Một hình lồi nằm trên mặt phẳng (trên đường thẳng, trong không gian) là một tập U của các điểm trên mặt phẳng (trên đường thẳng, trong khơng gian) với tính chất sau đây: Với hai điểm khác nhau X,Y thuộcU, mọi điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng XYcũng thuộcU.
các điểm đơn và tất cả các nửa đoạn thẳng và các đoạn thẳng, có hoặc khơng có điểm biên.
Việc phân loại các hình lồi trong mặt phẳng rõ ràng khó hơn, nhưng giao của các hình lồi là một hình lồi. Một khái niệm quan trọng làbao lồi
K của hình U trong mặt phẳng, nó là giao điểm của tất cả các hình lồi
M thỏa mãn U ⊆ M(vì vậy, nó là hình lồi nhỏ nhất chứaU).
Định nghĩa 3.1.2. Cho K = {A1,A2, . . . ,An} là một tập n điểm trong mặt phẳng (n ≥ 3). Tập M được gọi là đa giác lồi n đỉnh A1A2. . .An nếu M là giao điểm của nnửa mặt phẳng Q1,Q2, . . . ,Qn với tính chất với mỗi i = 1, 2, . . . ,n đường thẳng AiAi+1 (trong đó An+1 = A1) là biên của một nửa mặt phẳng Qi và mỗi điểm Aj ∈ K\{Ai,Ai+1} nằm bên trong Qi. Khi đó đa giác M là bao lồi của tập K, và các phần tử
A1,A2, . . . ,An của nó sẽ được gọi là cácđỉnh của đa giácM.
Ngược lại, nếu U là một tập hữu hạn gồm n ≥ 3 điểm trong mặt phẳng khơng tuyến tính (nghĩa là chúng khơng nằm trên cùng một đường thẳng), thì bao lồi của U là một đa giác lồi có đỉnh là một số phần tử (và có thể tất cả) của tậpU.
Hai tính chất cơ bản của đa giác lồi:
(i) Sốun các đường chéo trong đa giác lồi nđỉnh thỏa mãn un = n(n−3)
2 (3.1)
Thật vậy, n đỉnh của đa giác được nối bởi (n2) = n(n−1)
2 đoạn thẳng, trong đó có n cạnh của đa giác M. Vì vậy ta có un = n(n−1)
2 −n =
n(n−3)
2 .
Phương trình (3.1) cũng có thể tìm được bằng cách: Mỗi đỉnh của đa giác M là một đầu mút của n−3 đường chéo. Nếu ta nhân với n đỉnh của M và thực tế là mỗi đường chéo đã được tính hai lần, ta có được phương trình (3.1).
(ii) Tổng Sn các góc trong của đa giác lồi nđỉnh thoả mãn
Sn = (n−2) ·180◦ (3.2)
Ta chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp toán học. Với n = 3 đó là cơng thức đã biết để tính tổng các góc trong của một tam giác. Ta giả thiết khẳng định đúng với i = n, ta muốn chứng minh rằng cũng đúng vớii = n+1: Ta chia đa giác lồi (n+1) đỉnh A1A2. . .An+1 bởi đường chéo A1A3 thành tam giác A1A2A3 và đa giác lồi n đỉnh A1A3. . .An+1, mà theo giả thuyết quy nạp, tổng Sn của các góc bên trong Sn = (n−2)·180◦. Vì tổng Sn+1 của n+1 góc trong của đa giác lồi A1A2. . .An+1 bằng với tổng các góc bên trong của tam giác A1A2A3 cộng với tổng các góc bên trong đa giác lồin đỉnh A1A3. . .An+1, ta có
Sn+1 = 180◦ + (n−2)·180◦ = (n−1)·180◦,
vậy công thức (3.2) đúng với mọin ≥ 3.
Chứng minh trực tiếp công thức (3.2) dựa vào nhận xét rằng đa giác
M = A1,A2, . . . ,An có thể được chia bởi n−3 đường chéo A1Ak (k =
3, 4, . . . ,n−1)thànhn−2tam giác và tổng các góc bên trong của chúng bằngSn.
Định lý 3.1.3(Định lý Helly). ChoS là một hệ tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập con lồi của một mặt phẳng cho trước sao cho bất kỳ ba tập trong Scó ít nhất một điểm chung. Khi đó, tất cả các tập trongScó một điểm chung.
Bài 3.1.1. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3,tồn tại một đa giác lồi nđỉnh M
sao cho khơng có ba đường chéo nào của nó đồng quy tại một điểm trong của
M.
Giải.Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Vớin≤ 5, khẳng định thỏa mãn (xét một đa giác đều n đỉnh). Bây giờ ta giả sử rằng tồn tại một đa giác n đỉnh Mn = A1A2. . .An nội tiếp trong đường trịn (C)
thỏa mãn bài tốn. Ta xét tậpS tất cả các đường thẳng nối từnđỉnh với các giao điểm các đường chéo củaM. Chỉ có hữu hạn các đường thẳng
như vậy, và do đó chỉ có hữu hạn các giao điểm của các đường thẳng này trong(C). Do đó tồn tại một điểm An+1trên đường trịn(C)khơng nằm
trên bất kỳ đường nào trong tập S. Hơn nữa, An+1 có thể được chọn để nằm trên cung bị giới hạn bởi A1,An và không chứa A2,A3, . . . ,An−1. Như vậy A1,A2, . . . ,An+1 là một đa giác lồi (n+1) đỉnh và khơng có ba đường chéo của nó giao nhau trong tại một điểm, điều phải chứng
minh.
Bài 3.1.2. Giả sử ta có n điểm (n ≥ 4) trên mặt phẳng sao cho khơng có ba điểm nào nằm trên một đường thẳng, và bốn điểm bất kỳ là đỉnh của tứ giác lồi. Chứng minh rằng các điểm đã cho là các đỉnh của một đa giác lồi nđỉnh. Giải.Ta ký hiệu tập hợp của các điểm cho trước làS và xây dựng bao lồi của S, nó sẽ là một đa giác k đỉnh, mà ta ký hiệu là M. Ta chứng minh
rằng mỗi điểm X ∈ S là đỉnh củaM. Ta giả sử ngược lại rằng điều này
không xảy ra, nghĩa là tồn tại một số điểmY ∈ S nằm bên trongM. Từ
một đỉnh bất kỳ Z của M ta vẽ tất cả các đường chéo, và do đó ta chia nhỏMthành k−2 tam giác. Do đóY nằm trong một trong những hình tam giác, gọi làUVZ. Nhưng sau đó bộ bốn điểmU,V,Y,Z khơng tạo thành các đỉnh của một tứ giác lồi, và đây là mâu thuẫn.
Bài 3.1.3. Cho điểmPbên trong một đa giác lồiM, và dựng hình chiếu vng
góc từ P đến tất cả các đường thẳng có chứa các cạnh của M. Chứng minh
rằng ít nhất một trong những điểm chiếu này nằm trên một cạnh củaM.
Hình 3.1
Giải. Trong số các đường thẳng chứa cạnh của M, ta chọn một đường
thẳng có khoảng cách nhỏ nhất từ điểm P, và gọi nó làl. (Nếu có nhiều đường như vậy, ta chọn một đường tùy ý). Cho cạnh AB nằm trên l. Ta
sẽ chứng minh rằng hình chiếuQ của Ptrênl nằm trên đoạn thẳng AB. Ta giả sử rằng Q ∈ l\AB (hình 3.1). Do đó đoạn PQ nối một điểm bên trong và bên ngồi của đa giác M, và nó cắt cạnh CD tại điểm R. Vì
|PR| < |PQ|, khoảng cách từ P đến đoạn thẳng CD nhỏ hơn khoảng
cách đến đường thẳngl, đây là mâu thuẫn.