3.4 Phép tô màu
3.4.1 Màu của các điểm
Ta bắt đầu với những bài tốn trong đó ban đầu khơng có điều kiện nào về tập hợp các điểm có màu giống nhau.
Bài 3.4.1. Giả sử mỗi điểm trên mặt phẳng được tô màu bằng một trong ba màu. Chứng minh rằng có hai điểm có cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Giải. Đầu tiên, khẳng định của bài tốn là tầm thường nếu khơng có nhiều hơn hai màu được sử dụng cho việc tơ màu các điểm (khi đó chỉ cần ít nhất hai đỉnh của bất kỳ tam giác đều bất kỳ chiều dài cạnh bằng 1 có cùng màu).
Hình 3.29
Ta giả sử rằng có cách tơ màu các điểm của mặt phẳng sao cho đầu mút của bất kỳ đoạn thẳng nào có chiều dài 1 có màu khác nhau. Đầu tiên ta chứng minh rằng hai điểm A,B bất kỳ với khoảng cách √3 có cùng màu. Thực tế, nếu |AB| = √
3, thì các đường trịn c1(A, 1) và c2(B, 1) giao nhau tại các điểm C 6= D, và 4ACD và 4BCD là các tam giác đều có chiều dài cạnh bằng 1 (hình 3.29). Vì giả sử của ta về màu của các điểm trong mỗi bộ ba {A,C,D} và {B,C,D} khác nhau, các điểm A và B có cùng màu. Bây giờ ta chỉ cần xét tam giác XYZ bất kỳ, với |XY| = |XZ| = √
3và|YZ| = 1. Với những gì ta vừa chứng minh,Y có cùng màu vớiX, vàXcó cùng màu vớiZ. Do đóYvàZcó cùng màu, trong khi|YZ| = 1. Đây là mâu thuẫn, khẳng định được chứng minh.
Bài 3.4.2. Giả sử rằng mỗi điểm của mặt phẳng được tô với một trong hai màu. Chứng minh rằng có ba điểm cùng màu tạo thành các đỉnh của một tam giác đều.
Hình 3.30
Giải. Ta giả sử rằng đối với việc tô màu khẳng định là sai, nghĩa là, mọi tam giác đều trong mặt phẳng có hai đỉnh có màu khác nhau. Ta xét hình lục giác ABCDEF đều với tâm S có màu đen. Một trong các đỉnh, ta xét B, của tam giác đều như BDF phải có màu đen. Từ việc xét 4ASB và
4BSC thì các điểm A,C có màu khác (màu trắng). Nhưng do đó điểm E có màu đen (4ACE) và F có màu trắng (4ESF). Xét điểm G là giao điểm của các đường AB và EF (xem hình 3.30). G có màu trắng hoặc đen. Một trong hai hình tam giác đều AFG và BEG sẽ có cả ba đỉnh
cùng màu, mâu thuẫn.
Bài 3.4.3. Giả sử rằng mỗi điểm của mặt phẳng được tơ một trong ba màu. Chứng minh rằng có ba điểm cùng màu tạo thành các đỉnh của một tam giác vng.
Giải. Ta chọn hai điểm A,B có cùng màu (màu a) trên mặt phẳng. Cho hình trịn k có đường kính AB nội tiếp trong hình vng KLMN, như trong hình 3.31 (các điểm tiếp xúc là các đỉnh của hình vng APBQ). Nếu một trong các điểm P và Q có màu a, thì ta đã chứng minh xong (xét4ABPvà4ABQ). Điều này cũng đúng trong trường hợp PvàQcó cùng màu; do đó ta chỉ cần xét việc tô màu các đỉnh của tam giác vng XYZ nội tiếp trong hình trịnk sao cho
{X,Y,Z} ∩ {A,B,P,Q} = ∅.
Cịn lại phân tích trường hợp các điểm P và Q có màu khác nhau b,c, và trong đó X = A là điểm X duy nhất trên đoạn KN có màu a (nếu khơng 4BAX sẽ là tam giác mong muốn). Đối với màu của điểm K ta phân biệt giữa hai khả năng. Nếu K có màu b, thì chỉ cần hạn chế trong trường hợp mỗi điểmX ∈ KN, X ∈ {A,/ K}, có màu c(nếu khơng, đủ để lấy 4PKX); chọn một điểm X ∈/ N một cách tùy ý, ta có được một tam giác vng QNX với các đỉnh có màuc. NếuK có màu cvà nếu 4KNQ
khơng có tính chất mong muốn, thì N có màu b (xem hình 3.31), và do đó đủ để xét việc tơ màu của các đỉnh của tam giác vngXYZ nội tiếp trong vịng trịnk0 ngoại tiếp hình chữ nhậtKPQN sao cho
{X,Y,Z} ∩ {K,P,Q,N} = ∅.