Trong trường hợp của một miền vô hạn rời rạc, chúng ta có thể xem tín hiệu như là vectơ trong một không gian Elip chiều, ký hiệu là . Khi phân chia các vectơ trong , chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng định mức của ℓp, được định nghĩa với = [1, ] thì:
‖ ‖ , (∑ | | , )
| |
(2.1)
Trong không gian Elip, chúng ta xét các tiêu chuẩn bên trong tiêu chuẩn trong mà:
〈 〉 ∑ i i
Điều này dẫn đến định mức ℓ2:‖ ‖2=√〈 〉.
Trong một số hoàn cảnh, nó rất hữu ích để mở rộng khái niệm định mức ℓp với trường hợp . Với trường hợp này, định mức được xác định trong công thức (2.1) không đáp ứng được bất đẳng thức tam giác, do đó, nó thực sự là một không gian tựa chuẩn. Chúng ta cũng sẽ sử dụng thường xuyên ký hiệu: ‖ ‖0:=| ( )|, với ( ) * + biểu thị sự hỗ trợ của x và | ( )| trong bản số của
( ).
Chú ý rằng ‖ ‖0 không phải là một không gian tựa chuẩn, nhưng người ta có thể dễ dàng thấy rằng: ‖ ‖ | ( )| giải thích cho sự chọn kí hiệu này. Chuẩn ℓp có đặc tính khác đáng chú ý với giá trị khác của . Để minh họa điều này, trong hình 2.1, chúng ta thấy trên vòng tròn đơn vị. Ví dụ.., { ‖ ‖ }, bao gồm mỗi chỉ tiêu trong .
Chúng ta thường sử dụng các chỉ tiêu như một thước đo cường độ của một tín hiệu, hoặc kích thước của một lỗi. Ví dụ, giả sử chúng ta đang đưa ra một tín
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 42
hiệu và mong muốn biểu diễn xấp tín hiệu đó sử dụng một điểm trong một không gian một chiều A. Nếu chúng ta đo lỗi xấp xỉ sử dụng định chuẩn ℓp, sau đó nhiệm vụ của chúng ta là tìm ̂ nhằm làm giảm ‖ ̂‖p.
Hình 2.2 giá trị gần đúng nhất của một điểm trong bởi một không gian con một chiều sử dụng định mức ℓp
với và không gian tựa chuẩn với
Sự lựa chọn của sẽ có một tác động đáng kể trên các thuộc tính các lỗi xấp xỉ kết quả. Một ví dụ được minh họa trong hình 2.2. Để tính toán điểm gần nhất trong A đến sử dụng mỗi định chuẩn ℓp, chúng ta có thể hình dung sự tăng lên của ℓp phụ thuộc vào . Đây sẽ là điểm ̂ đó là gần nhất với đồng vị định chuẩn ℓp. Ta nhận thấy rằng p càng lớn sẽ có xu hướng lây lan ra các lỗi đồng đều hơn giữa hai hệ số, trong khi nếu p nhỏ hơn, dẫn đến một lỗi được phân bố không đều và có xu hướng thưa. Cách nhìn tổng quát này để số chiều cao hơn, và đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển của lý thuyết lấy mẫu nén.