Hệ phương trình sai phân nhận được từ phương trình (3.1) được thành lập trên cơ sơ các quy tắc cân bằng: tổng tất cả dịng chảy vào và chảy ra từ một ơ phải bằng sự thay đổi thể tích nước cĩ trong ơ. Giả thiết rằng mật độ nước dưới đất là khơng đổi thì cân bằng dịng chảy cho một ơ được thể hiện bằng phương trình sau:
Luận văn thạc sĩ ngành ĐCTV HVTH: Võ Thanh Quân
å Qi
i
= S s Dh DV
Dt (3.2)
Qi: lượng nước chảy vào ơ (nếu chảy ra thì lấy giá trị âm) Ss: hệ số nhả nước, nĩ chính là giá trị Ss(x,y,z)
D V: giá trị biến thiên của h trong thời gian D t tại ơ lưới đang xét.
Hình dưới đây mơ tả cho một ơ lưới (i,j,k) và 6 ơ bên cạnh nĩ (i-1, j,k), (i+1,j,k), (i,j-1,k), (i,j+1,k), (i,j,k-1), (i,j,k+1) dịng chảy từ ơ (i,j,k) sang các ơ bên cạnh (ở đây ngầm định nếu dịng chảy đi vào ơ lượng nước chảy vào mang dấu dương, ngược lại thì dấu âm).
Hình 3.2. Ơ lưới i,j,k và 5 ơ bên cạnh
Theo định luật Darcy, lượng nước qi,j-1/2,k chảy từ ơ (i,j-1,k) vào ơ (i,j,k) sẽ được tính theo phương trình sau:
qi , j -1 / 2,k = KRi , j -1 / 2,kDci Dvk(hi , j ,k - hi , j -1,k )
Dr (3.3)
Trong đĩ:
- hi,j,k là cốt cao mực nước tại ơ (i,j,k)
j -1 / 2
1,k)
1,k)
- qi,j-1/2,k là thể tích nước chảy qua mặt tiếp giáp giữa ơ (i,j,k) và ơ (i,j-
- KRi,j-1/2,k là hệ số thấm dọc theo dịng chảy giữa các nút (i,j,k) và (i,j-
Luận văn thạc sĩ ngành ĐCTV HVTH: Võ Thanh Quân GVHD: PGS. TS. Nguyễn Việt Kỳ
- D r j-1/2 là khoảng cách giữa các nút lưới (i,j,k) và (i,j-1,k)
Tương tự ta cĩ các phương trình cân bằng tính cho các nút lưới lân cận khác. Dịng chảy chảy qua giữa các nút lưới (i,j,k) và (i,j-1,k) sẽ là:
qi , j +1 / 2,k = KRi , j +1 / 2,kDci Dvk(hi , j +1,k - hi , j ,k )
Dr (3.4)
j +1 / 2
Dịng chảy chảy qua giữa các nút lưới (i,j,k) và (i+1,j,k) sẽ là:
qi +1 / 2, j ,k = KCi +1 / 2, j ,kDrj Dvk(hi +1, j ,k - hi , j ,k
)
Dc
(3.5)
i +1 / 2
Và từ nút lưới (i-1,j,k) vào (i,j,k) là:
qi -1 / 2, j ,k = KCi - / 2, j ,kDrj Dvk (hi , j ,k - hi -1, j ,k
)
Dc
(3.6)
i -1 / 2
Dịng chảy theo phương thẳng đứng qua nút lưới (i,j,k) và (i,j,k+1) là:
qi , j ,k +1 / 2 = KVi , j ,k +1 / 2 Drj Dci(hi , j ,k +1 - hi , j ,k
)
Dv
(3.7)
k +1 / 2
Và từ nút lưới (i,j,k-1) và (i,j,k) là:
qi , j ,k -1 / 2 = KVi , j ,k -1 / 2 Drj Dci(hi , j ,k - hi , j ,k -1
)
Dv
(3.8)
k -1 / 2
Nếu chúng ta thay tích số kích thước các bước lưới và hệ số thấm bằng giá trị sức cản thấm nào đĩ, chẳng hạn như sức cản thấm theo phương nằm ngang từ nút lưới (i,j-1,k) và (i,j,k) sẽ là:
CRi , j -1 / 2,k = KVi , j -1 / 2,k Dci Dvk / Dr j -1 / 2 (3.9)
Trong đĩ:
- CRi,j-1/2,k: sức cản thấm trong hàng thứ i, lớp thứ k giữa các nút lưới (i,j-1,k) và (i,j,k).
Tương tự như vậy ta cĩ các giá trị sức cản thấm tương ứng. Thay chúng vào hệ phương trình (3.8) ta sẽ cĩ hệ phương trình sau:
Luận văn thạc sĩ ngành ĐCTV HVTH: Võ Thanh Quân
Luận văn thạc sĩ ngành ĐCTV HVTH: Võ Thanh Quân GVHD: PGS. TS. Nguyễn Việt Kỳ qi -1 / 2, j ,k = CCi -1 / 2, j ,k (hi -1, j ,k - hi , j ,k ) (3.12) qi +1 / 2, j ,k = CCi +1 / 2, j ,k (hi +1, j ,k - hi , j ,k ) (3.13) qi , j ,k -1 / 2 = CVi , j ,k -1 / 2 (hi , j ,k -1 - hi , j ,k ) qi , j ,k +1 / 2 = CVi , j ,k +1 / 2 (hi , j ,k +1 - hi , j ,k ) (3.14) (3.15)
Lưu lượng cung cấp cho ơ lưới từ biên cĩ thể được viết theo phương trình tổng quát sau:
ai,j,k,n = pi,j,k,nhi,j,k + qi,j,k,n (3.16) Trong đĩ:
- ai,j,k,n biểu diễn dịng chảy từ nguồn thứ n vào trong nút lưới (i,j,k) - hi,j,k mực nước của nút (i,j,k)
- pi,j,k,n, qi,j,k,n là các hệ số cĩ thứ nguyên (L2
t-1) và (L3t-1) tương ứng của phương trình.
Sau đây, chúng ta sẽ mơ tả một số điều kiện biên cĩ thể được viết dưới dạng tổng quát như trên:
Giả sử cĩ một ơ lưới nhận được cung cấp từ 2 nguồn: lỗ khoan và sơng. Đối với nguồn cấp thứ nhất (n=1) là từ lỗ khoan, lưu lượng dịng chảy từ lỗ khoan thường độc lập với mực nước, lúc đĩ hệ số pi,j,k,1 = 0 và qi,j,k,1 là lưu lượng của lỗ khoan. Lúc này phương trình điều kiện biên cĩ thể được viết:
ai,j,k,1 = qi,j,k,1 (3.17)
Đối với nguồn cấp thứ 2 (n=2), giả sử rằng mối quan hệ giữa tầng chứa nước và sơng thơng qua một giá trị sức cản thấm đáy lịng. Như vậy lưu lượng dịng thấm giữa sơng và nút lưới (i,j,k) sẽ tỷ lệ với mực nước của ơ lưới và mực nước trong sơng, hay là:
ai,j,k,2 = CRIVi,j,k,2(Ri,j,k – hi,j,k) (3.18) Trong đĩ:
- Ri,j,k là mực nước trong sơng - CRIVi,j,k,2 là giá trị sức cản thấm
Phương trình trên cĩ thể được biến đổi như sau:
Luận văn thạc sĩ ngành ĐCTV HVTH: Võ Thanh Quân
è ø
Như vậy thành phần thứ nhất của vế phải chính là pi,j,k,2 và thành phần thứ hai là là qi,j,k,2 .
Một cách tổng quát, nếu cĩ n nguồn cung cấp vào trong ơ lưới, lưu lượng tổng hợp QSi,j,k cĩ thể được viết như sau:
QSi,j,k = Pi,j,khi,j,k + Qi,j,k (3.20) Trong đĩ:
Pi,j,k = å pi,j,k,n và Qi,j,k = å qi,j,k,n
Thay hệ phương trình (3.10 – 3.15) và các phương trình điều kiện biên (3.20) vào phương trình (3.2) ta cĩ:
CRi,j-1/2,k (hi,j-1,k – hi,j,k) + CRi,j+1/2,k (hi,j+1,k – hi,j,k) + CCi-1/2,j,k (hi-1,j,k – hi,j,k) + CCi+1/2,j,k (hi+1,j,k – hi,j,k) + CVi,j,k-1/2 (hi,j,k-1 – hi,j,k) + CVi,j,k+1/2 (hi,j,k+1 – hi,j,k) +
Pi,j,k hi,j,k-1 + Qi,j,k = SSi,j,k ( D rj D cj D vk) D hi,j,k/ D t (3.21) Sai phân giá trị D hi,j,k/ D t ta cĩ:
ỉ Dh ư h m - h m-1 ç i , j ,k ÷ = i , j ,k i , j ,k (3.22) ç Dt ÷ m tm - tm -1 Trong đĩ : - tm và tm-1 thời điểm m và m-1
- hi,j,k và hi,j,km-1 là giá trị mực nước của ơ (i,j,k) tại thời điểm m và m-1 Thay phương trình trên vào hệ phương trình (3.21) từ bước thời gian tm-1 đến tm ta cĩ:
CRi,j-1/2,k (hmi,j-1,k – hmi,j,k) + CRi,j+1/2,k (hmi,j+1,k – hmi,j,k) +
CCi-1/2,j,k (hmi-1,j,k – hmi,j,k) + CCi+1/2,j,k (hmi+1,j,k – hmi,j,k) + (3.23) CVi,j,k-1/2 (hmi,j,k-1 – hmii,j,k) + CVi,j,k+1/2 (hmi,j,k+1 – hmi,j,k) +
Pi,j,k hmi,j,k-1 + Qi,j,k = SSi,j,k ( D rj D cj D vk)(hmi,j,k-h(m-1)i,j,k)/(tm-tm-1)
Phương trình trên sẽ được viết cho các ơ mà mực nước thay đối theo thời gian. Như vậy ta sẽ lập được một hệ phương trình cĩ số phương trình
Luận văn thạc sĩ ngành ĐCTV HVTH: Võ Thanh Quân GVHD: PGS. TS. Nguyễn Việt Kỳ
i,j,k
tương ứng với số ơ lưới. Giải hệ phương trình này với điều kiện biết được mực nước hm-1i,j,k (điều kiện ban đầu) ta sẽ xác định được mực nước hm . Cứ lần lượt như vậy ta cĩ thể xác định được mực nước cho bất kỳ thời điểm nào.
Hệ phương trình trên được giải bằng phương pháp lặp, người ta tiến hành chia nhỏ khoảng thời gian (tm-1, tm) kết quả nhận được là lời giải gần đúng của hệ phương trình.
Khi thời gian tăng lên thì h sẽ thay đổi. Khi h đạt được sự ổn định (chênh lệch h tính được giữa 2 bước thời gian kế cận nhau là nhỏ hơn một giá trị cho phép) thì mực nước đạt được sự cân bằng động và tại đây kết thúc quá trình tính tốn.
Để phương pháp lặp hội tụ, người ta chọn bước thời gian tăng theo cấp số nhân, khi đĩ thừa số 1/(tm-1 - tm) sẽ tiến nhanh tới 0, do đĩ các tổng cĩ liên quan tới thừa số này hội tụ. Cĩ thể hình dung cách giải hệ phương trình (3.23) bằng phương pháp lặp theo hình vẽ sau:
Luận văn thạc sĩ ngành ĐCTV HVTH: Võ Thanh Quân
Hình 3.3. Sơ đồ bước giải theo phương pháp lặp trong mơ hình