Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu các bài tốn có liên quan mật thiết đến tính chất của tập hữu hạn các điểm và đường thẳng trong mặt phẳng. Ba bài toán sau sử dụng phương pháp cực trị trong lời giải.
Bài 3.1.12. ChoS là một tập hữu hạn các điểm trong một mặt phẳng, và tất cả đều không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng đi qua đúng hai điểm củaS.
Hình 3.8
Giải. Gọi L là tập (hữu hạn) tất cả các đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S. Từ các khoảng cách của các điểm trong S đến các đường thẳng trongLta chọn một số dương nhỏ nhất, gọi nó là khoảng cách từ điểm A ∈ S đến đường thẳng l ∈ L. Hình chiếu vng góc B của điểm A lên l xác định trên đường thẳng l hai nửa đường thẳng với điểm đầu B; ta chứng minh trên mỗi nửa đường thẳng có tối đa một điểm của S. Thật vậy, giả sử rằng trong một nửa đường thẳng có hai điểm khác nhau C1,C2 ∈ S sao cho0 ≤ |BC1| < |BC2| (hình 3.8). Do đó, tam giác AC1C2 tù (hoặc là tam giác vng, xảy ra khiC1 = B) với góc lớn nhất tạiC1. Do đó, |C1C2| < |AC2|, và bằng cách biểu thị diện tích của 4AC1C2 theo hai cách khác nhau ta nhận ra rằng khoảng cách giữa điểmC1 và đường thẳng AC2 nhỏ hơn khoảng cách giữa A và l, mâu thuẫn. Điều này có
Bài 3.1.13. Cho một tập hữu hạn S có n điểm (n ≥ 3) không thẳng hàng và
nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng kẻ được ít nhất n đường thẳng phân biệt nối 2 điểm trongSvới nhau.
Giải.Ta sử dụng phương pháp quy nạp với n. Đối vớin = 3 điều khẳng định đúng. Bây giờ ta giả sử rằng nó đúng vớin = k−1, và chứng minh với n = k. Theo Bài toán 3.1.12, trong số các đường nối của các điểm trong S tồn tại đường thẳng đi qua đúng hai điểm A,B ∈ S. Ví dụ, ta
chọn điểm A, sau đó ta đặt S0 = S \{A} và phân biệt hai trường hợp: Nếu tất cả các điểm trong tập (n−1) phần tử của S0 nằm trên đường thẳng l, thì ta có được một hệ n đường thẳng phân biệt {AX : X ∈ S0} ∪ {l}, theo giả thiết quy nạp, trong trường hợp ngược lại có ít nhất
(n−1) đường thẳng khác nhau giữa các đường thẳng nối trong S0 và không đường thẳng nào trong số chúng trùng với đường thẳngl = AB,
vìl∩ S0 = {B}.
Bài 3.1.14. Trong một mặt phẳng, cho bốn điểm không thẳng hàng.
a) Chứng minh rằng ta có thể chọn ba điểm tạo thành các đỉnh của một tam giác sao cho có một trong các góc của nó khơng vượt quá45◦.
b) Chỉ ra tồn tại 4 điểm thỏa mãn 3 điểm bất kỳ tạo thành tam giác có các góc lớn hơn hoặc bằng45◦.
Hình 3.9
Giải.a) Ta phân biệt hai trường hợp theo hình dạng của bao lồi của bốn điểm đã cho. Nếu bao lồi là tam giác A1A2A3, thì điểm A4 nằm bên trong tam giác (hình 3.9a). Do đó các đường thẳng AiA4 (i = 1, 2, 3)
đó khơng lớn hơn 1806◦ = 30◦ < 45◦. Mặt khác, nếu bao lồi là tứ giác lồi A1A2A3A4 (hình 3.9b), thì hai đường chéo chia các góc trong của nó thành tám góc, và ít nhất một trong số đó khơng lớn hơn 3608◦ = 45◦. Khẳng định được chứng minh.
b) Một ví dụ 4 điểm thỏa mãn bài tốn là 4 đỉnh của một hình vng tùy ý.