3.2 Hệ các đường cong và miền
3.2.4 Chia không gian
Kết thúc phần này, ta có một số kết quả trong khơng gian 3 chiều.
Bài 3.2.7. Tìm số lượng lớn nhất các phần trong khơng gian bị chia bởi nmặt phẳng.
Giải. Ta ký hiệu số lượng lớn nhất là r(n); thì rõ ràng r(1) = 2. Ta giả sử rằng ta biết r(n−1) là số lớn nhất các phần mà trong đó khơng gian có thể bị chia thành các mặt phẳng α1,α2, . . . ,αn−1 với n ≥ 2. Một mặt phẳng mới αn tăng số lượng các phần này đúng bằng số miền trên αn
mà bị chia bởi các giao điểm với các mặt phẳng α1,α2, . . . ,αn−1. Theo Bài 3.2.1, số lượng này lớn nhất là p(n−1) vì trong mặt phẳng αn các giao điểm αi ∩αn (i = 1, 2, . . . ,n−1) tạo thành một hệ có tối đa (n−1)
đường thẳng. Do đó ta có bất đẳng thức r(n) ≤ r(n−1) + p(n−1). Nếu ta thay thế biểu thức p(n−1) vào (3.5) và sử dụng kỹ thuật tương tự như trong Bài 3.2.1, ta có được ước lượng
r(n) ≤ 1
6(n
3+5n+6). (3.8)
Trong bất đẳng thức (3.8), dấu bằng xảy ra nếu sắp xếp các mặt phẳng
α1,α2, . . . ,αn, sao cho mỗi αk bị chia bởi các mặt phẳng α1,α2, . . . ,αk−1
thành số phần lớn nhất có thể, cụ thể là 12(k2 − k +2) phần với k =
2, 3, . . . ,n. Trường hợp này có thể xảy ra, và dễ dàng thấy rằng nó xảy ra khi mặt phẳng ở vị trí tổng qt: Khơng có ba mặt phẳng song song với cùng một đường, và khơng có bốn mặt phẳng đi qua cùng một điểm.
Bài 3.2.8. Xác định số lượng lớn nhấtK(n) các phần trong không gian bị chia ra bởinmặt cầu.
Giải. Ta tiến hành như Bài 3.2.7: Mặt cầu thứ n thêm số miền vào các miền đã tồn tại bằng với số miền mà mặt cầu này bị chia ra bởi(n−1)
mặt ban đầu. Mặt cuối cùng bị chia thành các phần bị giới hạn bởi đường trịn, và khơng khó để chứng minh rằng có nhiều nhất k(n−1) phần, trong đó theo phương pháp của Bài 3.2.6,k(n−1) = n2−3n+4. Do đó ta có K(n) ≤ K(n−1) +k(n−1), trong đó K(1) = 2theo đó
K(n) ≤ n
3(n
Thực tế, (3.9) có thể xảy ra dấu bằng, vì có cách phân bố n mặt cầu sao cho ba mặt bất kỳ trong số chúng giao nhau tại hai điểm, và khơng có bốn mặt nào đi qua cùng một điểm. Để dựng một cấu hình như vậy, ta chọnnđiểm A1,A2, . . .Antrong một mặt phẳng sao cho khơng ba điểm trong số đó nằm trên một đường thẳng và khơng có bốn điểm trong số đó nằm trên một đường tròn. Các mặt cầu mong muốn có tâm là A1,A2, . . .An và cùng bán kính R, trong đó R lớn hơn bán kính đường trịn ngoại tiếp của tam giác bất kỳ AiAjAk (1 ≤ i < j < k ≤ n).