Ở đây các trọng số được lựa chọn để tối đa hóa trực tiếp tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu (SNR) như mô tả trong bảng 1.1. Một giải pháp chung cho các trọng số là cần biết cả tín hiệu mong muốn và nhiễu , các ma trận phương sai. Để biết được những điều trên thì phụ thuộc vào ứng dụng. Ví dụ, trong một hệ thống rada chủ động có thể được ước lượng trong suốt thời gian không có tín hiệu được truyền và có thể thu được từ các xung truyền đã biết và hướng quan tâm. Nếu các thành phần của tín hiệu là băng hẹp, có tần số và có có hướng , thì
( ) ( ) từ kết quả trong phần 1.2. Trong trường hợp này, các trọng số thu được là:
( ) (1.16)
Với α là một hằng số phức khác không nào đó. Thế phương trình (1.16) vào biểu thức của SNR cho thấy SNR độc lập với giá trị được chọn α.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 24
1.4.4 Định hƣớng búp sóng tuyến tính hạn chế tối thiểu phƣơng sai
Trong nhiều ứng dụng khác với các ứng dụng ở trên, tín hiệu mong muốn có thể không biết độ lớn và có thể luôn luôn có mặt, dẫn đến kết quả bị hủy bỏ với MSC và ngăn chặn các ước lượng các ma trận phương sai của tín hiệu và nhiễu trong bộ xử lý cực đại SNR. Thiếu các thông tin về tín hiệu mong muốn có thể ngăn chặn việc tiếp cận tín hiệu tham chiếu. Những hạn chế này có thể được khắc phục thông qua việc áp dụng các ràng buộc tuyến tính với vector trọng số. Việc sử dụng các ràng buộc tuyến tính là một cách tiếp cận rất chung mà cho phép mở rộng quyền kiểm soát các đáp ứng thích nghi của beamformer. Phần này sẽ minh họa các rằng buộc tuyến tính được sử dụng như thế nào để điều khiển đáp ứng beamformer, thảo luận về các vấn đề tối ưu ràng buộc tuyến tính định hướng búp sóng, và giới thiệu về cấu trúc tổng quát để loại bỏ búp sóng phụ.
Ý tưởng cơ bản đầu tiên đằng sau định hướng búp sóng hạn chế tối thiểu sai số (LCMV) là để hạn chế đáp ứng của beamformer thì các tín hiệu đến từ hướng ta quan tâm được thông qua với tăng ích và pha xác định. Các trọng số được chọn để giảm thiểu sai số đầu ra hoặc năng lượng của đối tượng để hạn chế đáp ứng. Điều này có tác dụng bảo vệ các tín hiệu mong muốn trong khi giảm thiểu các các thành phần ở đầu ra như tín hiệu can nhiễu hoặc nhiễu đến từ các hướng khác nhiều hơn ở hướng mong muốn. Bộ lọc tương tự FIR có trọng số được lựa chọn để tối thiểu hóa năng lượng các thành phần ở đầu ra bộ lọc để hạn chế các đáp ứng của tín hiệu có tần số .
Trong phần 1.2 ta thấy rằng đáp ứng beamformer với một nguồn ở góc và tần số được tính bởi: ( ). Do vậy, bằng cách hạn chế tuyến tính các trọng số thỏa mãn ( ) = g với g là hằng số phức, đảm bảo rằng mọi tín hiệu đến từ góc và có tần số được thông qua đầu ra với đáp ứng g. Giảm thiểu các thành phần ở đầu ra do nhiễu (các tín hiệu không đến từ hướng với tần số ) được thực hiện bằng cách chọn các trọng số để tối thiểu hóa năng lượng đầu ra hoặc sai số
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 25
tùy thuộc vào ( ) = g*
(1.17)
Phương pháp hệ số nhân Lagrange có thể được dùng để giải phương trình (1.17), kết quả là:
g*
( )
( ) ( ) (1.18)
Chú ý rằng, trong thực tiễn, sự hiện diện của nhiễu không tương quan sẽ đảm bảo là khả nghịch. Nếu g = 1,thì công thức (1.18) thường được gọi là beamformer đáp ứng sai số tối thiểu không biến dạng (MVDR). Điều này được thể hiện trong phương trình (1.18) tương đương với nghiệm SNR cực đại trong (1.16) bằng cách thế ( ) ( ) cho trong công thức (1.18) và áp dụng các bổ để của ma trận nghịch đảo.
Các hạn chế tuyến tính đơn trong công thức (1.17) dễ dàng tổng quát hóa thành các hạn chế tuyến tính để thêm quyền kiểm soát beampattern. Ví dụ, nếu có một nguồn gây nhiễu cố định ở một hướng chưa biết , sau đó ta muốn tăng ích Zero theo hướng đó và thêm cả việc duy trì đáp ứng g với tín hiệu mong muốn. Điều này được thể hiện:
* ( )
( )+ 0
1 (1.19)
Nếu có hạn chế tuyến tính trên w, ta viết chúng dưới dạng với ma trận C có kích thước và vector f có L chiều được gọi là ma trận hạn chế và vector đáp ứng. Những hạn chế được giả định là độc lập tuyến tính bởi vậy C có hạng L. vấn đề LCMV và nghiệm với phương trình hạn chế tổng quát hơn được cho trong bảng 1.1.
Một số lý thuyết khác nhau có thể được sử dụng cho việc lựa chọn ma trận giới hạn và vector đáp ứng. Các tiếp cận điểm đặc trưng, đạo hàm và giới hạn vector đặc trưng là phổ biến. Mỗi giới hạn tuyến tính sử dụng một bậc tự do trong
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 26
vector trọng số, do đó với L các giới hạn, chỉ có bậc tự do có sẵn để tối thiểu hóa sai số.
Generalized sidelobe canceller (GSC) đại diện cho công thức khác của vấn đề LCMV, với những gì đã biết, rất hữu ích cho việc phân tích và có thể làm đơn giản việc thực hiện LCMV beamformer. Nó cũng minh họa cho mỗi quan hệ giữa MSC và LCMV định hướng búp sóng. Về cơ bản, GSC là một kĩ thuật để thay đổi bài toán giới hạn tối thiểu thành dạng không bị giới hạn.
Giả sử ta phân tích vector trọng số w thành hai thành phần trực giao và –
v (w= v) và nằm trong phạm vi và không gian rỗng của C. Phạm vi và không
gian rỗng của một ma trận mở rộng bao hàm toàn bộ không gian do đó sự phân tích này có thể được sử dụng cho bất kì w. Do v=0, ta có:
( ) (1.20)
Nếu w thỏa mãn các giới hạn. Công thức (1.20) là một nghiệm chuẩn cực tiểu tương đương với công thức (1.12). Vector v là một tổ hợp tuyến tính của các cột
kích thước của C. có thể thu được từ C sử dụng một số cách trực giao hóa như là Gram-Schmidt, khai triển QR, hoặc khai triển giá trị đơn. Vector trọng số được môt tả dưới dạng sơ đồ khối trong hình 1.7. Sự lựa chọn
và tức là w thỏa mãn các giới hạn độc lập của và làm giảm bài toán LCMV bài toán không bị giới hạn
, - , - (1.21)
Nghiệm là
( ) (1.22)
Từ thực tế là các trọng số là không bị giới hạn và mooth beamformer độc lập dữ
liệu được thực hiện như là một phần không thể tách rời của beamformer tối ưu.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 27
toán thích nghi đơn giản hơn nhiều và beamformer độc lập dữ liệu là hữu ích trong trường hợp tín hiệu thích nghi bị hủy bỏ
Hình 1.7 GSC đại diện cho việc thực hiện LCMV beamformer.
Trong đó các trọng số thích nghi không bị giới hạn. Nó bao gồm một tiền xử lý của một beamformer cố định và một ma trận hạn chế , và một bộ lọc thích nghi
tiêu chuẩn với vector trọng số không giới hạn .
Ví dụ, giả sử các giới hạn được cho bởi công thức (1.17). Công thức (1.20) suy ra g* ( ) , ( ) ( )-. thỏa mãn ( ) do vậy mỗi cột , - có thể được xem là beamformer độc lập dữ liệu và vô hiệu theo hướng ở tần số : ( ), - . Do đó một tín hiệu ở tần số theo hướng đến mảng sẽ bị ngăn chặn hoặc vô hiệu bởi ma trận Nói chung, nếu các hạn chế được thiết kế để đưa ra đáp ứng cho tín hiệu từ một tập hợp các hướng và tần số, sau đó các cột của sẽ ngăn chặn những hướng và tần số đó. Đặc
điểm này dẫn đến thuật ngữ “blocking matrix” để miêu tả . Những tín hiệu này chỉ được xử lý bởi và do đó thỏa mãn các hạn chế, chúng được trình bày với
đáp ứng mong muốn độc lập của . Các tín hiệu đến từ các hướng và có các tần số mà các đáp ứng không bị hạn chế sẽ đi qua các nhánh trên trong hình 1.7 với đáp ứng xác định bằng . Nhánh dưới sẽ chọn để ước lượng các tín hiệu ở đầu ra
của như là tổ hợp tuyến tính của các dữ liệu ở đầu ra của ma trận hạn chế. Điều này tương tự như các hoạt động của MSC, trong đó các trọng số được áp dụng cho đầu ra của các phần tử phụ để ước lượng kênh đầu ra chính (hình 1.6)
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 28
1.4.5 Hủy bỏ tín hiệu trong định hƣớng búp sóng tối ƣu thống kê
Định hướng búp sóng tối ưu cần một số thông tin của đặc điểm tín hiệu mong muốn, hoặc là thống kê của nó ( đối với SNR cực đại hoặc các phương pháp tín hiệu tham chiếu), nó là phương hướng (với MSC), hoặc là vector đáp ứng ( ) (với LCMV beamformer). Nếu những thông tin là không chính xác, beamformer tối ưu sẽ làm giảm tín hiệu mong muốn và thay vào đó là nhiễu. Việc hủy bỏ tín hiệu mong muốn thường là đáng kể, đặc biệt nếu SNR của tín hiệu mong muốn là lớn. Một số cách tiếp cận được đưa ra để làm giảm sự suy thoái này.
Nguyên nhân thứ hai dẫn đến sự hủy bỏ tín hiệu là sự tương quan giữa tín hiệu mong muốn và một hoặc nhiều hơn các tín hiệu can nhiễu. Điều này có thể dẫn đến hoặc hiệu ứng đa đường của tín hiệu mong muốn hoặc từ smart (tương quan) jamming. Khi nhiễu và các tín hiệu mong muốn không tương quan, beamformer làm suy giảm nhiễu để giảm thiểu năng lượng đầu ra. Mặc dù vậy, với nhiễu tương quan, beamformer giảm thiểu năng lượng đầu ra bằng cách xử lý tín hiệu can nhiễu như cách để hủy bỏ tín hiệu mong muốn. Nếu nhiễu tương quan một phần với tín hiệu mong muốn, thì beamformer sẽ hủy bỏ một phần tín hiệu mong muốn mà tương quan với nhiễu.
1.5 Các thuật toán thích nghi của định hƣớng búp sóng
Các phương trình của vector trọng số beamformer tối ưu đã liệt kê trong bảng 1.1 đòi hỏi các thông tin của thống kê thứ hai. Những thống kê này thường không được biết đến, nhưng với các giả định của ergodicity, các thông kê(và các trọng số tối ưu) có thể được ước lượng từ dữ liệu có sẵn. Các thống kê cũng có thể thay đổi theo thời gian, ví dụ do nhiễu thay đổi. Để giải quyết các vấn đề này, các trọng số thường được xác định bằng các thuật toán thích nghi.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 29
Thích nghi khối, với các tham số được ước lượng từ một khối thời gian của dữ liệu mảng và sử dụng trong phương trình tối ưu trọng số;
Thích nghi liên tục, với các trọng số được điều chỉnh khi lấy mẫu dữ liệu, như vậy kết quả chuỗi vector trọng số hội tụ với các giải pháp tối ưu. Nếu có một môi trường thay đổi nhưng dự đoán được, thích nghi khối có thể được sử dụng, với điều kiện là các trọng số được tính toán lại định kì. Thích nghi tối ưu thường được sử dụng khi các tham số là thay đổi theo thời gian hoặc, vì các lý do tính toán, khi số các trọng số thích nghi M là từ trung bình đến lớn, giá trị là phổ biến.
Trong số các thuật toán thích nghi đáng chú ý cho định hướng búp sóng là vòng lặp thích nghi Howells-Applebaum được phát triển vào cuối những năm 1950 và được công bố bởi Howells - Applebaum và thuật toán phủ LCMV. Thay vì tính toán lại các thuật toán thích nghi cho mỗi beamformer tối ưu liệt kê trong bảng 1.1, chúng ta có một phương pháp tiếp cận thống nhất bằng cách sử dụng mô hình bộ lọc thích nghi tiêu chuẩn được mô tả ở phía bên phải hình 1.7.
Trong hình 1.7, vector trọng số wM được chọn để ước tính tín hiệu mong muốn là tổ hợp tuyến tính các phần tử của vector dữ liệu u. Ta chọn wMđể giảm thiểu MSE
( ) *| | + (1.23) với *| | + * + * +.
( ) được tối thiểu hóa bằng:
(1.24)
So sánh công thức (1.23) với tiêu chuẩn liệt kê trong bảng 1.1 chỉ ra rằng vấn đề của bộ lọc tiêu chuẩn này tương đương với cả vấn đề của MSC beamformer (với
và u = xa) và vấn đề tính hiệu tham chiếu của beamformer (với u = x). Vấn đề LCMV thì khác. Mặc dù xem xét kĩ hình 1.6, công thức (1.22) và (1.24) cho thấy
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 30
rằng vấn đề của bộ lọc thích nghi tiêu chuẩn là tương đương với vấn đề LCMV thực hiện với cấu trúc GSC. Đặt và kéo theo và
. Giá trị SNR cực đại beamformer không thể biểu diễn bởi hình 1.7 và công thức (1.24). Mặc dù vậy, nó được ghi nhận bởi (1.18) rằng nếu các tín hiệu mong muốn là tín hiệu băng hẹp, thì giá trị SNR cực đại và LCMV của beamformer là tương đương.
Phương pháp tiếp cận thích nghi khối (1.24) sử dụng ước lượng và hình thành từ K mẫu của và , ( ) . Phổ biến nhất là ma trận sai số lấy mẫu
̂ ∑ ( ) ( )
(1.25)
Và vector lấy mẫu sai số chéo:
̂ ∑ ( ) ( ) (1.26) Thuật toán LMS RLS Khởi tạo ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( ) nhỏ, là ma trận đơn vị Cập nhật ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kết quả ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 31 ( ) ( ) ( ) ( ) Nhân lên mỗi lần cập nhật Đặt tính hiệu suất
Dưới một số điều kiện nhất định, sự hội tụ của ( ) đến vector trọng số tối ưu về mặt thống kê được đảm bảo nếu được chọn như trên. Tốc độ hội tụ được điều chỉnh bằng giá trị lan truyền riêng . Khi giá trị lan truyền riêng lớn, sự hội tụ có thể rất chậm.
( ) đại diện cho nghiệm bình phương nhỏ nhất với mỗi hằng số và tối ưtu rong một ý nghĩa xác định. Hội tụ đến vector trọng số tối ưu về mặt thống kê thường nhanh hơn so với thu được sử dụng thuật toán LMS bởi vì nó độc lập với giá trị lan truyền riêng .
Bảng 1.2 so sánh thuật toán thích nghi trọng số LMS và RLS
Các thuật toán thích nghi liên tục dễ dàng triển khai trong trong hình 1.7 và công thức (1.23). Chú ý rằng j(wM) là một bề mặt lỗi bậc hai. Từ đó bề mặt lỗi bậc hai của “Hessian” Ru là ma trận sai số của dữ liệu lỗi, nó có sự tích cực nhất định. Điều này ngụ ý rằng bề mặt lỗi là một “bowl”. Hình dạng của một “bowl” được xác định bởi cấu trức riêng của Ru. Vector trọng số tối ưu wopt tương ứng với đáy của bowl.
Một cách tiếp cận bộ lọc thích nghi là để hình dung một điểm trên bề mặt lỗi mà tương ứng với vector trọng số hiện tại wM(k). Ta chọn một vector trọng số mới
wM(k+1) để giảm bề mặt lỗi. Vector gradient:
( )
( ) |
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 32
Cho ta biết hướng để điều chỉnh vector trọng số. Thuật toán LMS thay thế ( ) với ước tính gradient tức thời ̂ ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-. Biểu thị ( ) ( ) ( ), ta có
( ) ( ) ( ) (1.28)
Hằng số tăng ích µ điều khiển đặc điểm hội tụ của trình tự các vector ngẫu nhiên
wM(k). Bảng 1.2 cung cấp các chỉ dẫn cho các lựa chọn.
Ưu điểm chính của thuật toán LMS là sự đơn giản của nó. Hiệu quả của thuật toán này được chấp nhận trong nhiều ứng dụng. Mặc dù vậy, đặc điểm hội tụ của nó phụ thuộc vào hình dạng của bề mặt lỗi và do đó nó có cấu trúc đặc biệt của Ru. Khi các giá trị riêng được lan truyền rộng và các thuật toán thích nghi khác với đặc tính hội tụ tốt hơn nên được xem xét. Các biện pháp thay thế cho việc tìm kiếm lỗi bề mặt đã được thêm vào các thuật toán cơ sở trong bình phương tối thiểu và bộ lọc