3.2 Hệ các đường cong và miền
3.2.3 Chia một đa giác lồi
Bài 3.2.6. Cho n ≥ 4, tìm số k lớn nhất với tính chất sau đây: Đa giác lồi n
đỉnhMbị chia bởi hệ các đường chéo của nó thành các miền trong đó có ít nhất một đa giáck đỉnh.
Giải.Giả sử một trong các miền con củaM là đa giác (lồi)kđỉnhP. Qua mỗi đỉnh của đa giác M có nhiều nhất hai cạnh hoặc đường chéo mà chứa cạnh củaP. Mỗi cạnh củaP chiếm hai đỉnh củaM và do đó ta có k ≤ 2n2 = n. Nếu n lẻ, dễ dàng thấy rằng giá trị k = n có thể đạt được:
Xét một đa giác đềunđỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâmS. Khơng có đường chéo nào đi quaS; điểm này nằm trong miền P, là đa giác có đúngncạnh, vì khi xoay quanhSmột góc 2πn đa giác P được ánh xạ vào chính nó (xem hình 3.22 cho n = 5)
Hình 3.22
Cho n chẵn. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng trong trường hợp này giá trịn = k không thể đạt được. Thật vậy ta giả sử rằng một trong các miền mà đa giác n đỉnh M bị chia bởi các đường chéo của nó là một đa giácnđỉnh P. Do đó mỗi đỉnh Xcủa Mđược giao bởi đúng hai cạnh hoặc đường chéo XY,XZ, mà chứa các cạnh của P, và các đỉnhY,Z là lân cận (xét đường chéo nối X với đỉnh mà không nằm giữa chúng).
Ta đặt M = A1A2. . .An và cho hai cạnh của P nằm trên A1Ai và A1Ai+1(Xem hình 3.23). VìP nằm trong một nửa mặt phẳng A1Ai+1Ai, cạnh hoặc đường chéo thứ hai có gốc là Ai+1 và chứa một cạnh của P
là Ai+1A2; do đó P nằm trong một nửa mặt phẳng A2Ai+1A1. Đường chéo thứ hai có gốc là A2 và chứa một cạnh củaP là A2Ai+2. Lặp lại lập luận này, ta có được khẳng định sau đây: Với k = 1, 2, . . . ,n bất kỳ, các cạnh củaP nằm trên các đường chéo Ai+k−1Ak và AkAi+k (do đó ta đặt An+j = Aj với mọi j). Nhưng một số cạnh của P nằm trên đường chéo Ai+1A1 và Ai+2A2. So sánh k = i+1 ta có A1 = A2i, tức là, i = 12 hoặc i = n+12 , điều này mâu thuẫn.
Trong trường hợp n chẵn, ta khơng thể có nhiều hơn một đa giác
(n−1) đỉnh trong các miền mà đa giác n đỉnh bị chia bởi đường chéo của nó. Ta cịn phải chứng minh sự tồn tại một đa giácnđỉnh thích hợp với một đa giác (n−1) đỉnh là một miền con của nó. Ví dụ trường hợp n = 4 là một hình vng; vậy cho n = 2m ≤ 6. Hãy xét đa giác đều
(2m−1) đỉnh A1A2. . .A2m−1 nội tiếp trong đường tròn tâm S. ĐiểmS nằm bên trong đa giác(2m−1)đỉnhP. Bây giờ ta chọn điểmBnằm trên đoạn A1A2 và điểmCtrên đoạn A1A2m−1, cả hai đều đủ gần A1sao cho các đoạn thẳng AmCvà Am+1Bgiao nhau tại điểm XngồiP (xem hình 3.24). Do đó, đa giác (2m) đỉnh M với các đỉnh B,A2,A3, . . . ,A2m−1,C (được lấy từ A1,A2,A3, . . . ,A2m−1 bằng cách “cắt” tam giác A1BC) có tính chất mong muốn mà ta chỉ cần xét miền có chứa điểmS.