Đối tượng nghiên cứu trong phần này là một số tính chất của hệ hữu hạn các đoạn thẳng trên một đường thẳng, các dây cung của một hình trịn cho trước, và các đoạn thẳng với tập hợp các đầu mút cho trước.
Bài 3.1.15. Cho 50 đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng. Giữa 2 đoạn thẳng bất kỳ có thể khơng có hoặc có nhiều điểm chung. Chứng minh rằng ít nhất một trong các khẳng định sau đây đúng:
(a) 8 đoạn thẳng có một điểm chung.
(b) Trong 8 đoạn thẳng, hai đoạn bất kỳ rời nhau.
Giải. Ta ký hiệu các đoạn thẳng đã cho là I1,I2, . . . ,I50 sao cho số của đoạn thẳng theo thứ tự của các đầu mút bên trái của đoạn thẳng trên đường thẳng (nằm ngang) từ trái sang phải. Ta giả sử rằng khẳng định đầu tiên khơng đúng, tức là khơng có 8 đoạn thẳng có điểm chung. Ta xét các đoạn thẳngI1,I2, . . . ,I8. Trong các đoạn thẳngI1,I2, . . . ,I7có một đoạn thẳng, ta ký hiệu là U1, khơng có điểm chung với I8 (nếu không, đầu mút bên trái của I8 sẽ nằm trên mỗi đoạn thẳng I1, . . . ,I7, mà theo giả thiết là không thể). Tuy nhiên đoạn thẳng U1 cũng tách rời tất cả các đoạn thẳng Ij, trong đó j > 8. Lập luận tương tự cho nhóm đoạn thẳng I8,I9, . . . ,I14 ta có thể chứng minh sự tồn tại của đoạn Ik = U2
(8 ≤ k ≤ 14), mà tách rời mỗi đoạn thẳng Ij, trong đó j ≥ 15. Lặp đi lặp lại thêm năm lần, ta có tám đoạn thẳng rời nhauU1,U2, . . . ,U7,I50.
Bài 3.1.16. Trên một đường thẳng cho n (n ≥ 3) đoạn thẳng thỏa mãn nếu
Chứng minh rằng ta có thể chọn hai điểm trên đường thẳng sao cho mỗi đoạn cho trước chứa chứa ít nhất một trong hai điểm đã chọn.
Giải. Ký hiệu các đoạn thẳng đã cho là I1,I2, . . . ,In sao cho số của đoạn thẳng theo thứ tự của các đầu mút bên trái của đoạn thẳng trên đường thẳng (nằm ngang) từ trái sang phải. Để cho đơn giản, ta đồng nhất đường thẳng đã cho với trục số, cũng như đồng nhất tất cả các đoạn Ik với đoạn[αk,βk], trong đóαk < βk (k = 1, 2, . . . ,n). Ta đặtα = maxαk =
αn vàβ = minβk = β1. Bây giờ ta giả sử rằng một số đoạn thẳng không chứa cả hai điểm này, tức là, có chỉ sối ∈ {1, 2, . . . ,n}sao cho α ∈/ [αi,βi]
và β ∈/ [αi,βi], tức là I1,Ii và In là ba đoạn thẳng rời nhau, mâu thuẫn
với giả thiết.
Bài 3.1.17. Giả sử nhiều dây cung được vẽ trong một đường tròn(C) của bán kính R = 1. Chứng minh rằng nếu mỗi đường kính của (C) cắt nhiều nhất k
dây cung, thì tổng các độ dài của tất cả các dây cung ít hơnkπ.
Hình 3.10
Giải. Giả sử rằng tổng s của độ dài của tất cả các dây cung thỏa mãn s ≥ kπ, ta sẽ chứng minh rằng có đường kính cắt ít nhất (k+1) dây cung. Vì độ dài của một cung trịn thuộc một dây cung cho trước lớn hơn độ dài của dây cung này, tổng của độ dài các cung thuộc tất cả các dây cung lớn hơn kπ. Với mỗi cung o ta kết hợp một cung o0 đối xứng vớioqua tâmScủa đường trịn(C) (hình 3.10). Tổng tất cả độ dài của hệ này gồm cả cung tròn gốc và cung đối xứng lớn hơn 2kπ, nên có điểm
X thuộc đường trịn(C) nằm trên ít nhất(k+1) dây cung. Đường kính đi qua điểm X thì cắt ít nhất (k+1) dây cung.
3.1.7 Các bài tốn với đa giác không lồi
Trong phần kết thúc phần này, ta sẽ chứng minh một số tính chất thú vị của đa giác không lồi. Trong sách giáo khoa, các đa giác như vậy thường chỉ được minh hoạ về một số hình dạng có thể (ba ví dụ có thể thấy trong hình 3.11; nếu chữ cái A có lỗ như bình thường, thì đó sẽ khơng phải là một đa giác).
Hình 3.11
Do đó ta bắt đầu bằng cách định nghĩa chính xác hơn một mặt phẳng đa giác, theo cách mà gồm cả đa giác lồi và khơng lồi. Với mục đích này ta bắt đầu với khái niệm đường gấp khúc đóng, giả sử ngay từ đầu rằng
đường gấp khúc không tự giao nhau.
Định nghĩa 3.1.4(Dãy quay vòng tròn). Trong một dãy quay vịng trịn có độ dài n ta coi các số hạng lân cận là các số hạng bắt đầu và kết thúc, và khi các chỉ số của các số hạng nằm ngồi chỉ số thơng thường
{1, 2, . . . ,n}, nó được lấy theo modun n.
Định nghĩa 3.1.5 (Chuỗi quay vịng trịn). Ta nói rằng một chuỗi quay vịng trịn A1,A2, . . . ,An các điểm trong một mặt phẳng tạo thành các đỉnh của đường gấp khúc đóng L (hình 3.12) nếu khơng có ba số hạng lân cận (hoặc các điểm) nằm trên cùng một đường thẳng, và nếu trong chuỗi quay vòng tròn của các đoạn
A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1
chỉ các số hạng lân cận (hoặc các đoạn thẳng) có một điểm chung; điểm chung này rõ ràng có thể chỉ là một đầu mút. Khi đó một đường gấp
khúc đóng L có thể được hiểu là hợp của n đoạn thẳng này, và ta viết
L = A1A2. . .AnA1.
Hình 3.12
Khơng chứng minh, bây giờ ta phát biểu định lý Jordan:
Định lý 3.1.6. Mỗi đường gấp khúc đóng L = A1A2. . .AnA1 chia mặt phẳng thành hai phần liên thơng, chỉ có một trong số đó bị chặn (tức là nó nằm trong một hình trịn).
Định nghĩa 3.1.7. Phần mặt phẳng bị giới hạn cùng với các điểm trên đường gấp khúc đóngL, sẽ được gọi là mộtđa giác(hoặc đa giácnđỉnh)
M, ký hiệu là M = A1A2. . .An.
Đường gấp khúcLsẽ được gọi là biên của đa giác M, các đoạn thẳng
riêng biệt AiAi+1 là cạnh của nó, và các điểm Ai là đỉnh của nó, những điểm củaMkhơng nằm trên biên sẽ được gọi là các điểm bên trong của
M. Nếu các đỉnh Ai và Aj không lân cận, đoạn AiAj được gọi là đường chéo của đa giác M. (Một số đường chéo có thể chứa các điểm khơng
Hình 3.13
Định nghĩa 3.1.8(Góc trong của đa giác). Xét đa giácM = A1A2. . .An, tại đỉnh Ai, ta vẽ một đường tròn ki xung quanh điểm Ai với bán kính nhỏ đủ để nó khơng cắt đường gấp khúcAi+1Ai+2. . .AnA1. . .Ai−1, tức là, sao cho đường tròn chỉ cắt tại hai điểm Xi ∈ Ai−iAi và Yi ∈ AiAi+1
với biên củaM (hình 3.13). Các điểmXi, vàYi chia đường tròn ki thành hai cung, cả hai được vẽ để đánh dấu cả hai góc Ai−1AiAi+1. Có đúng một cung nằm trong M; khi đó cung này tương ứng với góc gọi là góc trongcủa M tại đỉnh Ai, nếuM là một tập lồi thì nó phải chứa tồn bộ đoạn thẳngXiYi. Suy ra, tất cả các góc trong của đa giác lồi đều nhỏ hơn 180◦, tức là chúng lồi.
Định nghĩa 3.1.9. Đa giác lồi là đa giác có tất cả các góc trong nhỏ hơn 180◦. Ngược lại, nếu đa giác có ít nhất 1 góc trong lớn hơn180◦ gọi là đa giác không lồi.
Bài 3.1.18. Chứng minh rằng mọi đa giác khơng lồi có ít nhất ba góc trong nhỏ hơn180◦.
Hình 3.14
Giải. Với một đa giác M không lồi n đỉnh ta dựng bao lồi của nó (hình 3.14). Tồn tại đa giác lồi m đỉnh M1, 3 ≤ m < n, trong đó mỗi đỉnh của M1 là một đỉnh cố định của đa giác ban đầu M. Góc trong của M
tại mỗi đỉnh như vậy là một tập con (lồi) của góc trong củaM1tại cùng đỉnh (vì M ⊆ M1), và do đó nó cũng lồi. Vì thế có ít nhấtm góc trong
của Mnhỏ hơn180◦, chứng minh hoàn thành.
Bài 3.1.19. Chứng minh rằng mỗi đa giác khơng lồi có ít nhất một góc trong lớn hơn180◦.
Giải.Trong đa giác khơng lồiMcho trước, ta chọn hai điểmX vàY trên biến sao cho các điểm của đoạn thẳng XY không nằm trong M. X,Y là hai điểm duy nhất của đoạn XY nằm trong M. Do đó, X và Y chia biên thành hai đường gấp khúc (khơng đóng) L1 = XA1A2. . .AmY và
L2 = XB1B2. . .BnY(hình 3.15). Đoạn thẳng XYvà các đường gấp khúc
L1,L2 là ba đường nối các điểm X và Y, và khơng có hai đường nào có điểm chung khác. Vì vậy một trong ba đường này phải nằm trong biên đa giác tạo bởi hai đường khác; tuy nhiên, bằng việc chọn các điểmX,Y thì khơng thể là đoạn thẳng XY. Do đó, ví dụ, cho các đường gấp khúc
L1 chia đa giác M2 = XB1B2. . .BnY thành hai phần: đa giác ban đầu
M và đa giác M1 = XA1A2. . .AmY. Tổng các góc trong của mỗi đỉnh của M và M1 là 360◦. Tuy nhiên, theo Bài toán 3.1.18 đa giác M1 (lồi hoặc khơng lồi) có ít nhất ba góc nhỏ hơn180◦; ít nhất một trong số đó ở đỉnh khác vớiX vàY, và do đó ở một số đỉnh Ai. Tại đỉnh này, góc trong
Hình 3.15 Hình 3.16
Bài 3.1.20. Chứng minh rằng bất kỳ đa giác khơng lồi có ít nhất một đường chéo nằm hồn tồn bên trong đa giác và ít nhất một đường chéo có chứa các điểm nằm bên ngồi đa giác.
Giải. Trước tiên ta giải thích một số đường chéo của một đa giác khơng lồi tùy ý M có các điểm khơng thuộc M. Rõ ràng ta chỉ cần tìm điểm
trên biên của bao lồiM1và khơng thuộcM, vì biên củaM1một đường gấp khúc bao gồm các đoạn, mỗi đoạn hoặc là một cạnh hoặc một đường chéo củaMhoặc một sự kết hợp của các cạnh và đường chéo (xem đoạn BC trong hình 3.14). Nếu ta giả sử rằng đường đóng này nằm hồn tồn trong M, thì tồn bộ đa giác được định nghĩa bởi nó cũng nằm trong M và đa giácM1 cũng vậy. Nhưng khi đó ta sẽ cóM1 = M, vì vậyM
sẽ là một tập lồi.
Bây giờ ta chứng minh đa giác M có ít nhất một đường chéo nằm trong đa giác. Sử dụng kết quả của Bài toán 3.1.18 chọn đỉnh A mà tại đó góc trong của đa giác M nhỏ hơn 180◦. Cho B và C là các đỉnh là lân cận của A. Nếu A,B,C chỉ là các đỉnh củaM nằm trong4ABC, thì BC là đường chéo thỏa mãn. Nếu tam giác có chứa các đỉnh khác của
M (hình 3.16), ta chọn và ký hiệu làD có khoảng cách lớn nhất trên BC (khoảng cách này có thể bằng khơng, nếu có nhiều hơn một đỉnh khác ngồi D, chọn tùy ý một trong số đó). Nếu đoạn AD có một điểm khác A và D chung với cạnh EF của đa giác M, thì có ít nhất một trong các
đỉnh E,Fphải nằm trong 4ABC và có khoảng cách lớn hơn D đến BC. Mâu thuẫn này có nghĩa là các điểm A và D là những điểm duy nhất trên biên của M nằm trên đoạn AD. Đoạn này là đường chéo mong
muốn.
3.2 Hệ các đường cong và miền
Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu các bài tốn liên quan đến tình huống sau: Trong một mặt phẳng ta cho một đối tượng hình học và một hệ các đường cong chia nó thành nhiều phần có “hình dạng” khác nhau. Các câu hỏi liên quan đến số lượng của chúng, và các bài tốn tổ hợp khác. Ví dụ trong hình 3.17, tồn bộ mặt phẳng được chia thành 8 phần (còn được gọi là miền) bởi hai đường thẳng và một đường tròn. Ta quy ước rằng các điểm biên của các phần phân biệt (cụ thể là các điểm của đường cong phân chia) không thuộc miền nào được tạo ra. Lý do là nếu tất cả các miền đã chứa các điểm biên của nó thì các phần phân chia sẽ khơng rời nhau.
Hình 3.17
Định nghĩa 3.2.1. Một điểm X được gọi là điểm trong của một tập hợp
A các điểm trên mặt phẳng nếu A chứa hình trịn tâm X (và bán kính dương); tập A được gọi là mở nếu mỗi điểm X ∈ Alà một điểm trong của A. Ta nói rằng X là một điểm biên của A nếu X không phải là một điểm trong của A cũng không phải là một điểm trong phần bù của nó (trong mặt phẳng ); tập tất cả các điểm biên của tập A đã cho tạo thành biên của nó. Nếu cho hai điểm X,Y ∈ A bất kỳ có một đường gấp khúc XZ1Z2. . .ZnY nằm trongA, ta nói rằng tập A liên thông.
Ta định nghĩa miền là một tập khơng rỗng bất kỳ mở và liên thơng. Ta nói rằng miền A được chia thành các miền D1,D2, . . . ,Dn bởi hệ các đường congL nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) Mỗi điểm của miền A không nằm trên đường cong bất kỳ l ∈ L, thì
thuộc một trong các miềnD1,D2, . . . ,Dn.
(ii) Mỗi điểm của miền Di (1 ≤ i ≤ n)bất kỳ là điểm của miềnAkhông nằm trên bất kỳ đường congl ∈ L.
Trong một số bài toán, ta sẽ chỉ xét các miền bị chặn (tương ứng không bị chặn); đây là những miền nằm bên trong một đường trịn (tương ứng khơng nằm bên trong bất kỳ đường trịn nào) với bán kính hữu hạn. Ví dụ, trong hình 3.17, các miền bị chặn chính xác là những ô được đánh số 1, 2, 3, 4.
Trong ví dụ, các đường cong mà chúng ta xét là các đường thẳng hoặc các phần của chúng (nửa đường thẳng, đoạn thẳng) và hình trịn hoặc dây cung của chúng.
3.2.1 Chia mặt phẳng bằng hệ các đường
Ta giả sử rằng A là tập tất cả các điểm trong một mặt phẳng, và cho một tập hợp hữu hạn L các đường thẳng (phân biệt) trong mặt phẳng. Mỗi miền của mặt phẳng xác định bởi các đường trong L hoặc là bị chặn, trong trường hợp nó được tạo thành bởi các điểm trong của một số đa giác lồi (ví dụ, các miền 5 và 8 trong hình 3.18), hoặc khơng bị chặn. Hình dạng của các miền không bị chặn rất đa dạng: một miền có thể là ở bên trong của một số góc (miền 1, 3, 6, 12 trong hình 3.18) hoặc bên trong của một đa giác “không bị chặn” với hai “cạnh vô hạn”, cụ thể là các nửa đường thẳng (miền 2, 4, 7, 9, 10, và 13 trong hình 3.18). Tuy nhiên, trong hình này khơng bao gồm hai “hình dạng” khác có thể của các miền khơng bị chặn, cụ thể đó là bên trong của một nửa mặt phẳng và của một dải song song, chúng xuất hiện khi mặt phẳng được chia bởi một chùm các đường của loại thứ nhất.
Hình 3.18
Bài 3.2.1. Giả sử có n đường thẳng cho trước trong một mặt phẳng. Tìm số
p(n) lớn nhất của số miền của mặt phẳng bị chia bởi n đường thẳng. Chỉ ra điều kiện củanđường thẳng khi đó.
Hình 3.19
Giải. Rõ ràng, ta có p(1) = 2; giả sử ta biết p(n) là số lớn nhất của số miền mà mặt phẳng có thể bị chia bởi n đường q1,q2, . . . ,qn. Bằng cách thêm đường qn+1, số miền của mặt phẳng tăng lên nhiều nhất bằng số phần mà trong đó đường qn+1 bị chia bởi các giao điểm với các đường q1,q2, . . . ,qn (nếu khơng tồn tại giao điểm, thì số phần của mặt phẳng tăng thêm 1). Có nhiều nhất n giao điểm trên đường qn+1 nên nó được chia thành (n+ 1) phần, hai trong các phần là nửa đường thẳng, và phần cịn lại là các đoạn thẳng, hình 3.19. Do đó ta có giới hạn
Ta viết hệ(n−1)bất đẳng thức và một đẳng thức và tổng của chúng: p(1) =2, p(2) ≤ p(1) +2, p(3) ≤ p(2) +3, . . . p(n−1) ≤ p(n−2) +n−1, p(n) ≤ p(n−1) +n, Từ đó ta có được p(n) = n ∑ i=1 p(i)− n−1 ∑ i=1 p(i) (3.5) ≤ 1+ (1+2+. . .+n) = 1+ n(n+1) 2 = n2+n+2 2
Các giá trị p(n) = 12(n2 + n+ 2) có thể đạt được khi và chỉ khi với i = 2, 3, . . . ,n đường qi có đúng (i− 1) giao điểm với đường thẳng q1,q2, . . . ,qi−1. Điều này xảy ra khi trong hệ L cho trước của n đường