CHƢƠNG 2 KHAI THÁC PHẦN MỀM GEOGEBRA
2.2. Sử dụng GeoGebra để hỗ trợ học sinh phát hiện cách giải quyết vấn đề
đề
Việc khai thác mô hình để tìm ra cách giải quyết vấn đề, mở rộng, khám phá bài toán hay phát hiện sai lầm trong lời giải rất có ý nghĩa trong dạy học Toán. Trƣớc hết, nhờ phần mềm dạy học (PMDH), HS sẽ đƣa ra dự đoán của mình. Tiếp sau đó, HS sẽ tƣơng tác với PMDH bằng cách đặt ra các câu hỏi để PMDH trả lời. Nếu dự đoán của HS đƣợc củng cố niềm tin từ câu trả lời của PMDH, HS sẽ tìm các làm sáng tỏ chúng. Quy trình này có thể mô tả bởi lƣợc đồ:
Việc dùng PMDH để đƣa ra, kiểm nghiệm các dự đoán và việc sử dụng lập luận suy diễn để làm sáng tỏ vấn đề có tác dụng thúc đẩy hỗ trợ cho nhau trong suốt quá trình HS tìm tòi lời giải.
Việc tƣơng tác với phần mềm cũng rất đa dạng, chẳng hạn: Thay đổi các tham số đầu vào, thay đổi mối quan hệ giữa các đối tƣợng Toán học,... để từ đó phát hiện, dự đoán, bác bỏ dự đoán,... và cuối cùng đi đến kết luận về một khái niệm, một tính chất, một cách giải quyết vấn đề, một bài toán mới,...
Tuy nhiên để khai thác có hiệu quả mô hình do phần mềm cung cấp đòi hỏi ngƣời GV phải có KN tƣơng tác với phần mềm, hơn nữa là phải thiết kế đƣợc các hoạt động cho HS tƣơng tác với phần mềm.
Cho thay đổi mô hình để quan sát Dự đoán Tạo mô hình Kiểm tra dự đoán Tìm cách chứng minh Đúng Sai
Ví dụ 2.4: Cho đường tròn (O), điểm A cố định nằm trên đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của dây AB khi B di chuyển trên đường tròn (O)
* Thao tác vẽ hình nhƣ sau:
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đƣờng tròn khi biết tâm và 1 điểm trên đƣờng tròn: Vẽ đƣợc đƣờng tròn (O) và điểm A thuộc (O).
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Điểm mới: Vẽ đƣợc điểm B thuộc (O)
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Trung điểm: Vẽ đƣợc trung điểm M của AB.
* Tìm hƣớng giải quyết bài toán:
Dự đoán quỹ tích: Vì ba điểm A, O, M không thẳng hàng (A, O cố định) nên quỹ tích điểm M là đƣờng tròn hoặc cung tròn.
- Sử dụng chức năng Di chuyển: Cho điểm B di chuyển trên đƣờng tròn (O) ta thấy điểm M di chuyển trên đƣờng tròn chứa A và O.
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Vẽ đƣờng tròn qua 3 điểm có sẵn: Ta vẽ đƣợc đƣờng tròn đi qua ba điểm A, O, M.
Nhận xét rằng M là trung điểm AB nên suy ta OM AB tại M (tính chất đƣờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm)
* Lời giải tóm tắt:
Vì M là trung điểm của dây AB nên suy ra OM AB tại M.
Ta có o
AMO90 mà O, A cố định (gt) nên suy ra M nằm trên đƣờng tròn đƣờng kính AO.
Vậy khi B di chuyển trên đƣờng tròn (O) thì M di chuyển trên đƣờng tròn đƣờng kính AO
Ví dụ 2.5: Cho đường tròn (O), hai điểm B, C cố định trên đường tròn. Điểm A nằm trên đường tròn. Tìm quỹ tích giao điểm ba đường cao của tam giác ABC khi A di động trên đường tròn
* Thao tác vẽ hình nhƣ sau:
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đƣờng tròn khi biết tâm và bán kính: Vẽ đƣợc đƣờng tròn (O)
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Điểm mới: Vẽ đƣợc 3 điểm A, B, C thuộc đƣờng tròn (O)
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đƣờng vuông góc: Vẽ đƣợc các đƣờng cao của tam giác ABC.
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Giao điểm của hai đối tƣợng: ta xác định đƣợc giao điểm các đƣờng cao BH và CK tại M.
* Tìm hƣớng giải quyết bài toán:
- Chọn chuột phải vào điểm M, tích vào mục hiển thị dấu vết khi di chuyển
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Di chuyển: Cho điểm A di chuyển trên đƣờng tròn (O), ta thấy dấu viết của điểm M hiển thị là một đƣờng tròn
Dự đoán quỹ tích là đƣờng tròn đối xứng với đƣờng tròn (O) qua đƣờng thẳng BC.
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đối xứng qua đƣờng thẳng: Vẽ đƣợc điểm O’ đối xứng với O qua BC.
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đoạn thẳng: Vẽ đoạn thẳng O’M.
- Cho điểm A di chuyển trên đƣờng tròn (O), ta thấy đoạn OM quay quanh điểm O’ và quét nên hình tròn (O’,O’M).
Vẽ đƣờng kính AD.
Ta có BM AC (gt), DC AC nên suy ra BM // DC CM AB (gt), DB AB nên suy ra BD // CM
Tứ giác BMCD có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau nên là hình bình hành. Suy ra điểm M đối xứng với điểm D qua trung điểm I của BC (tính chất của hình bình hành). Ta có BC cố định nên trung điểm I của BC cũng cố định. Vì D di chuyển trên đƣờng tròn (O) nên suy ra M di chuyển trên đƣờng tròn (O’) đối xứng với đƣờng tròn (O) qua BC.
Ví dụ 2.6: Bài toán 3, trang 182, Thực hành giải Toán (Giáo trình đào tạo giáo viên Trung học cơ sở hệ Cao đẳng sư phạm- Vũ Dương Thuỵ (chủ biên), NXB Giáo dục- 1998):
Cho đƣờng tròn (O) và đƣờng thẳng xy ở ngoài (O). Kẻ OA vuông góc với xy. Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt xy lần lƣợt tại D và E. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE
* Thao tác vẽ hình nhƣ sau:
- Sử dụng nhóm công cụ tạo điểm , sau đó chọn Điểm mới: ta vẽ đƣợc các điểm O và A.
- Sử dụng nhóm công cụ đƣờng tròn, cung tròn , sau đó chọn Đƣờng tròn khi biết tâm và bán kính: ta vẽ đƣờng tròn tâm O, bán kính bất kì nhỏ hơn OA
- Sử dụng nhóm công cụ quan hệ , chọn Đƣờng vuông góc: ta vẽ đƣợc đƣờng thẳng xy vuông góc với OA tại A
- Vẽ cát tuyến ABC (B, C thuộc (O))
- Sử dụng nhóm công cụ quan hệ , chọn Đƣờng vuông góc: ta vẽ đƣợc tiếp tuyến BD và CE với đƣờng tròn (O) (E, D (O))
* Tìm hƣớng giải quyết bài toán:
Muốn chứng minh AE = AD, có nhiều cách chẳng hạn ta chứng minh
OAE = OAD OE = OD OCE = OBD COEBOD COEBOD
* Lời giải tóm tắt:
Tứ giác COAE nội tiếp COECAE (cùng chắn cung CE)
Tứ giác ABOD nội tiếp DOBCAE (hai góc cùng bù với góc BAD) Từ đó suy ra COEBOD OCE = OBD (g.c.g) OE = OD
OAE = OAD AE = AD
Trong dạy học giải bài tập hình học, để vận dụng các biện pháp truyền thống nhƣ đặc biệt hoá, khái quát hoá... có thể học sinh phải vẽ rất nhiều hình. Điều này đôi khi không thực hiện đƣợc vỉ điều kiện thời gian. Cũng có trƣờng hợp học sinh đƣa ra những nhận xét mới chỉ đúng trong một vài hình vẽ cụ thể, còn trong trƣờng hợp tổng quát thì lại không đúng. Với việc khai thác
tính động và các công cụ đo đạc, kiểm tra của GeoGebra, ta có môi trƣờng rất thuận lợi để thực hiện các biện pháp trên trong một thời gian rất ngắn.
Mặt khác, khi xét các trƣờng hợp đặc biệt hoá, với môi trƣờng truyền thống, học sinh chỉ có đƣợc hình vẽ ở trạng thái tĩnh. Với GeoGebra, ngoài hình vẽ thì điều quan trọng hơn rất nhiều là học sinh đƣợc quan sát trực quan quá trình dẫn đến các trƣờng hợp đặc biệt đó nhƣ thế nào.
Ví dụ 2.7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). D thuộc cung nhỏ AC. Gọi H, I, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng AB, AC, BC. Chứng minh rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng
* Thao tác vẽ hình nhƣ sau:
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đƣờng tròn khi biết tâm và bán kính: ta vẽ đƣợc đƣờng tròn (O)
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Điểm mới: ta vẽ đƣợc các điểm A, B, C, D thuộc đƣờng tròn (O).
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Đƣờng vuông góc: Ta vẽ đƣợc các đƣờng thẳng qua D lần lƣợt vuông góc với AB, AC, BC.
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Giao điểm của hai đối tƣợng: Vẽ đƣợc các giao điểm H, I, K
* Tìm hƣớng giải quyết bài toán:
Cho điểm D di chuyển trên cung tròn AC tới một số vị trí, ta thấy H, I, K thay đổi nhƣng luôn thẳng hàng.
Ta có: o o o
AHD AID 90 90 180 nên tứ giác AHDI nội tiếp đƣợc đƣờng tròn (đƣờng kính AD). Suy ra DIHDAH (cùng chắn cung DH) (1)
Tƣơng tự: o
CIDCKD90 nên tứ giác CDIK nội tiếp đƣợc đƣờng tròn (đƣờng kính CD). Suy ra o
DIK180 DCK
Mặt khác tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn (O) nên suy ra
DCKDAH(2)
Từ (1) và (2) suy ra o
DIHDIK180 , do đó ba điểm H, I, K thẳng hàng
Sử dụng GeoGebra cho phép giáo viên dễ dàng kiểm tra kết quả giải bài tập của học sinh hoặc học sinh có thể tự kiểm tra tính chính xác của lời giải, kết quả tính toán của mình bằng cách:
- Sử dụng các chức năng công cụ kiểm tra: kiểm tra tính thẳng hàng, tính song song, tính vuông góc, tính cách đều, tính liên thuộc,… để minh hoạ hoặc bác bỏ một phát hiện, một dự đoán nào đó.
- Sử dụng các công cụ đo đạc, tính toán: đo độ dài một đoạn thẳng, khoảng cách giữa hai điểm, tính diện tích của tam giác, đa giác, hình tròn... để kiểm tra tính chính xác việc tính toán.
- Khai thác tính động: biện luận kết quả của bài toán.
Ví dụ 2.8: Xét bài tập 11 trang 104 SGK Toán 9- tập 1 NXB Giáo dục:
Cho đƣờng tròn (O) đƣờng kính AB, dây CD không cắt đƣờng kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đƣờng vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK
Gợi ý. Kẻ OM vuông góc với CD.
Sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ hình theo các bƣớc nhƣ sau:
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Đoạn thẳng: Vẽ đƣợc đoạn thẳng AB
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Trung điểm: Vẽ đƣợc trung điểm O của AB.
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Điểm thuộc đối tƣợng: Vẽ đƣợc hai điểm C và D thuộc (O)
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Đƣờng thẳng qua 2 điểm: Vẽ đƣợc đƣờng thẳng CD.
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Đƣờng vuông góc: Ta vẽ đƣợc ba đƣờng thẳng qua A, O, B và cùng vuông góc với đƣờng thẳng CD.
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Giao điểm của hai đối tƣợng:
Lần lƣợt tạo đƣợc các giao điểm E, F, G của đƣờng thẳng đi qua A, O, B và vuông góc với CD. Đổi tên E, F, G lần lƣợt thành H, M, K.
Vận dụng tính chất đƣờng kính vuông góc với một dây không đi qua tâm thì đi qua trung điểm của dây ấy và tính chất đƣờng trung bình của hình thang, ta có lời giải nhƣ sau:
Vẽ OM CD OM // AH // BK (vì cùng với CD)
Hình thang AHKB có OM // AH, mà OA = OB MH = MK (1) Mặt khác, ta có OM CD nên suy ra MC = MD (2) Từ (1) và (2) suy ra MH MC = MK MD CH = DK
Ví dụ 2.9: Xét bài tập 30 trang 116 SGK Toán 9- tập 1 NXB Giáo dục:
Cho nửa đƣờng tròn tâm O có đƣờng kính AB (đƣờng kính của một đƣờng tròn chia đƣờng tròn đó thành hai nửa đƣờng tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đƣờng tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đƣờng tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đƣờng tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a) COD = 90o. b) CD = AC + BD
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đƣờng tròn Sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ hình theo các bƣớc nhƣ sau:
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Đoạn thẳng: Vẽ đƣợc đoạn thẳng AB
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Trung điểm: Vẽ đƣợc tâm O.
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Cung tròn khi biết tâm và 2 điểm trên cung tròn:
Lần lƣợt chọn các điểm O, B, A, ta vẽ đƣợc nửa đƣờng tròn tâm O, đƣờng kính AB.
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Đƣờng vuông góc:
Lần lƣợt chọn điểm A và đoạn thẳng AB, chọn điểm B và đoạn thẳng AB, ta đƣợc hai đƣờng thẳng vuông góc với AB tại A và B.
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Điểm thuộc đối tƣợng: Vẽ đƣợc điểm M thuộc cung tròn AB
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Đoạn thẳng: Vẽ đƣợc đoạn thẳng OM
- Chọn nhóm công cụ , sau đó chọn Đƣờng vuông góc: Vẽ đƣờng thẳng vuông góc với OM tại M, ta đƣợc tiếp tuyến tại M của nửa đƣờng tròn.
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Giao điểm của hai đối tƣợng: Vẽ đƣợc điểm C và điểm D lần lƣợt là giao điểm của tiếp tuyến tại M với hai tiếp tuyến tại A và B của nửa đƣờng tròn (O).
Tìm hƣớng giải: Phần a):
- Chọn nhóm đối tƣợng , sau đó chọn Di chuyển:
Cho điểm M di chuyển trên nửa đƣờng tròn (O), đƣờng kính AB. Quan sát và dự đoán số đo góc COD (bằng 90o)
Lời giải hoàn chỉnh nhƣ sau:
Vì Ax AB; By AB nên suy ra Ax, By là tiếp tuyến của (O) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AOCCOM; MODDOB
CM = CA; DM = DB
a/. Ta có COD = 900 (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù) b/. CD = CM + MD = AC + BD
c/. Áp dụng hệ thức h2
= b’.c’ vào tam giác COD vuông tại O ta có: OM2 = CM.MD
hay AC.BD = R2 (không đổi)
Ví dụ 2.10: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc miền trong của góc. Các điểm M, N thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho góc o
MAN90 . Xác định vị trí của M, N để: a) MN có độ dài nhỏ nhất b) AM + AN có độ dài nhỏ nhất c) AM + AN có độ dài lớn nhất * Thao tác vẽ hình nhƣ sau:
* Tìm hƣớng giải quyết bài toán:
Cho góc MAN quay quanh điểm A, ta thấy M di chuyển trên tia Ox, N di chuyển trên tia Oy và trung điểm I của MN di chuyển trên đoạn thẳng cố định (BC)
Gọi I là trung điểm của MN thì OI = IA = 1
2MN (tính chất đƣờng trung tuyến của tam giác vuông). Suy ra I thuộc trung trực của OA.
Vẽ trung trực của OA cắt Ox tại B và cắt Oy tại C, cắt OA tại H thì I thuộc đoạn BC giả sử OB > OC
Theo tính chất đƣờng xiên và hình chiếu ta có OI nhỏ nhất khi I trùng H và OI lớn nhất khi I trùng C từ đó suy đƣợc vị trí của M, N để MN nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Suy ra AM, AN lớn nhất khi MN lớn nhất và AM, AN bé nhất khi MN nhỏ nhất
Khi I trùng H, ta có MN = OA AMON là hình bình hành, có góc
o
MAN90 nên tứ giác AMON là hình chữ nhật. Khi M trùng O thì I trùng C MN = 2OC Khi N trùng O thì I trùng B MN = 2OB
Ta có OB > OC nên MN lớn nhất bằng 2OB Kết luận:
a) Khi AM Ox và AN Oy thì MN nhỏ nhất
b) Khi AM Ox và AN Oy thì AM + AN nhỏ nhất
c) Khi N trùng O (nếu OB > OC) hoặc M trùng O (nếu OC > OB) thì AM + AN lớn nhất.
Ví dụ 2.11: Bài tập 41 trang 127 SGK toán 9- tập 1 NXB Giáo dục
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại