CHƯƠNG 3 : ƯỚC LƯỢNG KÊNH TRUYỀN TRONG MẠNG HỢP TÁC AF
3.2 Mơ hình hệ thống
3.3.1 Phương pháp LS
Trong phương pháp ước lượng LS của w được tìm sao cho tỷ số ( ) = ( − CΛw)( − CΛw) tối thiểu.
Khai triển ( ) ta có:
( ) = − 2 (CΛw) + CΛw(CΛw) ( )= −2(CΛ) + 2(CΛ) CΛw
Cho ( )= 0 ta tìm được giá trị ước lượng w :
w = Λ (C C) C = w +Δw (3.13) với:
Δw = Λ (C C) C (3.14) Hiệp phương sai của Δw khi đó là:
Cov Δw g(∗), ℎ = (∑ |ℎ | | | + 1) ×Λ (C C) Λ , (3.15)
với : g(∗) = [ (∗), … , (∗)]
ℎ = [ℎ , … , ℎ ] . Lỗi ước lượng kênh:
= |ℎ | | | + 1 ×Λ (C C) Λ
= (∑ |ℎ | | | + 1) (C C) Λ (3.16) Tối ưu chuỗi huấn luyện trong phương pháp LS:
Do Λ là ma trận hằng số, nên việc tối ưu phụ thuộc và sự thay đổi của C. Lưu ý do tất cả giá trị trên đường chéo chính của ma trận C khơng được lớn hơn , bài toán tối ưu trở thành tối ưu có ràng buộc như sau:
min , (Λ (C C) Λ ). (3.17)
Với ràng buộc: [C C] ≤ , = 1, … , . Ta sẽ chứng minh giá trị tối ưu của C C trong công thức (3.17) là I
Đầu tiên ta cần chứng minh C C là ma trận đường chéo. Sử dụng bất đẳng thức sau cho ma trận bất kỳ xác định dương F kích thước × [4]:
tr(F ) ≥ ∑ ([F] ) , (3.18)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi F là ma trận đường chéo.
Giả sử C là giá trị tối ưu và định nghĩa D = C C . Khi đó, giả sử D khơng phải là ma trận đường chéo, gọi D = diag{D }, suy ra [D ] phải nhỏ hơn hoặc bằng . Lúc đó D thỏa với (3.17) là giá trị tối thiểu.
Đặt: F = ΛD Λ
Ma trận đường chéo của F cho bởi:
F = diag{F} =ΛD Λ. (3.19) Sử dụng bất đẳng thức (3.18) ta được:
Λ D Λ = tr(F ) < (F ) = Λ D Λ Điều này trái với giả sử D thỏa (3.17) là giá trị tối thiểu.
Suy ra giả sử ma trận tối ưu D không phải ma trận đường chéo là sai, vậy giá trị tối ưu của C C phải là ma trận đường chéo. Từ điều kiện ràng buộc trong (3.17), ta kết luận lựa chọn tối ưu là:
C C = . (3.20)
Như vậy, chuỗi huấn luyện z và ma trận precoding được thiết kế sao cho thỏa điều kiện:
(∗) A A (∗) = 0; ế ≠
; ế = (3.21)
Có nhiều lựa chọn với ma trận z và A thỏa (3.21), ở đây chuỗi huấn luyện z được chọn = với là vector × 1 với tất cả các thành phần bằng 1 và ma trận
thiết kế dựa trên mã không thời gian bán trực giao (QOSTC) [4].
Với điều kiện huấn luyện tối ưu thỏa (3.21), ước lượng LS ở (3.13) trở thành:
w = Λ C = w + Λ C . (3.22) Lỗi ước lượng kênh truyền với điều kiện huấn luyện tối ưu:
= ∑ | | | | ×Λ . (3.23)
Khi đó MSE của mỗi là:
( |ℎ, ) = ∑ | | ; (3.24)
Thay Cov(n ) = (∑ |ℎ | | | + 1) I bởi giá trị kì vọng của nó, ta được
Cov(n ) = (∑ | | + 1) I (3.25)
( ) = + ∑ | | + + , (3.26)
với = .
Ta có thể nhận thấy thành phần thứ hai trong công thức (3.26) là phần méo dạng do các relay khác đồng thời gửi nhiễu của chuỗi huấn luyện đến bộ thu.