Sử dụng Geogebra để học sinh mô hình hóa kết quả bài toán, mở rộng,

CHƢƠNG 2 KHAI THÁC PHẦN MỀM GEOGEBRA

2.3. Sử dụng Geogebra để học sinh mô hình hóa kết quả bài toán, mở rộng,

rộng, phát triển bài toán.

Ví dụ 2.12: Xét Ví dụ 2.8, sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ học sinh suy luận, phân tích tìm lời giải bài toán. Thay giả thiết dây CD không cắt đƣờng kính AB bởi điều kiện dây CD cắt đƣờng kính AB, ta có bài toán mới:

Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB, dây CD cắt đƣờng kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đƣờng vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK

Tƣơng tự nhƣ Ví dụ 1 ở phần 2.3, sử dụng phần mềm GeoGebra, ta vẽ đƣợc hình minh hoạ nhƣ sau.

Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Di chuyển:

Cho đoạn thẳng CD di chuyển trên đƣờng tròn (O), đƣờng kính AB. Quan sát và so sánh CH và DK.

Ví dụ 2.13: Cho tam giác nhọn ABC (có o

A90 ). Chọn A làm đỉnh, theo thứ tự lấy AC, AB làm cạnh ta vẽ các tam giác vuông cân CAE và BAD ra phía ngoài tam giác đã cho. Gọi P, Q, M lần lƣợt là trung điểm của BD, CE, CB.

a) So sánh BE và CD. Chứng minh CD  BE. b) Chứng minh rằng PMQ là tam giác vuông cân. * Thao tác vẽ hình nhƣ sau:

- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Điểm mới: Ta vẽ đƣợc 3 đỉnh A, B, C của tam giác ABC

- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đƣờng tròn khi biết tâm và 1 điểm trên đƣờng tròn: Ta vẽ đƣợc các đƣờng tròn (A,AB) và (A,AC).

- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đƣờng vuông góc: Vẽ đƣợc các đƣờng vuông góc với AB tại A và đƣờng vuông góc với AC tại A.

- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Giao điểm của hai đối tƣợng: Vẽ đƣợc các điểm D thuộc đƣờng tròn (A,AB) và điểm D thuộc đƣờng tròn (A,AC) thoả mãn ABDvuông cân tại A và ACEvuông cân tại A.

- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Trung điểm: Vẽ đƣợc các điểm P, Q, M lần lƣợt là trung điểm của BD, CE, CB.

* Tìm hƣớng giải quyết bài toán:

Muốn chứng minh BE = CD, ta chứng minh DAC BAE

a) Ta có: o

DACBAEBAC 90

Xét DAC BAE có AD = AB (gt); AC = AE (gt); DACBAE

(cmt) nên DAC BAE(c.g.c). Từ đó suy ra: BE = CD (hai cạnh tƣơng ứng).

Vì DAC BAEnên suy ra ACIAEI(hai góc tƣơng ứng).

Mặt khác E và C nằm cùng phía với AI nên tứ giác AECI nội tiếp đƣợc,

suy ra o

b) Ta có MQ = 1

2BE; MQ // BE (gt) MP = 1

2CD; MP // CD (gt) Từ đó suy ra MP = MQ

Mặt khác BE  CD (cmt) nên MP  MQ, suy ra MQ vuông cân tại M

* Khai thác mở rộng bài toán:

Nhận xét 1: Vấn đề đặt ra: Nếu tam giác ABC cho trƣớc có o

A90 và cũng thiết lập bài toán tƣơng tự thì ta có đƣợc những kết quả đã chứng minh không?

Chọn nhóm công cụ di chuyển , sau đó chọn Di chuyển: Di chuyển điểm A sao cho o

A90 , ta thấy các tính chất của hình vẽ không thay đổi. Từ đó ta có các bài toán khác nhƣ sau:

Ví dụ 2.13.1: Cho tam giác ABC (có o

A90 ). Chọn A làm đỉnh, theo thứ tự lấy AC, AB làm cạnh ta vẽ các tam giác vuông cân CAE và BAD ra phía ngoài tam giác đã cho. Gọi P, Q, M lần lƣợt là trung điểm của BD, CE, CB.

a) So sánh BE và CD. Chứng minh CD  BE. b) Chứng minh rằng PMQ là tam giác vuông cân.

Ví dụ 2.13.2: Cho tam giác ABD. Trên nửa mặt phẳng không chứa tia AC, có bờ là đƣờng thẳng AB vẽ AD  AB và AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa tia AB, có bờ là đƣờng thẳng AC vẽ AE  AC và AE = AC. Gọi P, Q, M lần lƣợt là trung điểm của BD, CE, CB. Chứng minh rằng

a) CD = BE và CD  BE. b) PMQ là tam giác vuông cân

Ví dụ 2.13.3: Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABND và ACRE. Gọi P và Q theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABND và ACRE. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:

a) CD = BE và CD  BE. b) PMQ là tam giác vuông cân

Việc giải các ví dụ 12.1, 12.2 và 12.3 cơ bản nhƣ ví dụ 12 ban đầu, nhƣng ở đây, trong mỗi ví dụ, học sinh đƣợc tiếp cận bài toán dƣới các cách vẽ hình khác nhau, dƣới các dạng kiến thức khác nhau.

Ví dụ 2.14: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các các hình vuông ACMN, BCPQ.

a) Chứng minh rằng AP = BM, AP  BM

b) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, DH. Gọi I, K theo thứ tự là tâm đối xứng của các hình vuông ACMN, BCPQ. Tứ giác IEKF là hình gì? * Sử dụng GeoGebra ta vẽ đƣợc hình theo đề bài nhƣ sau:

* Tìm hƣớng giải quyết bài toán:

Muốn chứng minh AP = BM ta chứng minh ACP MCB Giả sử AP cắt BM tại D.

Muốn chứng minh AP  BM tại D, ta chứng minh o

DPMPMD90

Sử dụng kết quả câu a) AP = BM và AP  BM để chứng minh IEKF là hình vuông.

a) Xét ACP và MCB có AC = MC (gt), CP = CB (gt), o

ACPMCB90

(gt) nên ACP MCB(c.g.c). Suy ra AP = MB (hai cạnh tƣơng ứng) Ta có APCDPM(đối đỉnh)

Do đó o

CMB DPM CAPAPC90 hay AP  BM tại D.

b) Ta có IF là đƣờng trung bình của tam giác AMP nên suy ra IF // AP và IF =

1 2AP

Tƣơng tự:

EK là đƣờng trung bình của tam giác ABP nên EK // AP và EK = 1

2AP IE là đƣờng trung bình của tam giác AMB nên IE // MB và IE = 1

2MB KF là đƣờng trung bình của tam giác BMP nên KF // MB và KF = 1

2

MB

Mà AP = BM (câu a) nên suy ra IE = EK = KF = FI, do đó IEKF là hình thoi.

Lại có IF // AP, IE // MB mà AP  MB (câu a) nên suy ra IE  IF hay

o

EIF90

Hình thoi IEKF có o

EIF90 nên là hình vuông

* Mở rộng bài toán: Vẽ các đƣờng tròn (I) và (K) ngoại tiếp các hình vuông ACMN và BCPQ. Dễ dàng nhận thấy hai đƣờng tròn (I) và (K) cắt nhau tại C và D. Do đó ta có thể mở rộng bài toán trên nhƣ sau:

Ví dụ 2.14.1: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các các hình vuông ACMN, BCPQ. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, DH. Gọi I, K theo thứ tự là tâm hình tròn ngoại tiếp các các hình vuông ACMN, BCPQ.

a) Chứng minh rằng AP = BM, AP  BM.

b) Gọi D là giao điểm của AP và BM. Chứng minh rằng năm điểm A, C, D, M, N nằm trên một đƣờng tròn, năm điểm B, C, P, D, Q nằm trên một đƣờng tròn

c) Chứng minh DC  IK d) Tứ giác IEKF là hình gì?