Tổng quát, phần tử thứ i nhận được một bản lỗi của tín hiêu RS (hoặc của tín hiệu nguồn) là ( ) ( ( )) ( ). Sau đó, các phép đo nén ở phần tử thứ i có dạng dưới đây:
(3.9)
Với ( ) và là của các mẫu nhiễu ở phần tử thứ i, mà được giả định là ( ), từ đó là xác định, ta có (∑ ) . Như vậy, nếu ta hạn chế định mức của các vector là một, thì .
Với việc xây dựng và trong phần 3.2.1, sự thưa của mô hình vector b có thể được khôi phục sử dụng bài toán tối ưu hóa lồi lựa chọn Dantzig:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 79
̂ ‖ ‖ s.t ‖ ( )‖ (3.10) Chọn √ làm đúng với xác suất cao. Vấn đề tối ưu trong công thức (3.8) và (3.10) đều là các hàm tối thiểu hóa lồi.
3.2.4 Ƣớc lƣợng DOA cho nhiều nguồn chƣa biết
Ta giả định ta có một nguồn ( ) khác tác động đến mảng ở gặp góc . Nếu ( ) không liên quan đến ( ), ta có thể coi ảnh hưởng của ( ) tương tự như nhiễu cộng khi ta đang tìm kiếm theo hướng của tín hiệu đầu tiên. Để thấy rằng đó là một nhiễu cộng, ta xem xét các giới hạn trong (3.10) mà mang lại một giải pháp thưa cho b ngay cả khi có nhiễu.
Các tín hiệu RS được ghi nhận là:
( ) ( ) ( ) (3.11)
Giả sử các tín hiệu có biên độ bằng nhau. Độ dịch của tín hiệu RS ở phần tử thứ i
là:
( ( )) ( ( )) ( ( )) (3.12) Khi giả định phương góc là , và tín hiệu này được mô tả trong cột thứ n của ma trận A. Mặt khác, tín hiệu đúng nhận được tại phần tử thứ i là:
( ) ( ( )) ( ( )) (3.13)
Các điều kiện trong giới hạn lựa chọn Dantzig , và , là tự tương quan và tương quan chéo. Với , ta có được một vector cột của phần tử thứ n là:
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (3.14)
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 80
Với là tự tương quan của tín hiệu ( ), là tự tương quan của tín hiệu ( )
và là tương quan chéo. Với ma trận , các phần tử hàng thứ n và cột thứ r là:
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (3.16)
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (3.17) Ta thực hiện hai giả định: đầu tiên, các mối tương quan chéo là nhỏ - đây là giả định rời rạc; hai là các tín hiệu decorrelate. Ví du như các tự tương quan đạt đỉnh ở ở trễ zero. Sau đó, ta có thể kiểm tra giới hạn trong (3.10), và theo quan sat đó để làm cho nhỏ, ta cần đảm bảo rằng các thành phần lớn trong vector bị khử bằng các điều kiện lớn trong . Với giả định của chúng ta, hai thành phần lớn nhất trong có thể tìm được khi và , bởi vì chúng là các trường hợp khi ta có các đỉnh trong tự tương quan, ví dụ:
( ( ) ( )) và ( ( ) ( ))
Khi ta khử thành phần ( ( ) ( )), ta sử dụng hàng của tương ứng với
, do đó vector phải lựa chọn cột . Tương tự, để khử thành phần
( ( ) ( )), ta sử dụng hàng và cột . Giả định của ta là các yếu tố khác sẽ tương đối nhỏ.
Điểm mấu chốt trong phần tích này là giới hạn lựa chọn Dantzig, với một lựa chọn thích hợp , sẽ cho phép sự kết hợp của hai tín hiệu ở phương diện đúng của chúng. Sau đó, minimization của vector lựa chọn sẽ có xu hướng chọn các tín
hiệu mà có sự tự tương quan là lớn. các phân tích trước đó có thể thay đổi cho trường hợp với các tín hiệu có biên độ khác nhau, nhưng khi biên độ tương đối trở lên quá khác nhau, ta kì vọng rằng minimization sẽ chọn cái lớn hơn hai.
Lập luận này cũng có thể được mở rộng cho các trường hợp với các nguồn P
chưa biết ở phương diện ( ), ( ), …, ( ), tác động đến mảng các nguồn. Một kịch bản có thể được thể hiện trong hình 1. Phần tử i nhận kết hợp trễ của tín hiệu nguồn là:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 81
( ) ∑ ( ( )) ( )
(3.18)
Hình 3.1 Thiết lập các phần tử cho compressive định hƣớng búp sóng
Nếu giữa các nguồn không có sự liên kết với nhau, thì ta có thể mở rộng phân tích hai nguồn ở trên thành trường hợp nguồn P, và yêu cầu rằng giới hạn lựa chọn Dantzig sẽ ưu tiên các phương diện nguồn đúng. Do đó, bài toán minimization trong (3.10) sẽ xây dựng lại vector lựa chọn thích hợp từ tính hiệu RS và
phần tử đầu ra nén.
Để minh họa cho việc ước lượng DOA trên cơ sở lấy mẫu nén, ta sẽ xem xét một ứng dụng sử dụng ước lượng DOA dựa trên cơ sở lấy mẫu nén ở phần tiếp theo
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 82
3.3 Ứng dụng ƣớc lƣợng DOA dựa trên cơ sở lấy mẫu nén
Một định hướng búp sóng thích nghi trên cơ sở lấy mẫu nén với chuẩn làm trơn cho một mảng tiếp nhận quy mô lớn thưa được nghiên cứu ở phần này. Bởi vì sự thưa không gian của tín hiệu đến, lấy mẫu nén được áp dụng cho các mẫu tính hiệu nhận được với một mảng thưa và các kênh được giảm. Tín hiệu của một mảng đầy đủ được tái tạo lại bằng cách sử dụng phương pháp lấy mẫu nén trên cơ sở chuẩn làm trơn . Sau đó, lặp một thuật toán định hướng búp sóng giới hạn phương sai tuyến tính được thông qua để tạo thành chùm tia antenna, mà búp sóng chính hướng theo các hướng mong muốn và bằng không ở các hướng của nhiễu. Kết quả mô phỏng và phân tích Monte Carlo cho mảng tuyến tính và phẳng cho thấy rằng biểu diễn chùm tia bằng định hướng búp sóng thích nghi tương tự đối với mảng antenna đầy đủ.
3.3.1 Giới thiệu
Định hướng búp sóng thích nghi được sử dụng rộng rãi trong xử lý mảng tín hiệu để nâng cao tín hiệu mong muốn trong khi triệt tiêu nhiễu và tín hiệu can nhiễu ở đầu ra của một mảng các phần tử. Trong các hệ thống radar song địa tĩnh, antenna mảng thu nhận kĩ thuật số định hướng búp sóng là cần thiết do đó chùm tia tiếp nhận antenna có thể bao phủ các chùm của antenna truyền linh hoạt. Tại các trạm radar nhận, để thu được độ lợi antenna cao và đo góc có độ chính xác, một mảng antenna với số lượng các phần tử lớn có thể được sử dụng. Do đó chi phí cao là một trở ngại đối với mảng có số phần tử lớn. Trong khi đó, khả năng tính toán nhiều và truyền dữ liệu tốc độ cao là hai vướng mắc trong việc thực hiện các thuật toán thích nghi. Để giảm số lượng tần số radio (RF) đầu cuối mà không giảm khẩu độ antenna, ta có thể sử dụng các mảng thưa. So sánh với mảng đây đủ, mảng thưa được quan tâm bởi vì mảng thưa có thể giảm số lượng các phần tử và kênh nhận, trọng số, năng lượng tiêu thụ và chi phí. Các mảng có các khoảng cách bằng nhau cho ra thùy lưới chắc chắn và giảm phạm vi quét của chùm tia. Để tránh thùy lưới, mảng thưa
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 83
thường được thiết kế để khoảng cách không đều nhau. Có nhiều kĩ thuật được đưa ra, phổ biến nhất là phương pháp ngẫu nhiên, ví dụ như thuật toán di truyền, đàn kiến, … Phương pháp ma trận bút chì gần đây đã được áp dụng hiệu quả để tái tạo lại tập trung và tạo hình beam patterns trong khi giảm số lượng các phần tử mảng.
Gần đây, Candes và Donoho đã báo cáo một thuật toán lấy mẫu gọi là lấy mẫu nén, hay còn gọi là compressive sampling. Lý thuyết lấy mẫu nén khẳng định rằng ta có thể khôi phục lại tín hiệu nhất định từ các mẫu hoặc phép đo rất ít so với phương pháp truyền thống. Để làm điều này, lấy mẫu nén dựa trên một nguyên tắc: thưa - mà liên quan đến tín hiệu quan tâm. Lý thuyết nói rằng chỉ cần tín hiệu là thưa hoặc có thể nén, ta có thể tái tạo lại tín hiệu ban đầu từ một số lượng nhỏ các mẫu bằng cách giải quyết một vấn đề tối ưu với xác suất cao. Đặc tính thưa của tín hiệu được sử dụng trong một loạt các ứng dụng bao gồm thiên văn học, ảnh quang học, radar, cảm biến quang phổ.
3.3.2 Mô hình tín hiệu
Xem xét một mảng antenna với N phần tử và giả định rằng K tín hiệu băng hẹp có tính ngẫu nhiên với mảng antenna. Một trong những tín hiệu là tín hiệu mong muốn và các tín hiệu còn lại là nhiễu. Tín hiệu nhận được có thể biểu diễn:
( ) ∑ ( )
(3.19)
Với ( ) , ( ) ( ) ( ) - , là nhiễu Gaussian trắng, và ( )
và là biên độ phức và vector hướng của tín hiệu ngẫu nhiên thứ k. Với một ý tưởng là một mảng tuyến tính đồng nhất với khoảng cách các phần tử là d, ta có:
[ ( ) ( ) ( ) ] (3.20)
Với là sóng mang và đại diện cho DOA của tín hiệu k. Với một mảng hai chiều, vector hướng có thể biểu diễn bởi:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 84
[ ( ) ( ) ] (3.21)
Với ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) là góc ngảng và góc phương vị, ( ) là tọa độ của phần tử thứ k. Với mảng 3 chiều có tọa độ ( ), vector hướng được tính bởi:
[ ( ) ( ) ] (3.22)
Với ( ) ( ), ( ) ( ) và ( ).
Để không mất tính tổng quát, ta chỉ xét mảng tuyến tính trong luận văn này. Với DOA trong mảng truyến tính, ta giả định rắng có một mạng lưới phân vùng toàn bộ không gian góc , - như sau:
,
| ( ) ( )|
(3.23)
Với Γ là số lượng các điểm lưới. Ta định nghĩa một ma trận biến đổi H với:
, ( ) ( ) ( )-. (3.24)
Vì vậy tín hiệu thu được có thể viết lại là:
( ) ( ) ( ) (3.25)
Với ( ) , ( ) ( ) - và một vector phức với K
phần tử khác không. Chỉ số của các thành phần khác không trong ( ) đại diện cho các DOA của tín hiệu ngẫu nhiên. Nói chung, số lượng các tín hiệu ngẫu nhiên là nhỏ; có nghĩa là: ‖ ( )‖ bởi vậy có lý do để giả định rằng ( ) là thưa trong không gian.
Tiếp theo ta thiết kế một ma trận đo Φ chiều với , và phép đo y(t) thu được bởi:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 85
Với dại diện cho số các kênh thu, và nhỏ hơn số phần tử mảng. Ma trận đo Φ có nghĩa là một phương pháp lấy mẫu nén không gian tín hiệu. Thế (3.25) vào (3.26) kết quả là:
( ) ( ) ( ) (3.27)
( ) ( )
Với được gọi là ma trận quan sát. Ta có thể khôi phục chính xác tín hiệu “thưa” ( ) từ vector “nén” y(t) khi ma trận quan sát P thỏa mãn điều kiện giới hạn đẳng cự (RIP). Với các lựa chọn Φ, Candes chỉ ra rằng nếu ta muốn tái tạo lại hoàn toàn một tín hiệu, ma trận quan sát P phải đảm bảo rằng 2 tín hiệu thưa K khác nhau sẽ không ánh xạ tới cùng một điểm. Ở đây ta xác định một ma trận tương quan G với các phần tử:
‖ ‖ ‖ ‖
(3.28)
( )
Với là hàng vector thứ i của P. Để xây dựng lại tín hiệu đầy đủ, ta phải tạo ra các hệ số tương quan nhỏ nhất có thể. Với cho H, các hệ số tương quan tối ưu và ma trận đo Φ có thể được tối ưu bằng cách sử dụng thuật toán di truyền, phương
pháp tối ưu bầy đàn hoặc các phương pháp khác. Với việc tối ưu hóa vị trí các phần tử, có thể giúp giảm các lỗi khi khôi phục. Trong phần này, ta sẽ lựa chọn ngẫu nhiên M phần tử từ một mảng đầy đủ để lấy mẫu các không gian tín hiệu.
Do sự thưa không gian của các tín hiệu ngẫu nhiên, ta có thể thu được ước lượng của ( ) từ phép đo ( ) bằng cách giải quyết bài toán lấy mẫu nén:
̂( )
( ) ‖ ( )‖ ‖ ( ) ( )‖
(3.29)
Và khôi phục tín hiêu nhận được sử dụng ̂( ) ̂( ), với ‖ ‖ là chuẩn của một vector mà biểu thị cho số lượng của các phần tử khác không trong một vector;
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 86
biểu thị cho mức nhiễu. Để giải bài toán này, ta không dung cách thế chuẩn cho chuẩn như là BP, FOCUSS, OMP. Phương pháp ta sử dụng ở đây là tối thiểu hóa trực tiếp bằng chuẩn . Ý tưởng cơ bản là để lựa chọn chức năng làm trơn liên tục để xấp xỉ chuẩn và tìm nghiệm tối ưu trên cơ sở gradient đi lên và phương pháp ánh xạ.
3.3.3 Định hƣớng búp sóng thích nghi
3.3.3.1 Chuẩn làm trơn
Được biết đến với chuẩn của một vector là một chức năng liên tục; tìm nghiệm nhỏ nhất của chuẩn là tổ hợp các vấn đề, đó là không lồi và độ trơn không cao. Hơn nữa, chuẩn của một vector cực kì nhạy cảm với nhiễu, và giá trị của nó sẽ hoàn toàn thay đổi mặc dù nhiễu rất yếu. Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu về các nhánh làm trơn khác nhau về xấp xỉ phức của chuẩn , mà tối thiểu hóa có thể thực hiện bằng cách sử dụng các phương pháp dựa trên gradient. Ta xét các chức năng của một họ Gaussian phức với tham số
( ) ( | |
) (
( )
)
(3.30)
Với | |, , là modun, phần thực, phần ảo của , ta có:
( ) { | | | | (3.31)
Hoặc xấp xỉ:
( ) { | | | | (3.32)
Sau đó, với một vector ( ) , ta có thể định nghĩa
( ) ∑ ( )
(3.33)
Từ đó số lượng các mục trong là Γ và chức năng của , - là một chỉ số về số lượng các mục bằng không trong , chuẩn của có thể xấp xỉ bởi:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 87
‖ ( )‖ , ( )- (3.34)
Với giá trị nhỏ của , và xấp xỉ có xu hướng bình đẳng khi .
Thế xấp xỉ này vào (3.29), bài toán lấy mẫu nén với chuẩn làm trơn :
̂( )
( ) * , ( )-+
( ) , ( )- ‖ ( ) ( )‖
(3.35)
3.3.3.2 Thuật toán khôi phục Lấy mẫu nén
Với giá trị nhỏ của ở (3.35), , - thu được rất nhiều điểm cực cục bộ. Dó đó, rất khó để tối đa hóa trực tiếp chức năng này cho giá trị rất nhỏ. Mặc dù vậy, khi giá trị tăng lên, chức năng trở lên cằng ngày càng trơn, và khi giá trị đủ lớn, thì sẽ không có cực đại cục bộ. Cách để giải phương trình (3.35) là sau đó giảm dần dần giá trị của . Dưới ý tưởng là để chọn một mà chắc chắn rằng bài toán tới ưu ban đầu là lồi và tăng dần một cách chính xác các xấp xỉ. Bằng cách lựa chọn cẩn thận dãy của , tính không lồi và cực tiểu cục bộ có thể tránh được. Với mỗi , ta sử dụng một số lần lặp đi lặp lại các bước của thuật toán lên dốc để tối đa hóa
, -, và giá trị ban đầu của thuật toán lên dốc là giá trị cực đại của , - thu được bằng giá trị phía trước (lớn hơn) của . Thuật toán khôi phục lấy mẫu nén được miêu tả: là một hằng số dương nhỏ, ( ) đại diện cho giả ngẫu nhiên Moore-Penrose của ma trận P, và đại diện cho kết quả Hadamard (nhân
phần tử) của vector x và y.
Thuật toán 1: (thuật toán khôi phục lấy mẫu nén) Bước 1: khởi tạo
Bước 1.1: cho ( ) bằng với mức tối thiểu nghiệm chuẩn của ( ) ( ), thu được ( ) ( ).
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 88
Bước 2: Với mỗi , cực đại (xấp xỉ) chức năng , - trên các thiết lập khả thi ‖ ( ) ( )‖
Bước 2.1: khởi tạo: ( ).
Bước 2.2: tính toán gradient , ( )- ( ) { ( ) }
Bước 2.3: thực hiện các thuật toán leo dốc: , ( )-.
Bước 2.4: ánh xạ vào các tập khả thi [ ( )]. Bước 2.5: chỉ định ( )
Bước 2.6: nếu ‖ ( ) ( )‖ và ít hơn thời gian lặp lại tối đa, thì quay về bước 2.2.
Bước 3: Thu được nghiệm cuối cùng: ̂( ) ( ).
Một vài nhận xét rút ra ở đây: (1) các vòng lặp nội bộ cho cố định được lặp đi lặp lại cố định và số lượng nhỏ các lần. Nói cách khác, để tăng tốc độ, ta không chờ đợi các thuật toán leo dốc đạt đến hội tụ. Ta chỉ cần đi vào vùng gần cực đại (toàn cục) của , - để thoát khỏi tối đa hóa cục bộ. (2) trong bước 1.1 của thuật toán 1, ta sử dụng nghiệm chuẩn cực tiểu (mà tương ứng để ) như ước tính ban đầu của nghiệm thưa. Đối với giá trị của , có thể được lựa chọn khoảng hai đến bốn lần giá trị tuyệt đối tối đa của các thành phần trong ( ). Sau đó ta dùng
, để xác định giá trị tiếp theo của , với thường được chọn giữa 0.5 và 1. Với giá trị nhỏ nhất (ví dụ: ), nó có thể được thiết lập từ một đến hai lần của (một ước lượng thô) độ lệch chuẩn của nhiễu. (3) Đối với các lựa chọn của