a. Sử dụng ℓ0:
̂ = ‖ ‖
Với điều kiện: .
Ở đây ‖ ‖ = |* +|. Phương pháp này có thể cho phép khôi phục chính xác dữ liệu bằng cách kiểm tra từng dữ liệu để thỏa mãn hai phương trình trên, tuy nhiên tốc độ tính toán của phương pháp là chậm. Nên thuật toán này ít được sử dụng trong thực tế và không sử dụng trong lấy mẫu nén.
b. Sử dụng ℓ2:
̂= || || = ∑ | |
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 68
.
Phương pháp này không khôi phục đúng dữ liệu.
c. Sử dụng ℓ1
̂= || || = ∑ | |
Với điều kiện: .
Thuật toán này có thể khôi phục chính xác tín hiệu thưa K sử dụng M phép đo tuyến tính không thích nghi với M cKlog(N/K). Phương pháp này sử dụng trong lấy mẫu nén cho việc khôi phục dữ liệu.
Nghiên cứu mới đây của Emmanuel J.candes, Michael B.Walkin và Stephen P.Boyd đã cải tiến phương pháp này cho phép khôi phục tín hiệu chính xác hơn gọi là phương pháp ℓ1-minimization được trọng số hóa (Reweighted ℓ1-minimization). Phương pháp này khôi phục tín hiệu bằng phương trình sau:
̂ = || || =
∑ | |
với điều kiện:
.
Ở đây ma trận W là ma trận chéo với wl,w2...wn là các trọng số dương nằm trên đường chéo, các trọng số còn lại bằng 0.
Các trọng số dương của ma trận W này được tính toán sử dụng các bước trong thuật toán sau đây:
Bước 1. Thiết lập đặt l=0 và ( ), i= 1,…,N Bước 2. Tính:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 69
với
Bước 3. Cập nhập các giá trị trọng số: với i=1,…,n:
( )
=| ( )| +
Bước 4. Kết thúc thuật toán nếu w hội tụ hoặc khi l đạt tới một số cực đại, ngược lại tăng l lên 1 đơn vị và quay trở lại bước 2.
Phương pháp này khôi phục tín hiệu chính xác hơn, để minh họa điều này ta xét ví dụ sau:
cho = | | (sơ đồ 1(a) thể hiện tín hiệu gốc x) và : = 0 1
Ta có tín hiệu thu được : Y = x = | |
Nhìn vào sơ đồ bên dưới, với phương pháp ℓ1-minimization, ℓ1 biểu thị như một quả bóng giao với đường biểu diễn tại vị trí ̂ | | giá trị này cho chúng ta kết quả không chính xác. Sơ đồ 1(b)
Bây giờ nếu chúng ta đưa vào ma trận trọng số W = diag | | sơ đồ 1(c) thể hiện quả bóng "weighted ℓ1 " hội tụ tới điểm tín hiệu nguồn một cách chính xác.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 70
Hình 2.6 So sánh phƣơng pháp ℓ1-minimization và ℓ1-minimization có trọng số.