Người đã tiếp tục phép phân tích thành thừa số là Ernst Eduard Kummer (1810-1893) . Ông đã tiếp cận lời giải tổng quát của bài toán Fermat gần hơn bất cứ ai khác trong thời đại của mình. Thực tế là
trong khi cố gắng chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, Kummer đã phát minh ra một lý thuyết toán học mới trọn vẹn, lý thuyết về các "số lý tưởng".
Mẹ của Kummer, một người trở thành quả phụ khi con trai mình mới ba tuổi, đã làm việc rất vất vả để đảm bảo cho con trai được học hành chu đáo. Năm mười tám tuổi, Kummer vào Trường Đại học Halle (Đức) để nghiên cứu thần học và chuẩn bị cho mình một cuộc sống trong nhà thờ. Một giáo sư toán học uyên bác có tâm huyết với đại số và lý thuyết số đã làm cho chàng trai Kummer phải say mê các lĩnh vực này và anh đã nhanh chóng bỏ thần học để chuyển sang toán học. Khi là sinh viên năm thứ ba, chàng trai Kummer đã giải quyết được một vấn đề toán học hóc búa và được nhận giải thưởng. Tiếp theo thành công này, anh được nhận học vị tiến sĩ toán học ở tuổi hai mươi mốt.
Nhưng Kummer không thể tìm được một chỗ làm trong trường đại học, vì vậy anh đã phải giảng dạy tại trường trung học cũ của mình. Anh làm thầy giáo phổ thông suốt mười năm. Trong thời kỳ này, Kummer đã tiến hành rất nhiều nghiên cứu và các kết quả nghiên cứu được anh xuất bản cũng như viết trong các bức thư gửi một số nhà toán học hàng đầu thời đó. Bạn bè anh cảm thấy thật buồn vì một nhà toán học có tài như thế lại chỉ dành cuộc đời mình cho việc giảng dạy toán phổ thông. Với sự giúp đỡ của một số nhà toán học nổi tiếng, Kummer đã nhận được chức giáo sư tại Trường Đại học Breslau. Một năm sau, năm 1855, Gauss qua đời. Dirichlet thay thế vị trí của Gauss ở Gottingen và thôi công việc cũ của ông tại Trường Đại học Tổng hợp Berlin danh tiếng. Kummer đã được chọn thay thế Dirichlet ở Berlin. Ông giữ vị trí đó cho đến khi ông nghỉ hưu.
Kummer nghiên cứu nhiều vấn đề toán học khác nhau, trải khắp từ những lĩnh vực rất trừu tượng đến rất thực tiễn - thậm chí cả các ứng dụng toán học trong chiến tranh. Nhưng ông đã nổi tiếng bởi công trình lớn của mình về Định lý cuối cùng của Fermat. Nhà toán học Pháp Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nhiều lần nghĩ rằng mình đã tìm được lời giải tổng quát phương trình Fermat. Nhưng Cauchy, một người làm việc không có nghỉ ngơi song đôi khi thiếu cẩn tắc, sau mọi cố gắng của mình đã nhận ra rằng bài toán quá khó so với tưởng tượng của ông. Các trường số mà ông sử dụng luôn thiếu tính chất ông cần. Cauchy đã dẹp bài toán sang một bên và chuyển sang làm việc khác.
Kummer trở nên bị ám ảnh vì Định lý cuối cùng của Fermat, nhưng các cố gắng không thành của ông nhằm chứng minh định lý này khiến ông thất vọng vì ông cũng lại đi theo con đường vô vọng giống như Cauchy. Khi nhận ra rằng các trường số liên quan thiếu một vài tính chất, thay cho việc từ bỏ hy vọng, ông đã phát minh ra các số mới có những tính chất mà ông cần. Ông gọi các số này là các "số lý tưởng". Vậy là Kummer đã phát minh ra một lý thuyết hoàn toàn mới từ những cố gắng của mình nhằm chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Lúc đó, Kummer nghĩ rằng ông đã tìm được chứng minh tổng quát. Nhưng, thật đáng tiếc, chứng minh đó vẫn thiếu cái cần thiết phải có.
Tuy nhiên, Kummer đã đạt được những thành công to lớn trong quá trình đi tìm lời giải bài toán Fermat. Công trình nghiên cứu "số lý tưởng" của ông đã cho phép ông chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat đối với một lớp rất rộng các lũy thừa n là số nguyên tố. Như thế, ông đã có thể chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat là đúng đối với một số vô hạn các lũy thừa n, tức là những số chia hết cho các số nguyên tố "thông thường". Các số nguyên tố "đặc biệt" đã né tránh ông. Chỉ có 37, 59, 67 là các số nguyên tố đặc biệt mà nhỏ hơn 100. Sau đó, Kummer đã nghiên cứu riêng về vấn đề các số nguyên tố đặc biệt này và cuối cùng ông đã có thể chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat đối với các số này. Vào thập niên 50 của thế kỷ thứ XIX, nhờ những đột phá đặc biệt của Kummer, Định lý cuối cùng của Fermat đã được chứng minh là đúng đối với tất cả các lũy thừa n nhỏ hơn 100, cũng như đối với nhiều vô hạn các bội số của các số nguyên tố trong phạm vi này. Điều này quả là một thắng lợi thực sự, dù rằng đây không phải là một chứng minh tổng quát và nó vẫn còn bỏ sót nhiều vô hạn số mà đối với chúng người ta chưa biết định lý có đúng hay không.
cuối cùng của Fermat. Năm 1850, Viện Hàn lâm này lại tuyên bố sẽ tặng huy chương vàng và 3000 franc cho nhà toán học nào chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat. Song đến năm 1856, Viện Hàn lâm khoa học Pháp đã tuyên bố rút lại quyết định này vì người ta nhận thấy là dường như không thể nào chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat. Thay vào đó, Viện Hàn lâm đã quyết định