Xây dựng hệ thống bài toán cấp số cộng và cấp số nhân có gắn liền

tiễn.

a. Cơ sở và ý nghĩa của biện pháp.

Trong chương trình sách giáo khoa nhưng bài toán thực tế rất ít khi được đề cập đến hoặc nếu có cũng mang tính chất giới thiệu. Mặt khác để áp dụng thực tiễn trong dạy và học toán đòi hỏi giáo viên phải có trình độ năng lực, sự sáng tạo và luôn không ngừng tìm tòi học hỏi. Điều này dẫn đến có nhiều giáo viên có tâm lý ngại và tránh nhắc đến những bài toán thực tiễn trong quá trình giảng dạy. Chính vì vậy để giáo viên chủ động hơn trong việc áp dụng lí thuyết toán vào thực tiễn thì việc xây dựng một hệ thống bài toán gắn liền với thực tiễn là một giải pháp tối ưu

Thông qua hệ thống bài toán gắn liền với thực tiễn, học sinh cũng chủđộng hơn trong việc tiếp cận nội dụng, phương pháp giải những bài toán đó trên cơ sở lí thuyết đã học.

b. Cách bước thực hiện biện pháp.

 Đối với giáo viên:

Chủ động sưu tầm, hệ thống hóa các dạng câu hỏi và bài tập có ứng dụng của cấp số cộng và cấp số nhân sau đó biên tập, soạn thảo thành một đề cương ôn tập. Sau đó thông qua các giờ phụ đạo và tự chọn GV và HS cùng nhau trao đổi, giải đáp thắc mắc, xây dựng qui trình giải quyết các bài toán đó.

 Đối với học sinh:

Chủđộng tìm tòi và nghiên cứu những câu hỏi và bài tập có ứng dụng lý thuyết cấp số cộng và cấp số nhân trong sách giáo khoa, sách bài tập và các loại sách tham khảo hoặc các kênh tìm kiếm thông tin khác nhau.

54

Phân loại các câu hỏi và bài tập đã tìm được dựa trên nội dung yêu cầu của bài toán và tiến hành giải toán để tìm ra những điểm giống và khác nhau giữa các những câu hỏi và bài toán vừa giải.

Thường xuyên trao đổi với bạn bè và thầy cô giáo để nhận được sự giúp đỡ khi cần thiết.

 Yêu cầu khi xây dựng một hệ thống những bài toán cấp số cộng và cấp số nhân có liên quan đến thực tiễn:

Thứ nhất: phải xác định rõ mục tiêu của bài toán thực tiễn: củng cố các kiến thức cơ bản về cấp số cộng và cấp số nhân; vận dụng giải các bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân.

Thức 2: Xác định các dạng bài toán thực tiễn: dựa vào nội dung của tình huống thực tiễn đặt ra trong bài toán ta chia thành các dạng bài toán khác nhau. Ví dụ: Bài toán trong sản xuất nông nghiệp; bài toán trong kinh tế, trong xây dựng,... Thứ 3: Thiết kế các bài toán thực tiễn: dựa trên các nguyên tắc và phương pháp đã được trình bày và các dạng bài tập đã được phân loại thiết kế bài toán phù hợp.

Thứ 4: phải kiểm nghiệm và điều chỉnh: lựa chọn một số bài toán đã xây dựng vào kiểm nghiệm thực tế để xác định tính đúng sai và hiệu quả của bài toán đó trong lý thuyết và trong thực tiễn. Từ đó có sự điều chỉnh cho hệ thống bài tập hoàn thiện.

 Một số bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân trong môn Toán THPT: căn cứ vào các nguyên tắc và yêu cầu trên, chúng tôi đã xây dựng hệ thống bài toán trong dạy học chủ đề cấp số cộng và cấp số nhân cho học sinh THPT như sau:

55 * Bài toán về tài chính:

Bài toán 1: Một công ty may thực hiện trả lương cho công nhân theo phương thức sau:

Mức lương khởi điểm của tháng đầu tiên là: 5 triệu đồng/ tháng, kể từ tháng thứ 2, mức lương sẽđược tăng thêm 0,5 triệu đồng cho mỗi tháng nếu người công nhận đánh giá cao trong năng suất lao động. Hãy tính tổng số tiền lương người công nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty giả sử người công nhân luôn được đánh giá cao và không bị trừ lương?

Phương án giải quyết: 3 năm = 36 tháng

Gọi số tiền lương người công nhân nhận được mỗi tháng là u ii 1,..36. Ta nhận thấy số tiền người công nhân được trả mỗi tháng là cấp số cộng với:

1 5; 0,5

u  d  .

Vậy tổng số tiền người công nhân nhận được sau 3 năm là:

  36 36 36 1 0,5 36.5 495 2 u     (triệu đồng).

Bài toán 2: Một công chức được lĩnh lương khởi điểm là 1.350.000 đồng/ tháng. Cứ 3 năm công chức này lại được tăng thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc công chức này được lĩnh bao nhiêu tiền (Lấy chính xác đến hàng đơn vị).

Vấn đềđặt ra: Số tiền nhận được sau 36 năm. Do đó, cần quan tâm đến số tiền ban đầu và số tiền tăng lên sau 3 năm.

Phương án giải quyết: Từđầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3, số tiền nhận được: 1 1350000.36 u  đồng. Từđầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6, số tiền nhận được: 2 1350000(1 7%).36 u   đồng.

56

Từđầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9, số tiền nhận được:

2 3 1350000(1 7%) .36

u   đồng.

Sau 36 năm làm việc, lương được tăng 12 lần:

11 12 1350000(1 7%) .36

u   đồng.

Vậy tổng số tiền sau 36 năm là tổng của cấp số nhân với u11350000.36 và công bội 1 7%q  là: 12 1350000.36.1 (1 7%)12 869378732

1 (1 7%)

S    

  đồng.

Bài toán 3: Một sinh viên được gọi đến phỏng vấn tại một công ty. Sau khi trả lời các câu hỏi về công việc chuyên môn. Nhà tuyển dụng đưa ra hai phương án trả lương cứng chưa tính phần trăm doanh thu, tiền thưởng hay nâng lương sớm nếu làm tốt công việc để sinh viên lựa chọn với thời gian hợp đồng làm việc là 5 năm. Phương án 1: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 7,5 triệu đồng và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽđược tăng thêm 1 triệu đồng mỗi quý.

Phương án 2: Lương của năm làm việc đầu tiên cho công ty là 46 triệu đồng và kể từ năm làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng thêm 11 triệu đồng mỗi năm.

Nếu bạn sinh viên trên bạn sẽ chọn phương án nào? Vì sao? HD: Hợp đồng làm việc 5 năm = 20 quý.

Ở phương án 1: số tiền sinh viên nhận được theo quý lập thành 1 cấp số cộng với

1 7,5; 1

u  d  .

Vậy tổng số tiền sinh viên nhận được sau 5 năm = 20 quý làm việc cho công ty đó

là:   20 20 20 1 1 7,5.20 340 2 u     ( triệu đồng).

57

1 46; 11

u  d  .

Vậy tổng số tiền sinh viên nhận được sau 5 năm làm việc cho công ty đó là:

  5 5 5 1 11 46.5 340 2 S     ( triệu đồng).

Nếu chỉ làm việc trong 5 năm, bạn sinh viên có thể chọn cả 2 phương án trả lương cho mình.

Bài toán 4: Một sinh viên đại học sư phạm ra trường sau khi được tuyển dụng phải trải qua thời gian tập sự 12 tháng và hưởng hệ số lương khởi điểm là 2,34. Nếu giáo viên đó hoàn thành tốt công việc thì cứ sau 3 năm sẽ được nâng một bậc lương là 0,33. Giả sử giáo viên này không được nâng lương trước thời hạn và cũng không bị lùi thời hạn nâng lương.

a. Hỏi sau thời gian ít nhất là sau bao nhiêu năm giảng dạy thì hệ số lương của giáo viên đó là 3,33?

b. Nếu mức lương cơ bản là 1300000 đồng và ưu đãi đứng lớp có hệ số bằng 30% so với hệ số lương hiện tại thì sau 22 năm giảng dạy tiền lương của giáo viên đó là bao nhiêu biết rằng công thức tính lương là tổng hệ số nhân mức lương cơ bản (không tính phụ cấp thâm niên hay các loại phụ cấp khác)?

HD:

a. Gọi  *

n

u n là bậc lương của sinh viên sau khi được tuyển dụng, tăng theo chu kì 3 năm 1 lần.

Ta có: cứ sau 3 năm giáo viên đó được tăng một bậc lương là 0,33; việc tăng lương của sinh lập thành 1 cấp số cộng với: u12,34;d 0,33.

Để bậc lương tăng lên là 3,33 ta có:

   

1 1 2,34 1 0.33 3,33 4.

n

u  u n d   n   n

58

Mặt khác việc tăng lương theo chu kì 3 năm 1 lần cũng lập thành cấp số cộng với:

1 1; 3

a  d  .

Ở lần 4 thay đổi hệ số lương tức là: a4  a1 4 1 d  1 3.3 10

Vậy đến năm thứ 10 tính từ thời điểm đi làm giáo viên sẽ có hệ số lương là 3,33. b. Giáo viên đó dạy trong 22 năm đã trải qua số lần tăng lương là:

 

1 1 .3 22 8.

n

a   n   n

Với 8 lần tăng lương thì bậc lương của giáo viên sau 22 năm công tác là:

 

8 2,34 8 1 0.33 4,65

u     .

Vậy số tiền lương của giáo viên theo tháng sau 22 năm công tác:

 

1300000. 4,65 0,3 6435000.

Bài toán 5: Nghĩa muốn tiết kiệm tiền để mua chiếc máy tính xách tay trị giá 11 triệu đồng. Bạn ấy quyết định để dành 500.000đồng, bắt đầu từ tháng 1 của năm đó. Tiếp theo cứ tuần này lại nhiều hơn tuần trước 100.000đồng. Hỏi đến tháng 5 Nghĩa có đủ tiền để mua chiếc máy tính xách tay đó không?

Phương án giải quyết:

Từ ngày tháng 1 đến tháng 5 Nghĩa có 4 tháng = 16 tuần tiết kiệm Số tiền tiết kiệm của Nghĩa tuân theo quy luât là một cấp số cộng với: công sai d 100.000đồng; u1  500.000và n 16

Do đó tổng số tiền mà Nghĩa tiết kiệm được trong 28 tuần là:

90

[2.500000 (16 1).100000].16

20000000 2

S     đồng.

Vậy Nghĩa có đủ tiền mua máy tính xách tay.

Bài toán 6: Một người gửi tiền tiết kiệm 100.000.000 đồng vào một ngân hàng. Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi, biết rằng người

59

đó gửi theo kỳ hạn 6 tháng, lãi suất kép là 5,3%/ năm và người đó không rút lãi ở tất cả các kỳ trước đó.

Vấn đề đặt ra: Tiền vốn và tiền lãi sau 10 năm. Do đó cần quan tâm đến lãi suất định kỳ và thời gian gửi.

Phương án giải quyết:

1 kỳ là 6 tháng, suy ra 10 năm là: 20 kỳ

Lãi suất của 1 năm là 5,3%, suy ra lãi suất của 1 tháng là: 5,3% 12 . Khi đó lãi suất định kỳ 6 tháng là: 6.5,3% 2, 65%

12  .

Số tiền nhận được sau 10 năm là: 20

20 100.000.000(1 2, 65%) 168724859,1

T   

Bài toán 7: Một dự án đầu tư với số vốn là 100 triệu đồng và sau 3 năm nó sẽ thu về 150 triệu đồng. Với lãi suất gửi tiết kiệm ngân hàng là 8% một năm, hãy tính toán xem có nên thực hiện dự án này hay không?

HD: Gọi u nn là số tiền người đó rút được (bao gồm cả vốn và lãi) khi gửi tiết kiệm. Áp dụng công thức (1) ta có un 100 1 0,08  n.

Vậy số tiền người đó thu về sau 3 năm gửi tiết kiệm là:

 3

3 100 1 0,08 125,9712

u    triệu đồng< 150 triệu đồng. Vậy người đó nên tham gia dự án thay vì gửi tiết kiệm. Bài toán 8: Bài toán tính lãi suất ngân hàng

Ông B có khoản tiền là A đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất cố định là r % trong một năm. Sau n năm ông A mới tiến hàng rút tiền (cả gốc lẫn lãi) hỏi ông A nhận được số tiền là bao nhiêu?

Phương án giải quyết:

60

 

1 . % 1 %

T  A A r  A r

Sau năm thứ hai, số tiền ông A có được:

     2

2 1 % 1 % . % 1 %

T  A r  A r r  A r

Sau năm thứ ba, số tiền ông A có được:

 2  2  3

3 1 % 1 % . % 1 %

T A r  A r r  A r

Cứ tiếp tục theo qui luật, số tiền ông A có được sau n năm sẽ là:

1 %n  *

n

T  A r

Bài toán 9: Một ngân hàng quy định đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kì hạn như sau: “Khi kết thúc kì hạn mà người gửi không đến tất toán tiền thì toàn bộ số tiền cả vốn và lãi sẽ được gia hạn gửi tiếp với kì hạn mà người gửi đã tham gia”. Giả định ông A gửi 10 triệu đồng với kì hạn là 1 tháng vào ngân hàng đó với lãi suát 0,4%/1 tháng. Hỏi:

a. Sau 6 tháng tính từ ngày gửi, ông A đó đến ngân hàng rút được số tiền là bao nhiêu?

b. Sau 1 năm tính từ ngày gửi, ông A đến ngân hàng rút được số tiền là bao nhiêu? HD: Gọi u nn là số tiền ông A rút được (bao gồm cả vốn và lãi). Áp dụng công thức  * ta có un 10 1 0,0047  n.

a. Số tiền ông A nhận được sau 6 tháng là:

 6

7

6 10 1 0,004 10242412,84

u    (đồng)

b. Số tiền ông A nhận được sau 1 năm = 12 tháng là:

 12

7

12 10 1 0,004 10490702,08

u    (đồng)

Bài toán 10: Bạn định mua một chiếc điện thoại theo hình thức trả góp. Theo hình thức này sau một tháng kể từ khi nhận được điện thoại bạn phải trả đều đặn mỗi tháng một lượng tiền nhất định nào đó, liên tiếp trong 24 tháng. Giả sử giá điện

61

thoại thời điểm bạn mua là 16 triệu đồng và lãi suất ngân hàng là 1%/ tháng. Với mức phải trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp chấp nhận được?

Phương án giải quyết:

Gọi khoản tiền phải trả hàng tháng là a đồng.

Nếu gửi vào ngân hàng thì giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm nhận hàng là:     24 2 24 100 1 - 101 .... . 21, 46 100 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 101 a a a a a                       

Việc mua trả góp sẽ tương đương với mua trả ngay (bằng cách vay ngân hàng) nếu: 21, 46a16000000 a 745573 đồng.

Như vậy, bạn sẽ bằng lòng mua trả góp nếu số tiền phải trả hàng tháng ít hơn 745573 (đồng), nếu không thì nên vay ngân hàng để trả ngay 16.000.000 đồng. * Bài toán xây dựng:

Bài toán 11: Một người đàn ông muốn làm một ngôi nhà 2 tầng, khi hỏi về giá cả anh ta biết rằng giá của mét vuông đầu tiên là 1.800.000đồng, kể từ mét vuông thứ hai trở đi giá mỗi mét vuông giảm đi 5.000đồng so với giá của mét vuông đứng trước đó. Hỏi nếu muốn làm nhà 150m2 thì anh ta mất bao nhiêu tiền công thợ?

Phương án giải quyết:

Gọi un là giá của mét vuông thứ n : u11.800.000 ;unun15.000 Do đó  un là một cấp số cộng với công sai d 5000.

Tổng số tiền công phải trả là 150 150 1 5000 

150.1800000 214125000

2

T 

  

đồng.

Bài toán 12: Một người đàn ông muốn xây một ngôi nhà 2 tầng, anh ta muốn tìm hiểu về giá cả và được bạn bè giới thiệu đến hai nhà thầu.

62

Nhà thầu thứ nhất: giá của mét vuông đầu tiên là 1.800.000 đồng, kể từ mét vuông thứ hai trở đi giá mỗi mét vuông giảm đi 5.000 đồng so với giá của mét vuông ngay trước đó.

Nhà thầu thứ hai: giá của mét vuông đầu tiên là 2.600.000 đồng, kể từ mét vuông thứ hai trở đi giá mỗi mét vuông giảm 1% so với giá của mét vuông ngay trước đó.

a. Hỏi nếu muốn làm nhà rộng 100 m2 thì nên chọn nhà thầu nào để giá thuê nhân công rẻ nhất?

b. Hỏi nếu muốn làm nhà rộng 200 m2 thì nên chọn nhà thầu nào để giá thuê nhân công rẻ nhất?

HD: cả 2 phương án đều giải quyết tương tự như bài toán trên.

Bài toán 13: Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 15 tầng tại chùa Phúc Liên, Ngọc Hòa, Chương Mỹ theo thiết kế là mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay phía dưới, diện tích mặt đáy tháp là 1228m2. Em hãy giúp nhà chùa