Một trong những bài tốn cổ điển của hình học tổ hợp là xác định số tam giác có đỉnh hoặc cạnh nằm trong một tập n phần tử (điểm hoặc đường tương ứng) cho trước. Trong cả hai trường hợp, số tam giác không vượt quá (n3). Trong phần này, ta nghiên cứu các bài tốn có u
cầu đặc biệt về tính chất hình có thể của đỉnh trong tam giác (ví dụ, trong Bài 3.1.8 đó là đỉnh của một đa giác đềunđỉnh) hoặc các tính chất hình có thể có của cạnh trong tam giác (như các đường chéo của một đa giác lồi trong Bài 3.1.9).
Bài 3.1.7. Trong mỗi cạnh của một hình vng ta chọnnđiểm khác nhau. Tìm số tam giác có đỉnh chọn từ4nđiểm đã cho.
Giải.Từ4nđiểm cho trước có thể chọn tổng số (4n3)bộ ba điểm, trong đó có4·(n3) trường hợp được chọn bộ ba điểm nằm trên một cạnh của hình vng, khơng phải là một tam giác. Do đó, số tam giác là(4n3)−4·(n3) =
2n2(5n−3).
Kết quả tương tự cũng có thể tìm được theo cách khác. Mỗi tam giác thuộc một trong hai loại sau: Hoặc mỗi đỉnh của tam giác đều nằm ở một cạnh khác của hình vng, hoặc hai đỉnh của tam giác nằm trên cùng cạnh hình vng, và đỉnh thứ ba nằm ở một cạnh khác. Có 4n3 tam giác thuộc loại đầu tiên, và4·3·(n2)·nthuộc loại thứ hai. Do đó, số
tam giác là4n3+12n·(n2) = 2n2(5n−3).
Bài 3.1.8. Có bao nhiêu cách có thể để chọn ba đỉnh của một đa giác đều
A1A2. . .An (n ≥ 4) sao cho chúng tạo thành các đỉnh của một tam giác tù?
Giải. Ký hiệu P(n) là số tam giác tù và P1(n) là số góc tù A1AiAj, trong đó 1 < i < j ≤ n. Rõ ràng, P(n) = n· P1(n). Bất kỳ góc A1AiAj tù khi
và chỉ khi j ≤ n+12 (xem hình 3.5); do đó P1(n) bằng số tập con hai phần tử của{2, 3, . . . ,[n+21]}. Như vậy
P(n) = n·P1(n) = n· 1 2 hn+1 2 i −1hn+1 2 i −2 = n 2 · hn−1 2 i ·hn−3 2 i . Hình 3.5
Bài 3.1.9. Cho đa giác lồi n đỉnh M (n ≥ 6). Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là đỉnh củaM và các cạnh nằm trên đường chéo củaM.
Cách giải 1. Từ số tam giác với các đỉnh là đỉnh củaM, ta trừ đi số những
tam giác có một hoặc hai cạnh nằm trên cạnh của đa giácM. Cón(n−4)
tam giác loại thứ nhất, vì với mỗi một trongncạnh củaM(hay cặp đỉnh) ta có thể chọn đỉnh thứ ba theo(n−4) cách; có ntam giác theo loại thứ hai, vì mỗi tam giác đó gồm hai cạnh kề nhau củaM và do đó được xác định duy nhất bởi đỉnh chung của chúng. Do đó số N tam giác cần tìm bằng N = n 3 −n(n−4)−n = n(n−4)(n−5) 6 .
Cách giải 2. Đầu tiên ta xác định số tam giác với đỉnh A1 của đa giác
M = A1A2. . .An. Vì khơng có tam giác chứa một cặp đỉnh kề nhau củaM, ta phải chọn từ A3,A4, . . . ,An−1 mà hai đỉnh khơng kề nhau; có
(n−42 )cách. Nếu ta cộng các số này cho tất cảnđỉnh củaM, thì mỗi đỉnh
của tam giác được tính ba lần, do đó ta có N = n 3 · n−4 2 = n(n−4)(n−5) 6 . 3.1.4 Đếm số đa giác
Trong các bài toán của phần này và trong các bài tập tiếp theo, ta tổng quát hóa các bài tập từ Mục 3.1.3: Trong một mẫu hình củanđiểm trong mặt phẳng, ta sẽ xác định số đa giác k đỉnh (4 ≤ k ≤ n) với các đỉnh trong số các điểm đã cho. Đặc biệtbài toán Cayleyvề số đa giác lồik đỉnh trong một đa giác lồi n đỉnh và các cạnh thuộc các đường chéo của đa giác n đỉnh. Bài toán này được giải quyết trong Bài 3.1.10; ta đã xử lý trường hợp đặc biệtk = 3trong Bài 3.1.9.
Bài 3.1.10. ChoM là đa giác lồi có nđỉnh. Có bao nhiêu đa giác lồi cók đỉnh với 3 ≤ k ≤ n2, mà tất cả các đỉnh của nó là các đỉnh của M và các cạnh của
nó là đường chéo củaM
Giải.Gọi đa giác lồinđỉnh là A1A2. . .Anvà ta xác định có bao nhiêu đa giác lồi cókđỉnh có điểm An−1là đỉnh của nó. Ta ký hiệu các đỉnh cịn lại của đa giác k đỉnh trên là Ai1,Ai2,· · · ,Aik−1 với các chỉ số i1,i2, . . . ,ik−1 thỏa mãn bất đẳng thức1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik−1 ≤ n−3;i2−i1 ≥ 2,i3−
i2 ≥ 2, . . . ,ik−1−ik−2 ≥ 2. Lấy(k−1)chỉ số trên thỏa mãn(n−k−1k−1 )cách, và đó là số lượng đa giáckđỉnh thỏa mãn tính chất của bài tốn và chứa đỉnh An−1 bằng(n−k−1k−1 )cách. Cộng số này cho tất cả các đỉnh của Mvà thực tế mỗi đa giác kđỉnh được tính klần, suy ra sốc(k,n) của đa giáck đỉnh thỏa mãn là c(k,n) = n k · n−k−1 k−1 = n(n−k−1)! k!(n−2k)! . (3.4) Chú ý rằng vớik = 3thì đẳng thức (3.4) trở thành c(3,n) = n(n−4)! 3!(n−6)! = n(n−4)(n−5) 6 . mà ta đã có từ Bài 3.1.9.
Bài 3.1.11. Cho 5 điểm trong mặt phẳng thỏa mãn khơng có ba điểm nằm trên một đường thẳng. Tìm số cách chọn bốn điểm để tạo thành một tứ giác lồi. Giải.Ta ký hiệuS là tập các điểm cho trước, và phân biệt ba trường hợp theo hình dạng của bao lồiK củaS.
(a) K là ngũ giác với các đỉnh trên S. Do đó, mỗi bốn điểm tạo thành các đỉnh của một tứ giác lồi, và có(54) = 5cách.
(b) Klà một tứ giác với các đỉnh A1,A2,A3,A4 ∈ S trong khi điểm A5 ∈ S nằm bên trong củaK = A1A2A3A4(hình 3.6). GọiPlà giao điểm hai đường chéo của tứ giác này. ĐiểmA5là điểm bên trong của một trong bốn tam giác A1A2P, . . . ,A4A1P, chọn A5 ∈ 4A1A2P. Do đó có đúng 3 tứ giác thỏa mãn: A1A2A3A4, A1A5A3A4 và A2A3A4A5.
Hình 3.6 Hình 3.7
(c) Klà một tam giác với các đỉnhA1, A2,A3 ∈ S, trong đóA4,A5 ∈ S là điểm bên trong củaK(hình 3.7). Các đường thẳng A4Ai (i = 1, 2, 3)
cắt các cạnh đối diện của 4A1A2A3 tại các điểm Bi và chia tam giác này thành sáu tam giác, với điểm A5 nằm bên trong của một trong số chúng. Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử rằng A5 ∈ 4A1A3A4, khi đó trong số các điểm cho trước, A1,A3,A4,A5 (theo thứ tự này) tạo thành đỉnh của tứ giác lồi duy nhất.
3.1.5 Các bài toán với hệ điểm và đường thẳng
Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu các bài tốn có liên quan mật thiết đến tính chất của tập hữu hạn các điểm và đường thẳng trong mặt phẳng. Ba bài toán sau sử dụng phương pháp cực trị trong lời giải.
Bài 3.1.12. ChoS là một tập hữu hạn các điểm trong một mặt phẳng, và tất cả đều không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng đi qua đúng hai điểm củaS.
Hình 3.8
Giải. Gọi L là tập (hữu hạn) tất cả các đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S. Từ các khoảng cách của các điểm trong S đến các đường thẳng trongLta chọn một số dương nhỏ nhất, gọi nó là khoảng cách từ điểm A ∈ S đến đường thẳng l ∈ L. Hình chiếu vng góc B của điểm A lên l xác định trên đường thẳng l hai nửa đường thẳng với điểm đầu B; ta chứng minh trên mỗi nửa đường thẳng có tối đa một điểm của S. Thật vậy, giả sử rằng trong một nửa đường thẳng có hai điểm khác nhau C1,C2 ∈ S sao cho0 ≤ |BC1| < |BC2| (hình 3.8). Do đó, tam giác AC1C2 tù (hoặc là tam giác vng, xảy ra khiC1 = B) với góc lớn nhất tạiC1. Do đó, |C1C2| < |AC2|, và bằng cách biểu thị diện tích của 4AC1C2 theo hai cách khác nhau ta nhận ra rằng khoảng cách giữa điểmC1 và đường thẳng AC2 nhỏ hơn khoảng cách giữa A và l, mâu thuẫn. Điều này có
Bài 3.1.13. Cho một tập hữu hạn S có n điểm (n ≥ 3) khơng thẳng hàng và
nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng kẻ được ít nhất n đường thẳng phân biệt nối 2 điểm trongSvới nhau.
Giải.Ta sử dụng phương pháp quy nạp với n. Đối vớin = 3 điều khẳng định đúng. Bây giờ ta giả sử rằng nó đúng vớin = k−1, và chứng minh với n = k. Theo Bài toán 3.1.12, trong số các đường nối của các điểm trong S tồn tại đường thẳng đi qua đúng hai điểm A,B ∈ S. Ví dụ, ta
chọn điểm A, sau đó ta đặt S0 = S \{A} và phân biệt hai trường hợp: Nếu tất cả các điểm trong tập (n−1) phần tử của S0 nằm trên đường thẳng l, thì ta có được một hệ n đường thẳng phân biệt {AX : X ∈ S0} ∪ {l}, theo giả thiết quy nạp, trong trường hợp ngược lại có ít nhất
(n−1) đường thẳng khác nhau giữa các đường thẳng nối trong S0 và không đường thẳng nào trong số chúng trùng với đường thẳngl = AB,
vìl∩ S0 = {B}.
Bài 3.1.14. Trong một mặt phẳng, cho bốn điểm không thẳng hàng.
a) Chứng minh rằng ta có thể chọn ba điểm tạo thành các đỉnh của một tam giác sao cho có một trong các góc của nó khơng vượt quá45◦.
b) Chỉ ra tồn tại 4 điểm thỏa mãn 3 điểm bất kỳ tạo thành tam giác có các góc lớn hơn hoặc bằng45◦.
Hình 3.9
Giải.a) Ta phân biệt hai trường hợp theo hình dạng của bao lồi của bốn điểm đã cho. Nếu bao lồi là tam giác A1A2A3, thì điểm A4 nằm bên trong tam giác (hình 3.9a). Do đó các đường thẳng AiA4 (i = 1, 2, 3)
đó khơng lớn hơn 1806◦ = 30◦ < 45◦. Mặt khác, nếu bao lồi là tứ giác lồi A1A2A3A4 (hình 3.9b), thì hai đường chéo chia các góc trong của nó thành tám góc, và ít nhất một trong số đó khơng lớn hơn 3608◦ = 45◦. Khẳng định được chứng minh.
b) Một ví dụ 4 điểm thỏa mãn bài tốn là 4 đỉnh của một hình vng tùy ý.
3.1.6 Các bài toán với hệ đoạn thẳng
Đối tượng nghiên cứu trong phần này là một số tính chất của hệ hữu hạn các đoạn thẳng trên một đường thẳng, các dây cung của một hình trịn cho trước, và các đoạn thẳng với tập hợp các đầu mút cho trước.
Bài 3.1.15. Cho 50 đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng. Giữa 2 đoạn thẳng bất kỳ có thể khơng có hoặc có nhiều điểm chung. Chứng minh rằng ít nhất một trong các khẳng định sau đây đúng:
(a) 8 đoạn thẳng có một điểm chung.
(b) Trong 8 đoạn thẳng, hai đoạn bất kỳ rời nhau.
Giải. Ta ký hiệu các đoạn thẳng đã cho là I1,I2, . . . ,I50 sao cho số của đoạn thẳng theo thứ tự của các đầu mút bên trái của đoạn thẳng trên đường thẳng (nằm ngang) từ trái sang phải. Ta giả sử rằng khẳng định đầu tiên khơng đúng, tức là khơng có 8 đoạn thẳng có điểm chung. Ta xét các đoạn thẳngI1,I2, . . . ,I8. Trong các đoạn thẳngI1,I2, . . . ,I7có một đoạn thẳng, ta ký hiệu là U1, khơng có điểm chung với I8 (nếu khơng, đầu mút bên trái của I8 sẽ nằm trên mỗi đoạn thẳng I1, . . . ,I7, mà theo giả thiết là không thể). Tuy nhiên đoạn thẳng U1 cũng tách rời tất cả các đoạn thẳng Ij, trong đó j > 8. Lập luận tương tự cho nhóm đoạn thẳng I8,I9, . . . ,I14 ta có thể chứng minh sự tồn tại của đoạn Ik = U2
(8 ≤ k ≤ 14), mà tách rời mỗi đoạn thẳng Ij, trong đó j ≥ 15. Lặp đi lặp lại thêm năm lần, ta có tám đoạn thẳng rời nhauU1,U2, . . . ,U7,I50.
Bài 3.1.16. Trên một đường thẳng cho n (n ≥ 3) đoạn thẳng thỏa mãn nếu
Chứng minh rằng ta có thể chọn hai điểm trên đường thẳng sao cho mỗi đoạn cho trước chứa chứa ít nhất một trong hai điểm đã chọn.
Giải. Ký hiệu các đoạn thẳng đã cho là I1,I2, . . . ,In sao cho số của đoạn thẳng theo thứ tự của các đầu mút bên trái của đoạn thẳng trên đường thẳng (nằm ngang) từ trái sang phải. Để cho đơn giản, ta đồng nhất đường thẳng đã cho với trục số, cũng như đồng nhất tất cả các đoạn Ik với đoạn[αk,βk], trong đóαk < βk (k = 1, 2, . . . ,n). Ta đặtα = maxαk =
αn vàβ = minβk = β1. Bây giờ ta giả sử rằng một số đoạn thẳng khơng chứa cả hai điểm này, tức là, có chỉ sối ∈ {1, 2, . . . ,n}sao cho α ∈/ [αi,βi]
và β ∈/ [αi,βi], tức là I1,Ii và In là ba đoạn thẳng rời nhau, mâu thuẫn
với giả thiết.
Bài 3.1.17. Giả sử nhiều dây cung được vẽ trong một đường trịn(C) của bán kính R = 1. Chứng minh rằng nếu mỗi đường kính của (C) cắt nhiều nhất k
dây cung, thì tổng các độ dài của tất cả các dây cung ít hơnkπ.
Hình 3.10
Giải. Giả sử rằng tổng s của độ dài của tất cả các dây cung thỏa mãn s ≥ kπ, ta sẽ chứng minh rằng có đường kính cắt ít nhất (k+1) dây cung. Vì độ dài của một cung tròn thuộc một dây cung cho trước lớn hơn độ dài của dây cung này, tổng của độ dài các cung thuộc tất cả các dây cung lớn hơn kπ. Với mỗi cung o ta kết hợp một cung o0 đối xứng vớioqua tâmScủa đường trịn(C) (hình 3.10). Tổng tất cả độ dài của hệ này gồm cả cung tròn gốc và cung đối xứng lớn hơn 2kπ, nên có điểm
X thuộc đường trịn(C) nằm trên ít nhất(k+1) dây cung. Đường kính đi qua điểm X thì cắt ít nhất (k+1) dây cung.
3.1.7 Các bài tốn với đa giác khơng lồi
Trong phần kết thúc phần này, ta sẽ chứng minh một số tính chất thú vị của đa giác khơng lồi. Trong sách giáo khoa, các đa giác như vậy thường chỉ được minh hoạ về một số hình dạng có thể (ba ví dụ có thể thấy trong hình 3.11; nếu chữ cái A có lỗ như bình thường, thì đó sẽ khơng phải là một đa giác).
Hình 3.11
Do đó ta bắt đầu bằng cách định nghĩa chính xác hơn một mặt phẳng đa giác, theo cách mà gồm cả đa giác lồi và không lồi. Với mục đích này ta bắt đầu với khái niệm đường gấp khúc đóng, giả sử ngay từ đầu rằng
đường gấp khúc khơng tự giao nhau.
Định nghĩa 3.1.4(Dãy quay vịng trịn). Trong một dãy quay vịng trịn có độ dài n ta coi các số hạng lân cận là các số hạng bắt đầu và kết thúc, và khi các chỉ số của các số hạng nằm ngồi chỉ số thơng thường
{1, 2, . . . ,n}, nó được lấy theo modun n.
Định nghĩa 3.1.5 (Chuỗi quay vịng trịn). Ta nói rằng một chuỗi quay vòng tròn A1,A2, . . . ,An các điểm trong một mặt phẳng tạo thành các đỉnh của đường gấp khúc đóng L (hình 3.12) nếu khơng có ba số hạng lân cận (hoặc các điểm) nằm trên cùng một đường thẳng, và nếu trong chuỗi quay vòng tròn của các đoạn
A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1
chỉ các số hạng lân cận (hoặc các đoạn thẳng) có một điểm chung; điểm chung này rõ ràng có thể chỉ là một đầu mút. Khi đó một đường gấp
khúc đóng L có thể được hiểu là hợp của n đoạn thẳng này, và ta viết
L = A1A2. . .AnA1.
Hình 3.12
Khơng chứng minh, bây giờ ta phát biểu định lý Jordan:
Định lý 3.1.6. Mỗi đường gấp khúc đóng L = A1A2. . .AnA1 chia mặt phẳng thành hai phần liên thơng, chỉ có một trong số đó bị chặn (tức là nó