a. Định nghĩa:Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. un là cấp số cộng với công sai d: * 1 , n n u u d n . b. Số hạng tổng quát: un u1 n 1d. với n2 c. Tính chất: 1 1 2 k k k u u u với k2 d. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng. 1 1 2 1 1 ... 2 2 n n n n u u n n d S u u u nu 1.5.2 Cấp số nhân là gì?
a. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số kể từ số hạng thứ hai trởđi mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q.
19 un là cấp số nhân với công bội q: * 1. , n n u u q n . b. Số hạng tổng quát: 1 1. n n u u q
c. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
1 1 2 1 ... , 1 1 n n n u q S u u u q q .
d. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1 1 2 ... ... , 1 1 n u S u u u q q .
1.5.3 Tiềm năng liên hệ Toán học với thực tiễn trong dạy học nội dung cấp sốcộng và cấp số nhân. cộng và cấp số nhân.
a. Ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân vào nội bộ môn Toán.
Toán học không phải là tập hợp những kiến thức rời rạc tách rời nhau, mà hơn thế kiến thức toán học là những dữ kiện có mối quan hệ logic với nhau. Ví dụ như kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân có liên quan mật thiết đến việc khảo sát hàm số. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn lại được xử lý nhờ kiến thức của giới hạn,...Các công thức tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân được chứng minh nhờ phương pháp qui nạp Toán học. Trong Hình học, bài giới thiệu về bông tuyết Vôn Kốc có ứng dụng kiến thức của cấp số nhân: Ta bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H1. Chia mỗi cạnh H1 thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài H1 rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H2. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc.
20
Hình ảnh 1.4 Minh họa bông tuyết Vôn Kốc
b. Ứng dụng của cấp số cộng và cấp số nhân vào các ngành khoa học khác
Trong chương trình giáo dục phổ thông mới, việc dạy học tích hợp liên môn đang rất được quan tâm. Cấp số cộng và cấp số nhân thể hiện vai trò công cụ đối với rất nhiều môn học khác nhau: Sinh học, Hóa học, Vật lý, GDCD,...
Ví dụ trong Sinh học ứng dụng để dựđoán số lượng tế bào như :
Vi khuẩn Escherichia coli là một vi khuẩn thường sống trong ruột của người và động vật. Hầu hết các loại vi khuẩn E. coli được biết đến với tác hại là nguyên nhân gây ra tiêu chảy tạm thời và thoáng qua, hay một số những nhiễm trùng nặng đường ruột dẫn đến bệnh cảnh nặng hơn với tiêu chảy, đau bụng và sốt. Tế bào Ecoli trong vi khuẩn Escherichia coli ở điều kiện thích hợp sau 20 phút lại một lần phân đôi. Hỏi: nếu nuôi cấy trong điều kiện thích hợp 105 tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Phương án giải quyết:
Số tế bào Ecoli sinh sôi theo quy luật là một cấp số nhân với:
5
1 10
u và q 2 .
Cứ 20 phút 1 tế bào phân đôi một lần, vậy sau 2 tiếng sẽ có 6 lần phân đôi. Vậy số tế bào Ecoli là: 5 6
7 10 .2
u
21
Ứng dụng những tri thức toán vào đời sống là nội dung quan trọng trong dạy và học Toán hiện nay. Giáo viên cần làm cho người học thấy rõ mối quan hệ mật thiết giữa Toán học với thực tiễn đời sống, thông qua các tình huống, bài toán giả định được lồng ghép trong quá trình dạy học. Qua đây giúp người học phát triển các kĩ năng giải quyết các vấn đề thực tiễn bằng công cụ Toán học.
Cấp số cộng và cấp số nhân là một trong những nội dung có ứng dụng với thực tế rất rộng rãi:
* Bài toán về phân tích tài chính: Những bài toán về lãi suất ngân hàng khi vay và gửi tiết kiệm, giải quyết tiền lương, tính toán chi phí xây dựng,...
Ví dụ: Phương một tiết kiệm tiền để tham gia một khóa học thêm Tiếng Anh được khai giảng vào ngày 1 tháng 4 năm 2019. Bạn ấy quyết định để dành 5.000 đồng, bắt đầu từ 1 tháng 1 của năm đó. Tiếp theo mỗi ngày bạn Phương sẽ để ngày sau nhiều hơn ngày trước 1.000 đồng. Hỏi đến đúng ngày 1 tháng 4 Phương có đủ tiền tham gia khóa học? Biết rằng khóa học trị giá 4 triệu đồng.
Vấn đề đặt ra: Xác định được số tiền mà Phương tiết kiệm được có đủ để tham gia khóa học. Do đó, chúng ta cần quan tâm tới số ngày và số tiền tăng lên từng ngày.
Phương án giải quyết:
Từ ngày 1 tháng 1 đến ngày 1 tháng 4 số ngày có ít nhất là: 31 28 31 90 ngày.
Số tiền tiết kiệm của Phương tuân theo quy luât là một cấp số cộng với công sai d=1.000 đồng; u1= 5.000 và n = 90. Do đó tổng số tiền mà Phương có được đến ngày 1 tháng 4 là: 90 [2.5000 (90 1).1000].90 4455000
2
S đồng.
Vậy Phương đủ tiền để tham gia khóa học Tiếng Anh. * Bài toán về chăn nuôi, trồng trọt:
22
Ví dụ: Qua điều tra chăn nuôi dê ở huyện Chương Mỹ cho thấy ở đây trong nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2%. Giả sử sau một kế hoạch 3 năm, với số lượng đàn dê đã được thống kê ở trên vào ngày 1/1/2020 là 18.000 con, với tỉ lệ tăng như trên, đàn dê sẽđạt khoảng bao nhiêu con?
Phương án giải quyết:
Gọi S0 là tổng số đàn dê theo thống kê ban đầu; qlà tỉ lệ tăng hàng năm; n
là số năm phát triển n*và S ii 1 n là tổng số dê sau inăm. Số dê sau 1 năm là: S1 S0 S q S0. 01q. Số dê sau 2 năm là: 2 2= 1 1. 0 1 . S S S q S q Số dê sau 3 năm là: 3 3 2 2. 0 1 . S S S q S q
Vậy, tổng số dê của đàn sau mỗi năm phát triển lập thành 1 cấp số nhân với công bội 1 qvà S1S01q.Vậy sau n năm tổng số đàn dê là:
1 1
1(1 )n 0(1 )(1 )n 0(1 )n
n
S S q S q q S q
Áp dụng công thức này cho bài toán trên ta có:
3
3 18000(1 0,02) 19102
S con.
Qua một vài ví dụ nhận thấy tiềm năng liên hệ Toán học với thực tiễn trong dạy học nội dung cấp số cộng và cấp số nhân là rất cao, tuy nhiên khi dạy học GV vẫn luôn chú ý vào lý thuyết mà quên đi việc khai thác những giá trị thực tiễn của nội dung này. Trong luận văn này, tác giả sẽ nghiên cứu việc dạy học cấp số cộng và cấp số nhân theo hướng gắn liền với thực tiễn.
23
1.6 Xây dựng quy trình dạy học cấp số cộng và cấp số nhân theo hướng gắn với thực tiễn. với thực tiễn.
1.6.1 Xây dựng quy trình dạy học gắn với thực tiễn.
a. Bước 1: GV xác định những mục tiêu và năng lực đạt được trong dạy học cấp số cộng và cấp số nhân.
Căn cứ vào nội dung chương trình, chuẩn kiến thức , kĩ năng GV xây dựng mục tiêu bài dạy, chắt lọc những kiến thức trọng tâm, xác định năng lực cốt lõi mà người học đạt được thông qua bài dạy.
Ví dụ: Mục tiêu bài dạy: Cấp số cộng
* Kiến thức: Sau khi thực hiện xong bài học này, học sinh tìm hiểu được
- Định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng của cấp số cộng, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.
- Các công thức định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng của cấp số cộng, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng .
- Cấp số cộng được ứng dụng giải trong một số bài toán thực tế. * Năng lực:
- Năng lực tự chủ: Học sinh chủđộng tìm hiểu kiến thức từ sách giáo khoa, đặt và trả lời câu hỏi về cấp số cộng vềđịnh nghĩa, phương pháp chứng minh các công thức, dạng bài tập liên quan đến cấp số cộng.
- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh phát hiện ra quy luật đặc biệt của hiệu hai số trong dãy số, dự đoán tính chất, tổng của n số hạng đầu, phát hiện ra một số bài toán thực tế sử dụng cấp số cộng.
- Năng lực hợp tác: Xây dựng nhiệm vụ của nhóm, phân chia công việc hợp lí, nâng cao trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.
24
- Năng lực Toán học: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học, sử dụng công cụ trong môn Toán như máy tính cầm tay, mô hình hóa Toán học.
* Phẩm chất:
- Chăm học, chịu khó đọc sách giáo khoa, tài liệu liên quan đến cấp số cộng qua đó nhận thức được Toán học giúp giải quyết bài Toán thực tế trong đời sống như bài toán về phí dịch vụđiện, nước…
- Rèn luyện tính cẩn thận, tỉ mỉ và chuẩn xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách hệ thống, có logic và sáng tạo.
- Có trách nhiệm trong hoạt động nhóm, chủ động nhận và thực hiện nhiệm vụ cá nhân cũng như thực hiện nhiệm chung của nhóm trong tìm hiểu kiến thức, tìm hiểu ứng dụng của cấp số cộng.
- Trung thực, sáng tạo trong quá trình học tập, tìm hiểu bài toán thực tế. - Hình thành tư duy logic, tư duy phản biện, phân tích, đánh giá thông tin với lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình học tập nội dung bài học.
b. Bước 2: GV thiết kế hệ thống bài toán thực tế nhằm đạt được những mục tiêu bài học
Dựa trên những mục tiêu và năng lực giáo viên thiết kế các bài toán thực tế phù hợp với mục tiêu và năng lực đó. Các bài toán thực tế phải gần gũi với cuộc sống, phù hợp với nội dung bài học. GV lựa chọn các phương pháp, hình thức tổ chức dạy học hợp lí để truyền đạt cho người học hiệu quả nhất.
c. Bước 3: Người học tiến hành thực hiện phân tích bài toán, mô hình hóa toán học bài toán thực tiễn.
Dựa trên hệ thống bài toán thực tiễn đã lựa chọn, GV hướng dẫn, gợi mở, định hướng người học huy động vốn kiến thức đã có liên hệ với dữ kiện của bài
25
toán thực tiễn, phát hiện được những kiến thức Toán học ẩn chứa trong bài toán thực tiễn.
d. Bước 4: Người học xây dựng quy trình giải dựa vào sự hỗ trợ của GV.
Khi đã mô hình hóa bài toán thực tiễn về một bài toán thuần túy. Người học dùng những kiến thức Toán học có liên quan để giải quyết bài toán đó. GV sử dụng phương pháp dạy học hợp lý ( chia nhóm, ...) phù hợp với từng đối tượng học sinh, đảm bảo người học tiếp thu hiệu quả nhất.
e. Bước 5: Người học giải quyết bài toán và kết luận vấn đề thực tiễn trong bài toán.
f. Bước 6: Giáo viên và người học đánh giá lại bài học từ đó phát triển năng lực sáng tạo cho người học.
Sau khí giải quyết bài toán thực tiễn, giáo viên với người học đánh giá lại toàn bộ quá trình từ bước 1 đến đến bước 5; đồng thời đánh giá lại quá trình tham gia học tập của người học từ đó người học kịp thời nhìn nhận lại bản thân còn thiếu những kĩ năng gì, tựđiều chỉnh cho những nội dung bài học tiếp theo.
Khi xây dựng qui trình dạy học gắn với thực tiễn, GV cũng cần cung cấp cho người học phương pháp chung để giải quyết bài toán thực tiễn bao gồm 4 bước dựa trên những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đó là, tìm hiểu đề, tìm phương pháp giải, trình bày lời giải và nghiên cứu sâu lời giải.
1.6.2 Xây dựng qui trình giải bài toán gắn với thực tiễn.
Các bài toán có nội dung thực tiễn được giáo viến chắt lọc, lựa chọn để phối hợp nhịp nhàng với phương pháp, hình thức tổ chức dạy học khác nhau nhưng phải luôn đảm bảo được các khâu của quá trình dạy học như: trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố, kiểm tra, đánh giá và giao nhiệm vụ học tập. Theo [6] dựa trên lý thuyết của Polya về cách thức giải bài toán, kết
26
hợp với những đặc thù của bài toán thực tiễn, có thể xây dựng phương pháp chung để giải bài toán thực tiễn cụ thể:
a. Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Giáo viên hướng dẫn người học xử lí bài toán theo trình tự sau: Phân tích giả thiết, kết luận của bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo đại lượng đã biết, mô hình hóa toán học ( xây dựng bài toán từ ngôn ngữ thực tế thành bài toán với ngôn ngữ toán học) các dữ kiện được biểu diễn ẩn số có điều kiện, từ các ràng buộc của giả thuyết chuyển thành biểu thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình toán học,...Đây là bước quan trọng trong giải bài toán. Ở bước này người học phát triển khả năng nhận biết, thông hiểu vận đề, phân tích vấn đề và vận dụng các tri thức toán học.
b. Bước 2: Tìm lời giải cho bài toán đã được xây dựng ở bước 1.
Khi xác định rõ ràng các yếu tố Toán học, người học tiếp tục vận dụng những kiến thức toán học đã biết liên hệ với bài toán cần giải, qui từ lạ về quen, Xây dựng hướng giải từ những giả thuyết đã có với vấn đề cần tìm để đưa ra hướng biến đổi phù hợp.
c. Bước 3:Trình bày lời giải.
Từ hướng giải người học sắp xếp các giả thiết theo một trình tự hợp lí, có logic, lập luận chặt chẽ chi tiết lời giải đó. Kiểm tra lời giải và thử lại nếu cần. Phân tích hết các khả năng xảy ra của bài toán.
d. Bước 4: Kết luận.
Sau khi kiểm tra các bước và lời giải HS cần đưa ra kết luận cho bài toán, nếu lên ý nghĩa của giá trị vừa tìm được. GV hướng dẫn học sinh nghiên cứu sâu lời giải, tìm hiểu tất cả các khả năng ứng dụng của kết quả với tình huống tương tự. Khái quát hóa bài toán, mở rộng, lật ngược vấn đề. Hoạt động này nhằm phát triển tư duy, phát huy khả năng sáng tạo, tư duy phản biện cho người học.
27
Bài toán thực tiễn trong cuốc sống rất đa dạng và phong phú, xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất con người. Tùy từng bài toán cụ thể chúng ta có cách giải quyết khác nhau.
1.7 Thực trạng dạy học Cấp số cộng, Cấp số nhân gắn với thực tiễn ở trường THPT hiện nay. THPT hiện nay.
1.7.1 Đối với nội dung trong sách giáo khoa.
Nội dung chương trình sách giáo khoa còn nặng về lý thuyêt và việc tính toán trên lí thuyết, số lượng bài tập vận dụng kiến thức toán ứng dụng thực tiễn còn nghèo, chưa thực sự sinh động, không phong phú, không cuốn hút học sinh.
Yêu cầu vận dụng vào thực tế không diễn ra thường xuyên, bắt buộc trong