Trong luận văn này, giả sử quá trình đồng bộ là hoàn hảo giữa các điểm cuối. Giả sử muốn gửi tín hiệu = [ , … , ] đến qua cơ chế AF. Quá trình truyền từ nguồn đến đích diễn ra qua hai giai đoạn, gọi là pha I và II, mỗi giai đoạn gồm T khe thời gian liên tiếp. Pha I, bộ phát phát tín hiệu s đến các relay và destination. Tín hiệu nhận được tại ℝ và như sau:
= + , (3.2)
trong đó và lần lượt là nhiễu Gaussian độc lập với nhau tại relay và destination. Để thuận tiện, giả sử tất cả phương sai nhiễu là đặt là N0, , ∈ (0, ). Giới
hạn công suất phát là E{s s} = , với Ps là cơng suất phát trung bình của nguồn. Để khai thác khả năng thu phân tập của hệ thống relay, một phép biến đổi tuyến tính của ri, gọi là ti được thực hiện trên mỗi relay. Một mã phân tán tuyến tính dựa trên mã khơng - thời gian STC được đề xuất trong [18], trong đó ri đầu tiên được tiền mã hóa (precoding) bởi một ma trận unitary (PP = I ) sau đó được khuếch đại bởi hệ số thực nhằm giữ cho cơng suất phát trung bình của ℝ là . Mơ hình tiền mã hóa như sau:
= (∗), (3.3) trong đó (.)(*) nghĩa là là chính nó nếu relay thứ i hoạt động ở và bằng liên hợp phức nếu relay hoạt động ∗.
Cách chọn như sau:
Giới hạn công suất phát: { } =
Cơng suất nhận trung bình tại các relay:
{ } = (| | + )
được chọn sao cho công suất phát trung bình tại các relay là :
{ } = (| | + ) =
Khi đó:
Có hai phương pháp chọn αi như sau:
= | | , (3.4a) = , (3.4b)
Trong công thức đầu tiên có thể thay bằng giá trị ước lượng tuy nhiên cơng suất trung bình của các relay khơng cịn chính xác là nữa. Cơng thức thứ hai của được đề nghị do đó khơng phải là giá trị ngẫu nhiên trong khi vẫn giữ được ràng buộc về công suất. Ở đây, ta sử dụng cơng thức (3.4b) như trong tài liệu [3]. Tín hiệu thu tại
trong pha II:
= ∑ ℎ +
= (∗)+ ℎ (∗)+
= ΒΛw + , (3.5) với n ϵ (0, I) là vector nhiễu trắng phân bố Gaussian tại . Các biến còn lại
định nghĩa như sau:
= [ , … , ] , = ℎ (∗), = 1, … , ,
Λ= { , … , },
Β = (∗), (∗), … , (∗) , (3.6)
= ∑ ℎ (∗)+ .
Cov( |ℎ , = 1, … , ) = { }
= ( ℎ (∗)+ ( ℎ (∗)+
= (∑ |ℎ | | | + 1) I, (3.7)
Lưu ý P P = I. Vì thế, nhiễu tổng cộng, dưới một điều kiện cụ thể của ℎ, vẫn là nhiễu Gaussian nhưng với hiệp phương sai tỷ lệ với . Trong [18], với được thiết kế tốt, khả năng phân tập lớn nhất có thể đạt được bởi min{T,M} tại SNR cao. Ở đây ta giả sử T ≥ M [4].
3.2.2 Ước lượng kênh sử dụng chuỗi huấn luyện
Việc ước lượng kênh truyền tập trung vào việc ước lượng tại . Trong thực tế, có hai biện pháp ước lượng . Biện pháp đầu tiên là ước lượng riêng rẽ , ℎ sau đó tìm từ = ℎ (∗). Phương pháp này có vẻ đơn giản nhưng thực ra khó thực hiện, vì mỗi relay phải thêm giành ít nhất M khe thời gian để gửi giá trị ước lượng được từ relay sang destination để ước lượng ℎ . Trong truyền thực tế, công suất phát cho mỗi frame dữ liệu (gồm chuỗi huấn luyện và khối dữ liệu truyền) thường là hằng số, do đó việc tăng thêm các khe thời gian sẽ làm tăng lượng năng lượng tiêu tốn. Hơn nữa, việc truyền giá trị ước lượng được sẽ chịu nhiễu ảnh hưởng từ nhiễu tại destination và lỗi trong việc ước lượng ℎ.
Một phương pháp khác là kênh truyền tổng thể được ước lượng trực tiếp tại . Ta giả sử chiều dài chuỗi huấn luyện gửi từ là N (có thể khác với chuỗi dữ liệu kích thức T). Ký hiệu chuỗi huấn luyện là z, trong pha I, chuỗi huấn luyện này được phát quảng bá từ và được biến đổi tuyến tính tại mỗi relay trong pha II, trước khi được chuyển tiếp đến . Đặt ma trận tiền mã hóa kích thước × tại relay thứ i là A và định nghĩa [4]:
= (∗), (∗), … , (∗) , (3.8)
Mơ hình truyền tín hiệu với các cơng thức từ (3.1) đến (3.7) có thể được áp dụng trực tiếp:
Tín hiệu nhận được tại ℝ và :
= + , (3.9) = + , (3.10)
Biến đổi tuyến tính tại relay:
= (∗), (3.11) Tín hiệu thu tại trong pha II:
= ℎ +
= CΛw + , (3.12) với: C = (∗), (∗), … , (∗) , là ma trận kích thước ×
Λ= { , … , }, là ma trận khuếch đại kích thước ×
= ∑ ℎ (∗)+ .
Trong suốt q trình huấn luyện, giới hạn cơng suất là ≤ = . 3.3 Ước lượng kênh truyền
Trong phương pháp ước lượng LS của w được tìm sao cho tỷ số ( ) = ( − CΛw)( − CΛw) tối thiểu.
Khai triển ( ) ta có:
( ) = − 2 (CΛw) + CΛw(CΛw) ( )= −2(CΛ) + 2(CΛ) CΛw
Cho ( )= 0 ta tìm được giá trị ước lượng w :
w = Λ (C C) C = w +Δw (3.13) với:
Δw = Λ (C C) C (3.14) Hiệp phương sai của Δw khi đó là:
Cov Δw g(∗), ℎ = (∑ |ℎ | | | + 1) ×Λ (C C) Λ , (3.15)
với : g(∗) = [ (∗), … , (∗)]
ℎ = [ℎ , … , ℎ ] . Lỗi ước lượng kênh:
= |ℎ | | | + 1 ×Λ (C C) Λ
= (∑ |ℎ | | | + 1) (C C) Λ (3.16) Tối ưu chuỗi huấn luyện trong phương pháp LS:
Do Λ là ma trận hằng số, nên việc tối ưu phụ thuộc và sự thay đổi của C. Lưu ý do tất cả giá trị trên đường chéo chính của ma trận C khơng được lớn hơn , bài toán tối ưu trở thành tối ưu có ràng buộc như sau:
min , (Λ (C C) Λ ). (3.17)
Với ràng buộc: [C C] ≤ , = 1, … , . Ta sẽ chứng minh giá trị tối ưu của C C trong công thức (3.17) là I
Đầu tiên ta cần chứng minh C C là ma trận đường chéo. Sử dụng bất đẳng thức sau cho ma trận bất kỳ xác định dương F kích thước × [4]:
tr(F ) ≥ ∑ ([F] ) , (3.18)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi F là ma trận đường chéo.
Giả sử C là giá trị tối ưu và định nghĩa D = C C . Khi đó, giả sử D khơng phải là ma trận đường chéo, gọi D = diag{D }, suy ra [D ] phải nhỏ hơn hoặc bằng . Lúc đó D thỏa với (3.17) là giá trị tối thiểu.
Đặt: F = ΛD Λ
Ma trận đường chéo của F cho bởi:
F = diag{F} =ΛD Λ. (3.19) Sử dụng bất đẳng thức (3.18) ta được:
Λ D Λ = tr(F ) < (F ) = Λ D Λ Điều này trái với giả sử D thỏa (3.17) là giá trị tối thiểu.
Suy ra giả sử ma trận tối ưu D không phải ma trận đường chéo là sai, vậy giá trị tối ưu của C C phải là ma trận đường chéo. Từ điều kiện ràng buộc trong (3.17), ta kết luận lựa chọn tối ưu là:
C C = . (3.20)
Như vậy, chuỗi huấn luyện z và ma trận precoding được thiết kế sao cho thỏa điều kiện:
(∗) A A (∗) = 0; ế ≠
; ế = (3.21)
Có nhiều lựa chọn với ma trận z và A thỏa (3.21), ở đây chuỗi huấn luyện z được chọn = với là vector × 1 với tất cả các thành phần bằng 1 và ma trận
thiết kế dựa trên mã không thời gian bán trực giao (QOSTC) [4].
Với điều kiện huấn luyện tối ưu thỏa (3.21), ước lượng LS ở (3.13) trở thành:
w = Λ C = w + Λ C . (3.22) Lỗi ước lượng kênh truyền với điều kiện huấn luyện tối ưu:
= ∑ | | | | ×Λ . (3.23)
Khi đó MSE của mỗi là:
( |ℎ, ) = ∑ | | ; (3.24)
Thay Cov(n ) = (∑ |ℎ | | | + 1) I bởi giá trị kì vọng của nó, ta được
Cov(n ) = (∑ | | + 1) I (3.25)
( ) = + ∑ | | + + , (3.26)
với = .
Ta có thể nhận thấy thành phần thứ hai trong công thức (3.26) là phần méo dạng do các relay khác đồng thời gửi nhiễu của chuỗi huấn luyện đến bộ thu.
3.3.2 Phương pháp LS mở rộng SLS (Scaled LS)
Dễ dàng nhận thấy ước lượng LS không nhất thiết phải hạn chế tối đa các lỗi ước lượng kênh bởi vì mục tiêu của nó là để giảm thiểu các lỗi ước lượng tín hiệu chứ khơng phải là lỗi ước lượng kênh. Do đó, ta có thể sử dụng thêm tỷ số γ để giảm bớt lỗi ước lượng kênh như trong tài liệu [19].
Sử dụng ý tưởng này ta biểu diễn lỗi ước lượng kênh dưới dạng:
{‖ − ‖ } (3.27)
với giá trị ước lượng LS trong (3.13), là hệ số nhân, ‖. ‖ là Frobenius norm được định nghĩa:
‖ ‖ = ( ).
Thay vào (3.27), kết hợp công thức (3.13), ta được:
{‖ − ‖ } = ( {( − )( − ) }) = − +Λ (C C) C − +Λ (C C) C = (1 − ) − Λ (C C) C (1 − ) − Λ (C C) C = (1 − ) { } − Λ (C C) C Λ (C C) C
Gọi ma trận covariance của h và g lần lượt là R và R (∗). Giả sử các kênh truyền
trong pha I và pha II độc lập với nhau, ma trận covariance của w khi đó là :
= { } = R (∗)⨀R (3.28) với ⨀ là tích Hadamard. Thay vào cơng thức trên ta được Rw:
{‖ − ‖ } = (1 − ) − Λ (C C) Λ { } = (1 − ) − Λ (C C) Λ { } = (1 − ) { } + |ℎ | | | + 1 ×Λ (C C) Λ = (1 − ) { } + = ( + { }) + { } − 2 { } =[ ( + { }) + { } − 2 { }][ { } + ] { } + = ( + { }) − 2 { }( { } + ) + ( { }) + { } { } + = ( { } + ) ( + { }) − { }{ } + + { } { } + = ( { } + ) − { {} } + { }{ }. (3.29)
Biểu thức (3.29) đạt cực tiểu với:
= { {} } (3.30) Và giá trị nhỏ nhất của (3.29) là:
= min {‖ − ‖ } = {‖ − ‖ } = { }{ } < . (3.31)
Nghĩa là lỗi ước lượng bằng phương pháp SLS luôn nhỏ hơn so với lỗi ước lượng khi sử dụng phương pháp LS.
Từ (3.13), (3.16) và (3.30), kênh truyền ước lượng bằng phương pháp SLS được tính như sau :
= = ∑ | | { (} ) Λ { }Λ (C C) C . (3.32) Tối ưu chuỗi huấn luyện trong phương pháp SLS:
Ma trận huấn luyện tối ưu của phương pháp ước lượng kênh SLS có thể tìm bằng cách giải quyết bài tốn tối ưu có điều kiện:
min Với ràng buộc: [C C] ≤ , = 1, … , . (3.33) Vì { } > 0, từ (3.31) ta nhận thấy là hàm tăng đơn điệu theo . Lưu ý
{ } khơng phải là hàm theo C, do đó là giá trị duy nhất trong (3.27) phụ thuộc
và C. Nghĩa là bài toán tối ưu (3.33) và (3.17) là tương đương, do đó giá trị tối ưu của ma trận huấn luyện trong phương pháp SLS giống với ước lượng LS.
Kết hợp (3.23) và (3.31), ta tìm được MSE của ước lượng SLS dưới điều kiện tối ưu : min = ∑ ×Λ { } ∑ ×Λ { } (3.34)
MSE của mỗi là:
Trong công thức (3.32), giá trị bộ ước lượng SLS là hàm phụ thuộc vào { }.
Do đó yêu cầu sử dụng của phương pháp SLS là giá trị này phải được biết (hoặc được ước lượng sơ bộ)
Trên thực tế, yêu cầu phải biết { } khi sử dụng phương pháp SLS có thể tránh
bằng cách sử dụng ước lượng thích hợp dựa trên kết quả ước lượng LS:
= { } (3.36)
thay cho { } trong công thức (3.32).
Trong trường hợp huấn luyện tối ưu (3.20), ta có:
= Λ C Λ C = Λ (3.37)
Kết quả của bộ ước lượng này gọi là ước lượng LS-SLS. 3.3.3 Phương pháp MMSE
Bộ ước lượng MMSE tối thiểu MSE của wi [2]. Phương pháp này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
= . (3.38)
với là giá trị sao cho MSE là tối thiểu
= arg min {‖ − ‖ }
= arg min {‖ − ‖ } (3.39)
Sử dụng (3.12) ta có:
= tr R w E tr wd S2H HE tr Sd 2wHE tr Sd d S 2 2H H (3.40) Giá trị tối ưu S có thể được tính bằng cách cho = 0
Kết quả: = 1 2 2 w H w H 0 M 1 hi i i R C C R C N I (3.41) Thay vào (3.34) ta có: = ΛC (CΛ ΛC + (∑ | | + 1) ) . (3.42)
Hiệp phương sai của lỗi của bộ ước lượng là :
(Δw) = ( + ∑ ( | | )ΛC CΛ) (3.43) Tối ưu chuỗi huấn luyện trong phương pháp MMSE:
Bài toán tối ưu chuỗi huấn luyện :
min , (Λ (C C) Λ ) (3.44) Với ràng buộc: [C C] ≤ , = 1, … , .
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange ta có hàm Lagrange cho đường chéo chính:
( , ) = + ∑ ( | | )ΛC CΛ + ∑ ( ( C Ce ) − ),
(3.45) với là hệ số Lagrange ei là cột thứ i của ma trận đơn vị kích thước × .
Đặt = ∑ ( | | + 1), ta có:
( , ) = + ΛC CΛ + ∑ ( ( C Ce ) − ), (3.46)
Để tối thiểu (3.46) ta sử dụng bổ đề sau [4]:
Bổ đề: Nếu một ma trận vuông F là một bộ phận của một ma trận vuông, = ∆ +
, chuỗi sau là đúng:
{ }
= ∗ ∗ { } , (3.47)
với M là ma trận hằng số và ∆ ma trận hằng số xác định dương.
Chứng minh: Trước tiên ta xét trường hợp đặt biệt = với N là ma trận hằng số. Mở rộng biểu thức trên cho thành phần thứ (i,j) của G là
[ ] = ∑ ∑ [ ] [ ] [ ] .
[ ]
[ ] = [ ] [ ] . (3.48)
Áp dụng vi phân mở rộng cho chuỗi như trong tài liệu [4] ta được kết quả sau:
( )
= [ ]( )= [ ]( ) [ ][ ] = [ ]( )[ ] [ ]
= ( ) . (3.49)
Tương đương ta suy ra:
( ) = ( ) . (3.50)
Từ biểu thức (3.47), sử dụng các phương trình vi phân cho ma trận sau:
( )
= ∗ (3.51a) { }
= − = − . (3.51b) Thay = , = + ΛC CΛ , = Λ vào (3.47) và áp dụng công thức (3.51b) trên ta được: Λ Λ (3.52) = −1 ∗Λ + 1ΛC CΛ + 1ΛC CΛ Λ = − ∗Λ + ΛC CΛ Λ. (3.53) Dùng cơng thức (3.51a) tính biểu thức thứ 2 trong (3.46):
= C e . (3.54)
Công thức (3.46) trở thành: ( , )
= ∗ ∑ e − Λ + ΛC CΛ Λ (3.55) Giá trị tối ưu là giá trị C thỏa mãn ( , ) = 0. Vì C là ma trận vuông và full rank, ta
được:
Với Ω= diag β , β , … , β . (3.57)
Để được dạng tường minh của + ΛC CΛ, ta phân tích riêng cơng thức thành:
+ ΛC CΛ= Σ . (3.58)
Ta được:
Ω = Σ , (3.59)
Σ bằng Ω. Do đó
+ ΛC CΛ= Ω ⁄ . (3.60)
Gọi , là ma trận đường chéo tạo bởi đường chéo chính của . Khi đó :
⁄ = diag ⁄ = , + diag{C C} = , + . (3.61)
Giá trị tối ưu CHC lấy từ biểu thức :
C C = ⁄ − = E I − , , (3.62)
Với , là ma trận còn lại sau khi cho tất cả các thành phần đường chéo chính của ma trận bằng 0. Tuy nhiên, ta cần thêm điều kiện = ≥ 0 để tìm giá trị tối
ưu thật sự. Do đó, cơng thức (3.62) là tối ưu chỉ khi E I − , ≥ 0. Điều
kiện được thỏa mãn trong 2 mơ hình sau: Trường hợp 1:
Khi kênh truyền không tương quan với nhau, nghĩa là là ma trận đường chéo. Từ = { } = R (∗)⨀R , ma trận là ma trận đường chéo khi một trong hai ma trận R (∗) hoặc R là ma trận đường chéo. Nói cách khác, nếu các kênh
truyền từ source đến các relay hoặc kênh truyền từ các relay đến destination không tương quan với nhau thì là ma trận đường chéo. Trong trường hợp này, giá trị tối ưu của C C là E I (trùng với huấn luyện tối ưu trong phương pháp ước lượng LS). Khi đó, hiệp phương sai của ma trận lỗi là:
(∆ ) = + , (3.63)
Và lỗi ước lượng cho mỗi được tính như sau:
( ) =| | ∑∑ . (3.64)
So sánh với cơng thức tính MSE của phương pháp LS (3.26), dễ dàng nhận thấy MSE trong công thức (3.64) nhỏ hơn.
Trường hợp 2:
Khi SNR đủ lớn thỏa điều kiện E I − , ≥ 0. Hiệp phương sai của
ma trận lỗi là:
(∆ ) = , + , (3.65)
Và lỗi ước lượng cho mỗi được tính:
( ) =| | ∑ ∑ . (3.66)
Với là thành phần thứ i của đường chéo chính của ma trận . Tương tự như trường hợp trên, MSE trong (3.66) nhỏ hơn (3.26).
Chương này ta đã tính tốn xong các kỹ thuật ước lượng kênh trong mạng hợp tác : LS, SLS và MMSE, đồng thời tối ưu chuỗi huấn luyện. Chương tiếp theo, ta sẽ mô phỏng các phương pháp ước lượng kể trên để làm sáng tỏ các kết quả trên.
CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
Để kiểm tra tính chính xác của ước lượng, trong chương này, ta sẽ mô phỏng kết quả ước lượng kênh truyền sử dụng các bộ ước lượng khác nhau cũng như tối ưu chuỗi huấn luyện theo các kịch bản khác nhau.
Trong đó khối ước lượng kênh truyền được tính như sau:
Các kênh truyền , ℎ và nhiễu tại các relay và bộ thu giả sử là kênh truyền Rayleigh với các phần tử là các biến ngẫu nhiễn phức phân bố Gaussian xác định độc lập (i.i.d) với trung bình bằng 0 và phương sai đơn vị. Các ma trận hiệp phương sai R và R được xây dựng theo cấu trúc :
R , = | |, [R ] , = | | (4.1) với và là hai số thực.
Vì là hàm đối xứng nên R (∗) dễ dàng tìm được từ R . Để thuận tiện ta cho = = trong các mơ phỏng. Tỉ số tín hiệu trên nhiễu được định là = × = .
Ở đây ma trận tiền mã hóa 4 × 4 và 8 × 8 sử dụng trong mô phỏng được thiết kế dựa trên mã không – thời gian bán trực giao (QOSTC). Ma trận QOSTC B kích thước
4 × 4 cho trong [21] như sau:
* * 1 2 3 4 * * 2 1 4 3 * * 3 4 1 2 * * 4 3 2 1 . s s s s s s s s B s s s s s s s s (4..2) khi đó : 2 I, A 2 0 1 0 0 1 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 1 0 A 3 0 0 1 0 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 1 0 0 A 4 0 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 0 A
Trong mô phỏng, các đánh giá ước lượng kênh theo hai tham số MSE trung bình và tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SNR). Số bước lặp Monte-Carlo là 1000 và lấy kết quả trung