3.2 Hệ các đường cong và miền
3.2.1 Chia mặt phẳng bằng hệ các đường
Ta giả sử rằng A là tập tất cả các điểm trong một mặt phẳng, và cho một tập hợp hữu hạn L các đường thẳng (phân biệt) trong mặt phẳng. Mỗi miền của mặt phẳng xác định bởi các đường trong L hoặc là bị chặn, trong trường hợp nó được tạo thành bởi các điểm trong của một số đa giác lồi (ví dụ, các miền 5 và 8 trong hình 3.18), hoặc khơng bị chặn. Hình dạng của các miền khơng bị chặn rất đa dạng: một miền có thể là ở bên trong của một số góc (miền 1, 3, 6, 12 trong hình 3.18) hoặc bên trong của một đa giác “khơng bị chặn” với hai “cạnh vô hạn”, cụ thể là các nửa đường thẳng (miền 2, 4, 7, 9, 10, và 13 trong hình 3.18). Tuy nhiên, trong hình này khơng bao gồm hai “hình dạng” khác có thể của các miền khơng bị chặn, cụ thể đó là bên trong của một nửa mặt phẳng và của một dải song song, chúng xuất hiện khi mặt phẳng được chia bởi một chùm các đường của loại thứ nhất.
Hình 3.18
Bài 3.2.1. Giả sử có n đường thẳng cho trước trong một mặt phẳng. Tìm số
p(n) lớn nhất của số miền của mặt phẳng bị chia bởi n đường thẳng. Chỉ ra điều kiện củanđường thẳng khi đó.
Hình 3.19
Giải. Rõ ràng, ta có p(1) = 2; giả sử ta biết p(n) là số lớn nhất của số miền mà mặt phẳng có thể bị chia bởi n đường q1,q2, . . . ,qn. Bằng cách thêm đường qn+1, số miền của mặt phẳng tăng lên nhiều nhất bằng số phần mà trong đó đường qn+1 bị chia bởi các giao điểm với các đường q1,q2, . . . ,qn (nếu khơng tồn tại giao điểm, thì số phần của mặt phẳng tăng thêm 1). Có nhiều nhất n giao điểm trên đường qn+1 nên nó được chia thành (n+ 1) phần, hai trong các phần là nửa đường thẳng, và phần cịn lại là các đoạn thẳng, hình 3.19. Do đó ta có giới hạn
Ta viết hệ(n−1)bất đẳng thức và một đẳng thức và tổng của chúng: p(1) =2, p(2) ≤ p(1) +2, p(3) ≤ p(2) +3, . . . p(n−1) ≤ p(n−2) +n−1, p(n) ≤ p(n−1) +n, Từ đó ta có được p(n) = n ∑ i=1 p(i)− n−1 ∑ i=1 p(i) (3.5) ≤ 1+ (1+2+. . .+n) = 1+ n(n+1) 2 = n2+n+2 2
Các giá trị p(n) = 12(n2 + n+ 2) có thể đạt được khi và chỉ khi với i = 2, 3, . . . ,n đường qi có đúng (i− 1) giao điểm với đường thẳng q1,q2, . . . ,qi−1. Điều này xảy ra khi trong hệ L cho trước của n đường thẳng, khơng có hai đường thẳng song song và khơng có ba đường đi qua cùng một điểm. Nếu cả hai điều kiện này được thỏa mãn, ta nói
rằng các đường thẳng trong Lcóvị trí tổng qt.
Bài 3.2.2. Trong mặt phẳng, cho n (n ≥ 4) đường thẳng có vị trí tổng qt.
Chứng minh rằng trong tất cả các miền bị chặn bởi các đường thẳng này thì có ít nhất 23(n−1) tam giác.
Giải. Ta ký hiệu tập của tất cả các đường thẳng cho trước là L, và tập
các giao điểm của chúng làS. Trước tiên, ta chia tập Lthành hai tập rời rạc L1 vàL2: Một đường p ∈ L thuộc L1 khi và chỉ khi tất cả các điểm trong S nằm trên nửa mặt phẳng có giới hạn p; nếu không, p ∈ L2. Ta sẽ chứng minh rằng |L1| ≤ 2, tức là |L2| ≥ n−2. Thật vậy, nếu ta giả sử rằng |L1| ≥ 3, thì có thể thấy ba đường p1,p2,p3 ∈ L1 tạo thành tam giác T = 4ABC (với các đỉnh được ký hiệu như trong hình 3.20) sao cho mỗi điểm X ∈ S thuộc tam giác T. Nhưng điều này là khơng thể, vì bất kỳ đường thẳng p ∈ L\{p1,p2, p3} sẽ cắt tối đa hai trong các
đoạn thẳng AB,AC,BC, và do đó khơng cắt một trong số chúng, là AB. Nhưng giao điểm Zcủa đường thẳng p và p1 khơng nằm trong4ABC.
Hình 3.20
Bây giờ ta tính số miền tam giác: Mỗi đường thẳng p ∈ L1 xác định ít nhất một miền như vậy, trong đó có hai đỉnh của tam giác nằm trên p, và điểm thứ ba làY ∈ S mà có khoảng cách nhỏ nhất đến đường thẳng p. Tương tự, mỗi đường p ∈ L2xác định ít nhất hai miền hình tam giác, cụ thể là ít nhất một tam giác trong mỗi nửa mặt phẳng được tạo thành bởi đường này. Nếu ta cộng tổng số các miền tam giác cho tất cả các đường trong L, thì mỗi miền trong câu hỏi được đếm nhiều nhất ba lần, và do
đó số N thỏa mãn bất đẳng thức N ≥ 1
3[k+2(n−k)]
trong đók = |L1| ∈ {0, 1, 2}, suy ra N ≥ 13(2n−2).
Bài 3.2.3. Xétn ≥ 2đường trong mặt phẳng, tạo thành hai chùm đường thẳng loại hai với tâm trong tại các điểm phân biệt Pvà Q, trong đó p (tương ứngq)
đường thẳng đi qua P (tương ứng Q), với p,q ≥ 1, p +q = n. Giả sử rằng
khơng có đường nào đi qua các điểm P, Q, và khơng có hai đường thẳng song
song. Với ncố định, xác định p và qsao cho số miền mà mặt phẳng bị chia bởi
nđường là nhiều nhất.
Giải. Ký hiệu N(p,q) là số miền mà mặt phẳng bị chia bởi hai chùm đường thẳng. Các đường thẳng của chùm với tâm P chia mặt phẳng thành N(p, 0) = 2p. Nếu một đường đi qua điểm Q, thì nó được chia thành(p+1)phần bởi các đường của chùm đầu tiên, và do đóN(p, 1) =
N(p, 0) + p +1. Mỗi đường tiếp theo của chùm với tâm Q được chia thành (p + 2) phần; do đó cho q ≥ 2 ta có được mối quan hệ lặp N(p,q) = N(p,q−1) + p+2. Một cách tương tự như trong Bài 3.2.1 ta thấy rằng
N(p,q) = pq+2(p +q)−1. (3.6) 1) Nếunchẵn với các số dương p,qta có bất đẳng thức pq ≤ (p+q2 )2, với dấu đẳng thức khi p = q, ta có được
N(p,q) ≤ p+q 2 2 +2(p+q)−1 = n2 4 +2n−1 = n2+8n−4 4 .
Ở đây ta thu được đẳng thức khi p = q = n2.
2) Trong trường hợp n là lẻ, n = 2k+1, dễ dàng chứng minh rằng số miền tối đa khi {p,q} = {k,k+1}(ví dụ, đặt p = n−12 +r,q = n+12 −r) và
N(k,k+1) = N(k+1,k) = k2+5k+1 = n2+8n−5
4 .