Vào một ngày của tháng 5 năm 1993, khi ấy Andrew Wiles đang ngồi một mình trong phòng làm việc với tâm trạng khó chịu. Hình như một số ít đường cong elliptic vốn đã lánh xa anh nay vẫn chẳng lại gần hơn chút nào. Anh vẫn chưa thể chứng minh được chúng là modula. Wiles cần chúng cũng phải là modula bởi nếu anh chứng minh được rằng tất cả các đường cong elliptic (bán ổn định) là modula thì Định lý cuối cùng của Fermat sẽ được suy ra từ đó. Làm được điều này đối với hầu hết các đường cong elliptic bán ổn định đã là một kết quả toán học lớn lao trong chính lý thuyết này, nhưng chưa đủ để anh đạt được mục đích của mình. Tạm ngừng công việc nghiên cứu căng thẳng mà chưa đi đến đâu để nghỉ ngơi chút ít, Wiles xem lại bài báo cũ của người thầy đáng kính Barry Mazur, Trường Đại học Harvard. Mazur đã có những khám phá đặt nền móng cho lý thuyết số. Những kết quả của ông đã
truyền cảm hứng cho nhiều chuyên gia trong lĩnh vực này, kể cả Ribet và Frey, những người mà công trình của họ đã mở đường cho cố gắng của Wiles. Bài báo của Mazur mà giờ đây Wiles đang đọc lại mở rộng lý thuyết các iđêan được khởi đầu bởi Kummer và Dedekind, và còn được tiếp tục bởi một nhà toán học thứ ba của thế kỷ XIX - Feldinand Gotthold Eisenstein (1823- 1852). Mặc dù mất sớm, Eisenstein đã có những cống hiến rất quan trọng cho sự phát triển của lý thuyết số. Thậm chí, Gauss đã nói, như người ta trích dẫn: "Chỉ có ba nhà toán học của thời đại: Archimedes, Newton và Eisenstein".
Bài báo của Mazur về iđêan Eisenstein có một dòng làm cho Wiles chú ý. Mazur nói rằng có thể chuyển từ một tập đường cong elliptic này đến một tập khác. Phép chuyển phải được thực hiện gắn liền với các số nguyên tố. Điều Mazur nói có nghĩa là nếu ta đang làm việc với các đường cong elliptic dựa trên số nguyên tố 3 thì có thể biến đổi chúng sao cho ta có thể nghiên cứu chúng bằng cách thay số 3 bằng số nguyên tố 5. Phép chuyển 3 thành 5 chính là điều mà Wiles cần. Anh bị bế tắc vì không thể chứng minh được rằng những lớp nhất định các đường cong elliptic dựa trên số nguyên tố 3 là modula. Và đến đây, Mazur nói rằng ông có thể chuyển chúng thành các đường cong dựa trên số nguyên tố 5, mà các đường cong dựa trên số 5 thì Wiles đã chứng minh được là modula. Như vậy, phép chuyển 3 thành 5 là thủ thuật cuối cùng. Điều này cho phép biến đổi các đường cong elliptic dựa trên số 3 rất khó nghiên cứu thành các đường cong dựa trên số 5 đã được biết là modula. Một lần nữa, ý tưởng tuyệt diệu của một nhà toán học khác lại giúp Wiles chiến thắng trở ngại tưởng như không thể vượt qua được. Andrew Wiles cuối cùng đã hoàn tất mọi việc.
Wiles cũng thu xếp thời gian của mình thật tuyệt vời. Vào tháng sau, tức là tháng Sáu, thầy hướng dẫn cũ của anh là John Coates sẽ chủ trì một hội nghị về lý thuyết số ở Cambridge. Tất cả các nhà toán học có tên tuổi trong lĩnh vực lý thuyết số sẽ có mặt ở đó. Cambridge vốn là thành phố quê hương anh và là nơi anh đã học chương trình sau đại học. Phải chăng đây sẽ là nơi lý tưởng nhất để anh trình bày chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat? Lúc này Wiles phải chạy đua với thời gian. Anh cần sắp xếp lại tất cả những việc đã làm được để chứng minh rằng giả thuyết Shimura-Taniyama đúng đối với các đường cong elliptic bán ổn định. Điều này có nghĩa là đường cong Frey không tồn tại. Và nếu đường cong Frey không tồn tại thì có nghĩa là không tồn tại nghiệm của phương trình Fermat với n >2 và do đó Định lý cuối cùng của Fermat được chứng minh. Bài viết đầy đủ của Andrew Wiles dài 200 trang. Anh đã hoàn tất nó đúng lúc để kịp bay sang nước Anh. Khi bài thuyết trình cuối cùng của anh ở đó kết thúc, anh trở nên nổi bật bởi kỳ tích của mình trước những tràng pháo tay vang dội, những ống kính camera bừng sáng và đông đảo các phóng viên.