Về nội dung và cách thức kiểm tra đánh giá mơn Tốn

1.4. Thực trạng dạy và học “Hàm số” trong mơn tốn lớp 12 THPT

1.4.4.3. Về nội dung và cách thức kiểm tra đánh giá mơn Tốn

Nội dung kiểm tra, thi cử đối với mơn Tốn cịn có những hạn chế, nặng về những bài tập thuần túy về mặt Tốn học, thường đã có phương pháp giải quen thuộc, ...

Khi chuyển qua hình thức thi trắc nghiệm môn Tốn, HS rất ít chú trọng tới cách trình bày, lập luận và sự cẩn thận trong quá trình làm bài thi nữa. Điều cần quan tâm là làm thế nào để tìm cách chọn được đáp án đúng mà không cần hiểu bản chất, lý do, ...?!

Đối với hình thức trắc nghiệm khách quan, một trong những khó khăn lớn nhất là HS bị áp lực thời gian và cả cách thức suy nghĩ, vận dụng kiến thức và kĩ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian tương đối ngắn. Mặt khác, nội dung câu hỏi cũng như “tính ngẫu nhiên cao” và cách trả lời câu hỏi trắc nghiệm ... đã dẫn đến tình trạng HS (ngay cả các em khá giỏi) lười suy nghĩ, chỉ tìm cách “đối phó” bằng những “kỹ thuật mang tính kinh nghiệm để giải bài tập trắc nghiệm”. Điều này hạn chế rất nhiều đến mục tiêu phát triển NL GQVĐ ST cho các em.

Nhiều HS - nhất là HS khá giỏi đã quen với hình thức ơn luyện thi tự luận, các em chỉ chú trọng đến giải bài tập và thường không tập trung học chắc lý thuyết, vì vậy HĐ và kỹ năng GQVĐ vẫn còn chưa thật thành thạo.

1.4.5. Một số thành tố và biểu hiện của NL GQVĐ và ST ở HS khá giỏi lớp 12 trong học Hàm số

Tham khảo các thành tố của NL GQVĐ và ST (Bộ Giáo dục và Đào tạo [2]), các thành tố của NL GQVĐ toán học (Bộ Giáo dục và Đào tạo [3]); dựa trên đề xuất 4 thành phần của NL GQVĐ và sáng tạo của HS khi học Toán (đã đề xuất ở mục 1.2.1.4); kết hợp các phân tích ở trên, đối chiếu với nội dung, yêu cầu thực trạng DH “Hàm số” ở THPT, tiếp cận theo quy trình phát hiện và GQVĐ trong học Tốn, ở đề tài này, chúng tơi lựa chọn, xác định và

cụ thể hóa các thành tố của NL GQVĐ và ST trong dạy học “Hàm số” như sau:

Thành tố 1 - Nhận biết được, phát hiện và làm rõ được VĐ (câu hỏi,

bài tập tốn) có thể giải quyết bằng cơng cụ hàm số một cách nhanh chóng, hiệu quả;

Thành tố 2 - Tư duy linh hoạt và hiệu quả để phân tích, lựa chọn, phát

hiện và xác định được đường lối, cách thức GQVĐ phù hợp với yêu cầu ở câu hỏi, bài tập, khai thác sử dụng được thế mạnh của công cụ hàm số;

Thành tố 3 - Huy động được những kiến thức, kỹ năng đã biết trong mơn Tốn (nói riêng là về Hàm số) để GQVĐ: Trả lời câu hỏi, trình bày lời giải bài tập có liên quan đến hàm số một cách ngắn gọn, chặt chẽ, dễ hiểu;

Thành tố 4 - Biết cách và thực hiện kiểm tra đánh giá quá trình phát hiện và GQVĐ về hàm số để tìm ra cách giải quyết tối ưu: Xem xét VĐ (câu hỏi, bài tập) từ nhiều góc độ khác nhau, tìm được nhiều hơn một cách giải quyết - trình bày để lựa chọn giải pháp tốt. Tạo ra những câu hỏi, bài tập tương tự, khái quát và đường lối giải quyết chung.

Ví dụ 1.12: Để tập luyện thành tố 1: Xác định được tình huống có VĐ

cần giải quyết và diễn đạt được (ở những mức độ ST khác nhau) khi DH “định lý về mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm”, GV sử dụng bảng phụ, phần mềm toán học Maple để tổ chức HS quan sát, thảo luận rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa chiều biến thiên của hàm số ( )f x và dấu của đạo hàm '( )f x của nó trên một số khoảng của tập xác định đối với một số hàm số đã học: hàm số bậc nhất y ax b  ; hàm số bậc hai y ax 2bx c ; hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d ;…(ứng với các trường hợp xảy ra về dấu của a).

Khi đó, HS sẽ hứng thú tích cực tham gia HĐ và phát hiện ra VĐ “dường như cứ f x'( ) 0 thì ứng với hàm số đồng biến; ngược lại cứ

'( ) 0

f x  thì ứng với hàm số nghịch biến?” (ở những mức độ ST khác nhau đối với từng HS).

Để dẫn dắt HS đến với HĐ xác định được hướng giải quyết và tìm kiếm được cách thức, giải pháp và quy trình GQVĐ (thành tố 2), GV chủ động đặt vấn đề “Dự đốn đó có đúng đối với mọi hàm số hay khơng?”, kích thích HS tìm hiểu và trả lời câu hỏi này (dẫn đến thành tố 2).

Ví dụ 1.13: Sau khi HS đã học về định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số, GV cho HS thực hiện hoạt động vận dụng để luyện tập, củng cố các khái niệm đó thơng qua việc đặt HS vào tình huống có vấn đề để HS tự xây dựng được hướng giải quyết và tìm kiếm được cách thức, giải pháp và quy trình GQVĐ. GV khai thác sử dụng ví dụ 1 (Mục I – trang 19 SGK Giải tích 12 cơ bản): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 5 y x x    trên khoảng 0; Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi

Ở đây GV dùng câu hỏi gợi mở hướng dẫn HS phát hiện được biến 0

x và xuất hiện tổng x 1 x

 (tổng của một số dương và nghịch đảo của nó). Từ đó các em nhận diện được bất đẳng thức Côsi và nghĩ đến vận dụng “con đường - công cụ này” để GQVĐ (thành tố 2).

GV cho HS sử dụng kiến thức, kỹ năng ngơn ngữ ký hiệu tốn học để trình bày lời giải (thành tố 3) như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương xvà 1

x ta có:

1 1 1

2 . 2

x x x

x x x

     . Dấu bằng xảy ra khi x 1 x 1 0; 

x

    

Suy ra y x 1 5 3 x

     với  x 0;. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi x1.

Gợi ý HS nhận xét: Cách giải này có lợi thế là gọn gàng, nhưng khó chỉ ra được giá trị lớn nhất của hàm số (thành tố 4).

Vậy VĐ đặt ra là “Làm thế nào tìm được GTLN của hàm số đã cho? ” (thành tố 1)

Cách 2: Sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số

Để trả lời câu hỏi ở trên, GV gợi ý hướng dẫn HS phân tích, nhận xét: Ở hướng và cách giải 1: HS được đưa vào một tình huống gợi VĐ: Mặc dù đã tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số nhưng làm thế nào để chỉ ra được sự tồn tại hay không tồn tại giá trị lớn nhất? Gợi ý hướng dẫn HS dựa trên kiến thức đã học để liên tưởng, nghĩ đến việc sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số (thành tố 2).

 Thành tố 3:

GV cho HS sử dụng kiến thức, kỹ năng ngơn ngữ ký hiệu tốn học để trình bày lời giải như sau: Trên khoảng 0;, ta có: y' 1 12

x   . Cho y' 0 1 12 0 x 1 x       Giới hạn: 0 0 1 lim lim 5 x y x x x               ; 1 lim lim 5 x y x x x             Bảng biến thiên: x 0 1 +∞ y’ – 0 + y +∞ +∞ –3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất bằng 3 nên:

min0; y 3

   khi x1. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất.  Thành tố 4:

Qua q trình giải bài tốn bằng cách 2, HS phát hiện thấy PP khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng công cụ đạo hàm đã mang lại hiệu quả cao hơn so với cách làm thứ nhất, qua đây HS tìm ra được đường lối tổng quát để tìm

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng chứa biến 0

x .

Đến đây, GV có thể gợi ý hướng dẫn HS áp dụng PP này đối với một số loại bài toán tương tự về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

y f x trên các khoảng, nửa khoảng, hoặc trên đoạn có dạng a;,

;b,  a b; ,  ; ,  a b; ,…

Ví dụ 1.14: Sau các bài dạy: Bài 2. Cực trị của hàm số và Bài 5: Khảo

sát sự biến thiên của hàm số của chương I/ SGK Giải tích 12, giáo viên có thể đưa ra cho HS giải bài tập:

Cho hàm số y x 32mx2 (3m4)x, m là tham số. Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Tổ chức hướng dẫn HS phát hiện và GQVĐ một cách ST:

Bước 1: Phát hiện /thâm nhập vấn đề

GV thiết kế và sử dụng những câu hỏi giúp HS tập luyện thành tố 1 của NL GQVĐ và ST như sau:

Câu hỏi (CH) 1: Các em đã được học về kiến thức và một số dạng bài

tập đơn giản về cực trị của hàm số nói chung và cực trị của hàm số bậc ba nói riêng. Bài tốn đã cho nói về cực trị của hàm số nào? Bài tốn có rơi vào các dạng tốn đã được học hay khơng? Và nếu có thì giải như thế nào?

Sau khi nhận CH sẽ làm nảy sinh trong HS một số vấn đề cần tư duy: Chắc hẳn HS nhận ra được đây là bài tốn nói về cực trị của hàm số bậc ba. Nhưng dạng tốn này mình đã gặp chưa?Với kiến thức và những kỹ năng cơ bản có đủ để giải được bài tốn này hay khơng?Nếu khơng thì giải bài tốn này như thế nào?

Về phía HS sẽ phân tích nội dung của đề bài và thu thập được một số thông tin cơ bản sau:

ii) Bài tốn có u cầu điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị;

iii) Hơn thế nữa, hai điểm cực trị của đồ thị hàm số phải nằm về hai phía của trục hồnh.

Bước 2: Tìm giải pháp (Tìm tịi hướng GQVĐ)

Sau khi HS tiến hành tư duy và phân tích đề bài, giáo viên (GV) tiếp tục đặt và sử dụng câu hỏi để tổ chức HS tập luyện thành tố 2 của NL GQVĐ và ST như sau:

CH 2: Bài tốn trên có mấy vấn đề? Là những vấn đề gì? Nêu hướng

giải quyết cho những vấn đề ấy?

HS trả lời: Bài tốn có hai u cầu gồm:

- Vấn đề 1: Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2  ' 0y  có hai nghiệm phân biệt  '

' 0

y

 

- Vấn đề 2: Hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía của trục hồnh  y x y x   1 . 2 0.

GV dự kiến nếu HS không trả lời được u cầu 2, thì GV có thể gợi ý cho HS mơ tả hình dạng đồ thị của hàm số bậc ba trong trường hợp có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh nhằm giúp HS phát hiện ra điều kiện y x y x   1 . 2 0.

Tiếp theo GV có thể đặt câu hỏi để kiểm tra mức độ của các vấn đề 1 và vấn đề 2 mà HS đã chỉ ra (thành tố 2 của NL GQVĐ và ST).

CH3: Theo các em trong hai vấn đề đã nêu ra, vấn đề nào dễ thực hiện? Vấn đề nào phức tạp hơn? Và phức tạp ở chỗ nào?

y(x1

y(x2 x x

Về phía HS khi thử thực hiện giải bài tốn theo hướng vừa suy nghĩ sẽ nhận ra được một số vấn đề cần tháo gỡ, giải quyết như sau:

Ta có: y' 3 x24mx3m4; Biệt thức ' 2

' 4 9 12

y m m

   

Để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 khi và chỉ khi ' 0y  có hai nghiệm

phân biệt  ' 2 ' 9 273 8 0 4 9 12 0 9 273 8 y m m m m                

Tuy nhiên, HS sẽ bị vấp phải sự phức tạp khi GQVĐ 2: “y x y x   1 . 2 0”. Bởi lẽ: - Thứ nhất, vì biệt thức ' 2 ' 9 12 y m m     nên phương trình ' 0y  sẽ cho nghiệm x1, x2 khá cồng kềnh dẫn đến GQVĐ y x y x   1 . 2 0 gặp khó khăn.

- Thứ hai, nếu HS sử dụng hệ thức Vi-et về hai nghiệm x x1, 2 có

1 2 1 2 4 3 3 4 . 3 m x x m x x         

để giải bài toán y x y x   1 . 2 0

 3 2  3 2 

1 2 1 (3 4) 1 2 2 2 (3 4) 2 0

x mx m x x mx m x

        cũng khá phức tạp,

dễ sai sót và mất thời gian.

- Thứ ba, nếu HS sử dụng tốt tính chất y x y x       1 . 2 r x r x1 . 2 , với

1, 2

x x là hai điểm cực trị, ( )r x là biểu thức dư trong phân tích hàm số ( ) '( ). ( ) ( )

y x  y x q x r x thì HS phải thực hiện thao tác chia đa thức của hàm số có chứa tham số, dẫn đến sai sót và mất thời gian.

Đến đây, GV gợi ý dẫn dắt HS tìm kiếm giải pháp (thành tố 2) thơng qua những câu hỏi và hướng dẫn:

CH 4: Các em hãy suy nghĩ xem có cịn hướng giải quyết nào tối ưu hơn

Nếu HS khơng tìm được hướng đi mới thì GV có thể định hướng theo dự kiến sau:

+) u cầu HS xem hình mơ tả đồ thị của hàm số bậc ba trong trường hợp có đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh

+) Giáo viên gợi ý:

CH 5: Hãy tìm hiểu xem khi đồ thị của hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh thì đồ thị của hàm số này sẽ cắt trục hoành tại mấy điểm?

HS phát hiện được: Đồ thị hàm số bậc ba sẽ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

+ GV đặt câu hỏi:

CH6: Hãy tìm điều kiện để đồ thị hàm số thỏa mãn tính chất này?

HS nêu được: Điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình x3mx2(3m4)x0 (*)có ba nghiệm phân biệt.

Bước 3: Trình bày giải pháp

Thành tố 3: GV cho HS sử dụng kiến thức, kỹ năng ngơn ngữ ký hiệu tốn học để trình bày lời giải, cụ thể là: Xét phương trình

  3 2 2 (3 4) 0 2 2 3 4 0 x  mx  m x  x x  mx m  2 0 2 3 4 0 (**) x x mx m          y(x1) y(x2) x2 x1 y(x1) y(x2) x2 x1

- Dễ thấy, phương trình ln có một nghiệm x = 0 vì thế nên để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác 0

 (**) 2 2 1 0 3 4 0 4 3 4 0 0 2 .0 3 4 0 4 3 m m m m m m m m                                 - Vậy ; 4 4; 1 4;  3 3 m            

    thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Thành tố 4: GV cho HS đánh giá tồn bộ q trình phát hiện và GQVĐ; Tìm hiểu những khả năng mở rộng, đào sâu bài toán và ứng dụng kết quả.

Qua việc giải bài toán ở trên, HS phát hiện ra dạng bài toán và PP chung: “Tìm điều kiện để đồ thị của hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh”

Cách 1: Yêu cầu bài toán  ' 0

. 0 y CD CT y y       .

Tuy nhiên, khi giải bài tốn theo hướng này có thể gặp khó khăn khi biệt thức y' khơng có dạng đặc biệt dẫn đến nghiệm của phương trình ' 0y  khá cồng kềnh và phức tạp.

Cách 2: u cầu bài tốn  phương trình ' 0y  (*) có 3 nghiệm phân biệt. Cách giải này sẽ đơn giản hơn khi đã tìm được ở phương trình (*) một nghiệm x x 0. Bài tốn sẽ khó giải quyết nếu khơng tìm được một nghiệm

0

x x (cụ thể).

Có thể thấy ở đây GV và HS thực hiện dạy và học theo kiểu phát hiện và GQVĐ. Mặt khác, ta thấy rõ tác dụng đối với rèn luyện TDST, tư duy phê phán:

HS lựa chọn và giải bài tập theo cách 1 mà không giải theo cách 2 hoặc