Trong phần này và các bài tập dưới đây, chúng ta trình bày một số bài tốn về xác định số giao điểm trong hệ các đoạn thẳng, đường thẳng và đường trịn. Mặc dù đây là các bài tốn đơn giản, nhưng kết quả của Bài toán 3.1.5 sẽ được sử dụng nhiều lần trong chương này.
Ta cũng nhớ lại các khái niệm về các chùm đường thẳng loại một và loại hai. Một tập các đường thẳng trong mặt phẳng được gọi là
(a) một chùm đường thẳng loại một nếu tất cả các đường thẳng của tập song song với nhau, nghĩa là chúng có một hướng chung;
(b) một chùm đường thẳng loại hai nếu tất cả các đường thẳng của tập có một điểm chung, gọi làtâm của chùm đường thẳng.
Bài 3.1.4. Một đường gấp khúc đóng chứa 2n+1 đoạn (n ≥ 1). Xác định số giao điểm lớn nhất mà đường gấp khúc tự cắt chính nó.
Giải. Ta xét đoạn AB tùy ý của đường gấp khúc. Nó có thể chứa nhiều nhất2n−2 giao điểm, vì ABkhơng bị cắt bởi ít nhất hai đoạn thẳng, cụ thể là hai đoạn liền kề. Điều này cho phép ước lượng sốkgiao điểm:k ≤
(2n+1)(2n−2)
2 = (2n+1)(n−1). Có thể dựng đường gấp khúc với chính xác(2n+1)(n−1) giao điểm: Lấy một đa giác A1A2. . .A2n+1trong đó khơng có ba đường chéo giao nhau tại cùng một điểm (sự tồn tại của đa giác như vậy được chỉ ra trong bài toán 3.1.1), và dựng đường gấp khúc đóng A1An+1A2n+1AnA2nAn−1. . .A2An+2A1, có tính chất thỏa mãn.
Bài 3.1.5. Cho đa giác lồi A1,A2, . . . ,An thỏa mãn khơng có ba đường chéo nào giao nhau tại một điểm trong đa giác. Có bao nhiêu giao điểm bên trong đa giác tạo bởi các đường chéo của nó?
Cách giải 1. Chúng ta xét đường chéo cố định A1Ak (k = 3, 4, . . . ,n−1)
và xác định số giao điểm khác nhau trên đường chéo này. Trong một nửa mặt phẳng xác định bởi đường A1Ak có k −2 đỉnh, và trong nửa mặt phẳng cịn lại có n−k trong tổng số n−2 đỉnh cịn lại của đa giác A1A2. . .An(hình 3.2).Vì vậy đường chéo A1Ak giao với các đường chéo khác tại(n−k)(k−2) điểm, và sốa1(n) giao điểm của tất cả các đường chéo xuất phát từ A1 thỏa mãn
a1(n) = n−1 ∑ k=3 (n−k)(k−2) = n−1 ∑ k=3 [(n+2)k−k2 −2n] = (n−1)(n−2)(n−3) 6 .
Nếu ta thêm các số này cho tất cả các đỉnh A1, . . . ,An của đa giác, khi đó ta đếm mỗi giao điểm bốn lần. Do đó cho tổng A(n) của tất cả các đường chéo ta có được
A(n) = n 4a1(n) = n(n−1)(n−2)(n−3) 24 = n 4 . (3.3) Hình 3.2 Hình 3.3
Cách giải 2. Ta chứng minh cơng thức (3.3) bằng cách khác. Bất kỳ giao điểm X của hai đường chéo tương ứng với một bộ bốn đỉnh của đa giác n đỉnh, cụ thể là các đầu mút của hai đường chéo giao nhau tại X. Ta ký hiệu bốn điểm là B1,B2,B3,B4 theo cách điểm X tương ứng với giao
điểm của đường chéoB1B3vàB2B4 (hình 3.3), trong khi đó khơng có hai đoạn khác nối các điểm này có điểm chung bên trong. Do đó ta có số giao điểm bằng số cách chọn bốn đỉnh của đa giácn đỉnh, là(n4).
Bài 3.1.6. Giả sử có 5 điểm trong mặt phẳng, và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kỳ, khơng có hai đường thẳng song song hoặc vng góc với nhau. Từ mỗi điểm cho trước dựng các đường vng góc với tất cả các đường nối bốn điểm cịn lại. Chứng minh rằng số lượng các giao điểm trong tập hợp các đường thẳng vng góc này khơng vượt q 310.
Hình 3.4
Giải. Số lượng các đường thẳng được xác định bởi các cặp điểm cho trước là (52) = 10, và có 4 đường thẳng đi qua điểm cho trước bất kỳ. Do đó từ mỗi điểm có 6 đường vng góc với các đường thẳng nối các điểm khác. Trước tiên ta hãy xét hai điểm cho trước là A,B, và đếm giao điểm của các đường vng góc từ A với các đường vng góc từ B. Ký hiệu các điểm cịn lại làC,D,E. Ta chia 6 đường vng góc từ A thành hai nhóm: Các đường thẳng p1,p2,p3 sẽ vng góc với các đường thẳng BC,BD,BE; chúng giao với tất cả 6 đường vng góc r1,r2, . . . ,r6 xuất phát từ điểm B bằng 3 ·6 = 18 giao điểm. Mỗi một trong ba đường cịn lại q1,q2,q3 từ điểm A, vng góc với một trong ba đường thẳng CD,CE,DE, giao với 5 đường vng góc từ B, và nó khơng cắt đường thứ sáu (chúng là hai đường vng góc với cùng một đường thẳng, xem hình 3.4). Điều này thêm 3 ·5 = 15 giao điểm khác. Vì vậy, các đường vng góc từ điểm A và từ điểm B cắt nhau tại 18+15 = 33 điểm. Ta
có thể chọn hai trong năm điểm cho trước có (52) = 10 cách, vì vậy số p giao điểm khơng thể vượt quá 10·33 = 330. Ta cũng lưu ý rằng các điểm cho trước tạo thành các đỉnh của(53) = 10tam giác, trong mỗi tam giác, cả ba giao điểm của ba đường cao trùng nhau. Như vậy, cuối cùng
p ≤ 330−2·10 = 310.