3.2 Hệ các đường cong và miền
3.2.2 Chia mặt phẳng bằng đường cong kín
Nội dung của phần này liên quan chặt chẽ đến bài tập trong 3.2.1; một lần nữa ta quan tâm đến số miền mà mặt phẳng bị chia. Tuy nhiên, thay vì đường thẳng là “đường chia”, bây giờ ta sẽ sử dụng các đường cong kín, cụ thể là các đường trịn và đường biên của đa giác (lồi). Trong mục này, các câu hỏi về số lượng các miền không bị chặn đã mất ý nghĩa, vì chỉ có duy nhất một miền như vậy.
Bài 3.2.4. Tìm số miền lớn nhất k(n) mà một mặt phẳng có thể bị chia bởi n
đường trịn.
Giải. Rõ ràng, k(1) = 2; bây giờ giả sử k(n) là số miền lớn nhất có thể mà mặt phẳng có thể bị chia bởi n đường tròn. Thêm đường tròn thứ
(n+1); nó có nhiều nhất 2n giao điểm với các đường tròn trước, và các giao điểm xác định tối đa 2n cung tròn trên đường tròn mới, và mỗi cung tròn này chia một trong những miền ban đầu thành hai miền mới.
Do đó k(n+1) ≤ k(n) + 2n. Tương tự như Bài 3.2.1, từ đó ta có được ước lượng
k(n) ≤ 2+2+4+. . .+2(n−1) = n2−n+2 (3.7) Trong bất đẳng thức này ta có đẳng thức nếu có một hệ n đường tròn sao cho hai đường bất kỳ cắt nhau tại hai điểm, và khơng có ba đường nào đi qua cùng một điểm. Khơng khó để dựng một hệ đường trịn như vậy: Ta chọn một đường thẳng AB bất kỳ có chiều dàid và xét một hệ n đường tròn đồng nhất với bán kínhd và các tâm trong khác nhau của nó là những điểm trong của đoạn AB. Hai đường tròn bất kỳ trong hệ này có đúng hai điểm chung khác nhau, vì khoảng cách giữa tâm của chúng nhỏ hơn d. Nếu ba đường trịn đi qua một điểm X, thì tâm của chúng sẽ tạo thành bộ ba điểm trên cùng một đoạn thẳng và có cùng khoảng cách từX, điều đó là khơng thể. Như vậy, giá trị lớn nhất củak(n) bằng
n2−n+2 với mọin ≥ 1.
Bài 3.2.5. Tìm số miền lớn nhất N(n) mà một mặt phẳng bị chia bởi biên của hai đa giác lồinđỉnh.
Giải. Bất kỳ miền nào xuất hiện khi chia nhỏ mặt phẳng bởi hai đa giác thì thuộc một trong ba loại sau:
(a) miền “trong” nằm trong cả hai đa giác; có nhiều nhất một miền như vậy;
(b) miền “ngoài” nằm bên ngồi cả hai đa giác; đây là một miền vơ hạn duy nhất;
(c) các miền nằm bên ngồi một đa giác và bên trong đa giác cịn lại; ta sẽ ước lượng số N0(n) miền này.
Hình 3.21
Mỗi miền của loại (c) là đa giác (có ít nhất ba cạnh) có biên được tạo thành bởi các đoạn thẳng mà hoặc là một cạnh của các đa giác đã cho hoặc là một phần của các cạnh này. Mỗi đoạn thẳng như vậy tạo thành biên của một miền duy nhất loại (c). Bây giờ cần lưu ý rằng mỗi cạnh của một trong số hai đa giácnđỉnh có thể được chia bởi các cạnh của đa giác còn lại thành tối đa ba đoạn thẳng như vậy; do đó, ta có
N0(n) ≤ 1
3(3n+3n) = 2n
và do đó N(n) ≤ 1+1 +2n = 2n+2. Nếu ta xét hai đa giác đều n đỉnh với tâmSchung, một trong hai có được từ góc quay khác bằng góc
α = π
n quanh tâm S (hình 3.21 minh họa với n = 6), thì rõ ràng là số phần được chia có thể là2n+2. Do đóN(n) = 2n+2.