, hiệu quả hơn.

1.3.2. Mối quan hệ giữa DH GQVĐ và phát triển NL GQVĐ và ST

DH GQVĐ có vai trị lớn, tác dụng tốt trong dạy học - nói riêng là mơn Toán. Đây là một xu hướng DH không truyền thống của nhiều ưu điểm và mang lại hiệu quả cao cho việc truyền thụ tri thức trong việc học mơn Tốn bởi lẽ nó đảm bảo được các cơ sở lý luận về triết học, tâm lý học, giáo dục học trong việc hình thành tri thức, rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực và phẩm chất cần thiết cho học sinh.

Theo Nguyễn Bá Kim ([18], tr.132), trong dạy học Toán, một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài tốn. Khi đó, GQVĐ là thiết lập những giải pháp thích ứng khắc phục những khó khăn, trở ngại để trả lời được những câu hỏi đặt ra ở VĐ. Đối với mơn Tốn, HS GQVĐ học tốn thơng qua thực hiện thao tác tư duy, hành động trí tuệ thích hợp và các hoạt động toán học để thực hiện những yêu cầu do VĐ đặt ra.