CHƯƠNG 3 : ƯỚC LƯỢNG KÊNH TRUYỀN TRONG MẠNG HỢP TÁC AF
3.2 Mơ hình hệ thống
3.3.2 Phương pháp LS mở rộng SLS (Scaled LS)
Dễ dàng nhận thấy ước lượng LS không nhất thiết phải hạn chế tối đa các lỗi ước lượng kênh bởi vì mục tiêu của nó là để giảm thiểu các lỗi ước lượng tín hiệu chứ khơng phải là lỗi ước lượng kênh. Do đó, ta có thể sử dụng thêm tỷ số γ để giảm bớt lỗi ước lượng kênh như trong tài liệu [19].
Sử dụng ý tưởng này ta biểu diễn lỗi ước lượng kênh dưới dạng:
{‖ − ‖ } (3.27)
với giá trị ước lượng LS trong (3.13), là hệ số nhân, ‖. ‖ là Frobenius norm được định nghĩa:
‖ ‖ = ( ).
Thay vào (3.27), kết hợp công thức (3.13), ta được:
{‖ − ‖ } = ( {( − )( − ) }) = − +Λ (C C) C − +Λ (C C) C = (1 − ) − Λ (C C) C (1 − ) − Λ (C C) C = (1 − ) { } − Λ (C C) C Λ (C C) C
Gọi ma trận covariance của h và g lần lượt là R và R (∗). Giả sử các kênh truyền
trong pha I và pha II độc lập với nhau, ma trận covariance của w khi đó là :
= { } = R (∗)⨀R (3.28) với ⨀ là tích Hadamard. Thay vào công thức trên ta được Rw:
{‖ − ‖ } = (1 − ) − Λ (C C) Λ { } = (1 − ) − Λ (C C) Λ { } = (1 − ) { } + |ℎ | | | + 1 ×Λ (C C) Λ = (1 − ) { } + = ( + { }) + { } − 2 { } =[ ( + { }) + { } − 2 { }][ { } + ] { } + = ( + { }) − 2 { }( { } + ) + ( { }) + { } { } + = ( { } + ) ( + { }) − { }{ } + + { } { } + = ( { } + ) − { {} } + { }{ }. (3.29)
Biểu thức (3.29) đạt cực tiểu với:
= { {} } (3.30) Và giá trị nhỏ nhất của (3.29) là:
= min {‖ − ‖ } = {‖ − ‖ } = { }{ } < . (3.31)
Nghĩa là lỗi ước lượng bằng phương pháp SLS luôn nhỏ hơn so với lỗi ước lượng khi sử dụng phương pháp LS.
Từ (3.13), (3.16) và (3.30), kênh truyền ước lượng bằng phương pháp SLS được tính như sau :
= = ∑ | | { (} ) Λ { }Λ (C C) C . (3.32) Tối ưu chuỗi huấn luyện trong phương pháp SLS:
Ma trận huấn luyện tối ưu của phương pháp ước lượng kênh SLS có thể tìm bằng cách giải quyết bài tốn tối ưu có điều kiện:
min Với ràng buộc: [C C] ≤ , = 1, … , . (3.33) Vì { } > 0, từ (3.31) ta nhận thấy là hàm tăng đơn điệu theo . Lưu ý
{ } không phải là hàm theo C, do đó là giá trị duy nhất trong (3.27) phụ thuộc
và C. Nghĩa là bài toán tối ưu (3.33) và (3.17) là tương đương, do đó giá trị tối ưu của ma trận huấn luyện trong phương pháp SLS giống với ước lượng LS.
Kết hợp (3.23) và (3.31), ta tìm được MSE của ước lượng SLS dưới điều kiện tối ưu : min = ∑ ×Λ { } ∑ ×Λ { } (3.34)
MSE của mỗi là:
Trong công thức (3.32), giá trị bộ ước lượng SLS là hàm phụ thuộc vào { }.
Do đó yêu cầu sử dụng của phương pháp SLS là giá trị này phải được biết (hoặc được ước lượng sơ bộ)
Trên thực tế, yêu cầu phải biết { } khi sử dụng phương pháp SLS có thể tránh
bằng cách sử dụng ước lượng thích hợp dựa trên kết quả ước lượng LS:
= { } (3.36)
thay cho { } trong công thức (3.32).
Trong trường hợp huấn luyện tối ưu (3.20), ta có:
= Λ C Λ C = Λ (3.37)
Kết quả của bộ ước lượng này gọi là ước lượng LS-SLS. 3.3.3 Phương pháp MMSE
Bộ ước lượng MMSE tối thiểu MSE của wi [2]. Phương pháp này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
= . (3.38)
với là giá trị sao cho MSE là tối thiểu
= arg min {‖ − ‖ }
= arg min {‖ − ‖ } (3.39)
Sử dụng (3.12) ta có:
= tr R w E tr wd S2H HE tr Sd 2wHE tr Sd d S 2 2H H (3.40) Giá trị tối ưu S có thể được tính bằng cách cho = 0
Kết quả: = 1 2 2 w H w H 0 M 1 hi i i R C C R C N I (3.41) Thay vào (3.34) ta có: = ΛC (CΛ ΛC + (∑ | | + 1) ) . (3.42)
Hiệp phương sai của lỗi của bộ ước lượng là :
(Δw) = ( + ∑ ( | | )ΛC CΛ) (3.43) Tối ưu chuỗi huấn luyện trong phương pháp MMSE:
Bài toán tối ưu chuỗi huấn luyện :
min , (Λ (C C) Λ ) (3.44) Với ràng buộc: [C C] ≤ , = 1, … , .
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange ta có hàm Lagrange cho đường chéo chính:
( , ) = + ∑ ( | | )ΛC CΛ + ∑ ( ( C Ce ) − ),
(3.45) với là hệ số Lagrange ei là cột thứ i của ma trận đơn vị kích thước × .
Đặt = ∑ ( | | + 1), ta có:
( , ) = + ΛC CΛ + ∑ ( ( C Ce ) − ), (3.46)
Để tối thiểu (3.46) ta sử dụng bổ đề sau [4]:
Bổ đề: Nếu một ma trận vuông F là một bộ phận của một ma trận vuông, = ∆ +
, chuỗi sau là đúng:
{ }
= ∗ ∗ { } , (3.47)
với M là ma trận hằng số và ∆ ma trận hằng số xác định dương.
Chứng minh: Trước tiên ta xét trường hợp đặt biệt = với N là ma trận hằng số. Mở rộng biểu thức trên cho thành phần thứ (i,j) của G là
[ ] = ∑ ∑ [ ] [ ] [ ] .
[ ]
[ ] = [ ] [ ] . (3.48)
Áp dụng vi phân mở rộng cho chuỗi như trong tài liệu [4] ta được kết quả sau:
( )
= [ ]( )= [ ]( ) [ ][ ] = [ ]( )[ ] [ ]
= ( ) . (3.49)
Tương đương ta suy ra:
( ) = ( ) . (3.50)
Từ biểu thức (3.47), sử dụng các phương trình vi phân cho ma trận sau:
( )
= ∗ (3.51a) { }
= − = − . (3.51b) Thay = , = + ΛC CΛ , = Λ vào (3.47) và áp dụng công thức (3.51b) trên ta được: Λ Λ (3.52) = −1 ∗Λ + 1ΛC CΛ + 1ΛC CΛ Λ = − ∗Λ + ΛC CΛ Λ. (3.53) Dùng cơng thức (3.51a) tính biểu thức thứ 2 trong (3.46):
= C e . (3.54)
Công thức (3.46) trở thành: ( , )
= ∗ ∑ e − Λ + ΛC CΛ Λ (3.55) Giá trị tối ưu là giá trị C thỏa mãn ( , ) = 0. Vì C là ma trận vng và full rank, ta
được:
Với Ω= diag β , β , … , β . (3.57)
Để được dạng tường minh của + ΛC CΛ, ta phân tích riêng cơng thức thành:
+ ΛC CΛ= Σ . (3.58)
Ta được:
Ω = Σ , (3.59)
Σ bằng Ω. Do đó
+ ΛC CΛ= Ω ⁄ . (3.60)
Gọi , là ma trận đường chéo tạo bởi đường chéo chính của . Khi đó :
⁄ = diag ⁄ = , + diag{C C} = , + . (3.61)
Giá trị tối ưu CHC lấy từ biểu thức :
C C = ⁄ − = E I − , , (3.62)
Với , là ma trận còn lại sau khi cho tất cả các thành phần đường chéo chính của ma trận bằng 0. Tuy nhiên, ta cần thêm điều kiện = ≥ 0 để tìm giá trị tối
ưu thật sự. Do đó, cơng thức (3.62) là tối ưu chỉ khi E I − , ≥ 0. Điều
kiện được thỏa mãn trong 2 mơ hình sau: Trường hợp 1:
Khi kênh truyền không tương quan với nhau, nghĩa là là ma trận đường chéo. Từ = { } = R (∗)⨀R , ma trận là ma trận đường chéo khi một trong hai ma trận R (∗) hoặc R là ma trận đường chéo. Nói cách khác, nếu các kênh
truyền từ source đến các relay hoặc kênh truyền từ các relay đến destination khơng tương quan với nhau thì là ma trận đường chéo. Trong trường hợp này, giá trị tối ưu của C C là E I (trùng với huấn luyện tối ưu trong phương pháp ước lượng LS). Khi đó, hiệp phương sai của ma trận lỗi là:
(∆ ) = + , (3.63)
Và lỗi ước lượng cho mỗi được tính như sau:
( ) =| | ∑∑ . (3.64)
So sánh với cơng thức tính MSE của phương pháp LS (3.26), dễ dàng nhận thấy MSE trong công thức (3.64) nhỏ hơn.
Trường hợp 2:
Khi SNR đủ lớn thỏa điều kiện E I − , ≥ 0. Hiệp phương sai của
ma trận lỗi là:
(∆ ) = , + , (3.65)
Và lỗi ước lượng cho mỗi được tính:
( ) =| | ∑ ∑ . (3.66)
Với là thành phần thứ i của đường chéo chính của ma trận . Tương tự như trường hợp trên, MSE trong (3.66) nhỏ hơn (3.26).
Chương này ta đã tính tốn xong các kỹ thuật ước lượng kênh trong mạng hợp tác : LS, SLS và MMSE, đồng thời tối ưu chuỗi huấn luyện. Chương tiếp theo, ta sẽ mô phỏng các phương pháp ước lượng kể trên để làm sáng tỏ các kết quả trên.
CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ MƠ PHỎNG
Để kiểm tra tính chính xác của ước lượng, trong chương này, ta sẽ mô phỏng kết quả ước lượng kênh truyền sử dụng các bộ ước lượng khác nhau cũng như tối ưu chuỗi huấn luyện theo các kịch bản khác nhau.
Trong đó khối ước lượng kênh truyền được tính như sau:
Các kênh truyền , ℎ và nhiễu tại các relay và bộ thu giả sử là kênh truyền Rayleigh với các phần tử là các biến ngẫu nhiễn phức phân bố Gaussian xác định độc lập (i.i.d) với trung bình bằng 0 và phương sai đơn vị. Các ma trận hiệp phương sai R và R được xây dựng theo cấu trúc :
R , = | |, [R ] , = | | (4.1) với và là hai số thực.
Vì là hàm đối xứng nên R (∗) dễ dàng tìm được từ R . Để thuận tiện ta cho = = trong các mơ phỏng. Tỉ số tín hiệu trên nhiễu được định là = × = .
Ở đây ma trận tiền mã hóa 4 × 4 và 8 × 8 sử dụng trong mơ phỏng được thiết kế dựa trên mã không – thời gian bán trực giao (QOSTC). Ma trận QOSTC B kích thước
4 × 4 cho trong [21] như sau:
* * 1 2 3 4 * * 2 1 4 3 * * 3 4 1 2 * * 4 3 2 1 . s s s s s s s s B s s s s s s s s (4..2) khi đó : 2 I, A 2 0 1 0 0 1 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 1 0 A 3 0 0 1 0 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 1 0 0 A 4 0 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 0 A
Trong mô phỏng, các đánh giá ước lượng kênh theo hai tham số MSE trung bình và tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SNR). Số bước lặp Monte-Carlo là 1000 và lấy kết quả trung bình MSE.
4.1 Ước lượng LS
Ở hình 4.1, ta trình bày MSE theo SNR của phương pháp ước lượng LS với chuỗi huấn luyện tối ưu, số pilot là N=8 và số relay thay đổi. Công suất của các relay được chọn như sau: { , 0.8 } đối với M=2, { , 0.8 , , 0.8 } đỗi với M=4 và
{ , 0.8 , , 0.8 , , 0.8 , , 0.8 } với M=8. Từ hình 4.1, ta nhận thấy số relay ảnh
hưởng đến việc ước lượng kênh truyền khi sử dụng cùng công suất cho nguồn và cơng suất trung bình trên các relay. Cụ thể với cùng số lượng pilot, khi tăng số lượng relay,
MSE của hệ thống sẽ tăng theo. Nguyên nhân cho việc suy giảm chất lượng của mạng chuyển tiếp AF là do các relay đồng thời khuếch đại thêm nhiễu và đồng thời gửi đến bộ thu.
Hình 4. 1: Ước lượng LS với M thay đổi
Hình 4.2 ta biểu diễn ước lượng LS tối ưu với số relay là cố định M=2, và số pilot N tăng dần từ 2-8. Từ hình 4.2, ta nhận thấy khi N tăng, MSE của ước lượng kênh giảm xuống.
Từ hình 4.1 và 4.2, chất lượng của ước lượng kênh suy giảm khi M tăng và tăng khi N tăng. Vậy khi cả N và M đều tăng, điều gì sẽ xảy ra?
Chất lượng kênh truyền với M, N khác nhau nhưng M=N được biểu diễn trong hình 4.3, dễ nhận thấy với M=N lớn cho chất lượng ước lượng kênh truyền tốt hơn
Hình 4. 2: Ước lượng LS với M thay đổi
Trong mơ phỏng tiếp theo (hình 4.4), ước lượng LS với ma trận tiền mã hóa được tối ưu và ma trận được tạo ngẫu nhiên được so sánh với nhau. Trong hình 4.4, ta nhận thấy ước lượng LS tối ưu (đường màu đỏ) cho MSE tốt hơn hẳn so với sử dụng ma trận precoding tạo ngẫu nhiên (đường màu xanh).
Hình 4. 4: Ước lượng LS với huấn luyện tối ưu và huấn luyện ngẫu nhiên
Trong truyền thông thực tế, vấn đề thường xảy ra là các relay khác nhau có cơng suất phát khác nhau do khác nhau về giao thức, loại thiết bị, ... Ta sẽ xem xét ảnh hưởng của việc phân bố công suất không cân bằng đến việc ước lượng kênh truyền.
Trong mô phỏng kế tiếp, ta xét bốn relay với ba mơ hình phân bố cơng suất tại relay khác nhau lần lượt là {0.8 , 0.8 , , }, mơ hình 2 {0.4 , 0.8 , , 1.4 }, mơ hình 3 là {0.2 , 0.4 , , 2 }. Công suất tổng cộng của các mơ hình là như nhau. Kết quả mô phỏng MSE theo SNR cho ba mơ hình trên cho bởi hình 4.5. Từ hình vẽ, dễ nhận thấy với phân bố công suất không đồng đều sẽ làm kém đi độ chính xác của việc ước lượng kênh truyền.
Hình 4. 5: Ước lư 4.2 Ước lượng SLS Tiếp theo ta sẽ xét đế Bảng 4.1 trình bày các thông s SLS : Thông s PP ước lượng
Công suất các relay v Công suất các relay v Công suất các relay v
= =
Bảng 4. 1: Thơng s
Hình 4.6, 4.7, 4.8 trình bày k
c lượng kênh LS: phân bố cơng suất relay không cân b
ến kết quả ước lượng kênh truyền sử dụng phương pháp SLS. 1 trình bày các thơng số được sử dụng trong ước lượng kênh dùng phương pháp
Thông số Giá trị SLS t các relay với M=2 { , 0.8 } các relay với M=4 { , 0.8 , , 0.8 } t các relay với M=8 { , 0.8 , , 0.8 , , 0.8 , 0.1
Thông số mô phỏng với phương pháp ước lượng SLS
8 trình bày kết quả ước lượng sử dụng phương pháp SLS v
t relay không cân bằng
ng phương pháp SLS. ng kênh dùng phương pháp } , , 0.8 } ợng SLS ng phương pháp SLS với các
relay thay đổi, dễ dàng nhận thấy với cùng số pilot như nhau, khi ta tăng số lượng relay trong hệ thống, kết quả ước lượng sẽ kém đi.
Ngược lại ở kịch bản hình 4.6, ta cố định số relay M=2, ta tăng dần số pilot ước lượng sử dụng, kết quả thể hiện trên hình 4.7, từ kết quả này, ta có thể thấy với số lượng relay là cố định khi ta sử dụng càng nhiều pilot ước lượng, kết quả ước lượng càng chính xác hơn. Điều này là phù hợp với lý thuyết.
Ở kết quả hình 4.8, ta cố định M=N và tăng dần tỷ số này lên, giống như trong phương pháp LS, khi tăng tỷ số M=N, chất lượng việc ước lượng kênh sẽ tăng lên.
Hình 4. 7: Ước lượng SLS với N thay đổi
Ở hình 4.9 trình bày kết quả mơ phỏng phương pháp ước lượng SLS có sử dụng tối ưu ma trận tiền mã hóa và ma trận tiền mã hóa được tạo ngẫu nhiên. Ở đây số relay và số pilot được cho bằng nhau, 3 trường hợp M=N=2, M=N=4, M=N=8 được xem xét. Với ước lượng có tối ưu huấn luyện, kết quả MSE tốt hơn so với huấn luyện ngẫu nhiên, trong đó với M=N=8 cho kết quả MSE tốt nhất. Trong phương pháp huấn luyện ngẫu nhiên, do ma trận được tạo ngẫu nhiên nên khi M=N tăng kết quả ước lượng không tốt giống như khi huấn luyện tối ưu.
Hình 4. 9: Ước lượng SLS với huấn luyện tối ưu và huấn luyện ngẫu nhiên
Kế tiếp, ta sẽ thay đổi công suất của các relay để theo dõi ảnh hưởng của việc phân bố công suất tại các relay ảnh hưởng đến chất lượng ước lượng kênh như thế nào. Bảng 4.2 miêu tả các thông số của việc ước lượng:
Thông số Giá trị
PP ước lượng SLS
Số relay và pilot M=N=4
Phân bố cơng suất relay mơ hình 1 {0.8 , 0.8 , , },