Xem xét một mảng antenna với N phần tử và giả định rằng K tín hiệu băng hẹp có tính ngẫu nhiên với mảng antenna. Một trong những tín hiệu là tín hiệu mong muốn và các tín hiệu còn lại là nhiễu. Tín hiệu nhận được có thể biểu diễn:
( ) ∑ ( )
(3.19)
Với ( ) , ( ) ( ) ( ) - , là nhiễu Gaussian trắng, và ( )
và là biên độ phức và vector hướng của tín hiệu ngẫu nhiên thứ k. Với một ý tưởng là một mảng tuyến tính đồng nhất với khoảng cách các phần tử là d, ta có:
[ ( ) ( ) ( ) ] (3.20)
Với là sóng mang và đại diện cho DOA của tín hiệu k. Với một mảng hai chiều, vector hướng có thể biểu diễn bởi:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 84
[ ( ) ( ) ] (3.21)
Với ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) là góc ngảng và góc phương vị, ( ) là tọa độ của phần tử thứ k. Với mảng 3 chiều có tọa độ ( ), vector hướng được tính bởi:
[ ( ) ( ) ] (3.22)
Với ( ) ( ), ( ) ( ) và ( ).
Để không mất tính tổng quát, ta chỉ xét mảng tuyến tính trong luận văn này. Với DOA trong mảng truyến tính, ta giả định rắng có một mạng lưới phân vùng toàn bộ không gian góc , - như sau:
,
| ( ) ( )|
(3.23)
Với Γ là số lượng các điểm lưới. Ta định nghĩa một ma trận biến đổi H với:
, ( ) ( ) ( )-. (3.24)
Vì vậy tín hiệu thu được có thể viết lại là:
( ) ( ) ( ) (3.25)
Với ( ) , ( ) ( ) - và một vector phức với K
phần tử khác không. Chỉ số của các thành phần khác không trong ( ) đại diện cho các DOA của tín hiệu ngẫu nhiên. Nói chung, số lượng các tín hiệu ngẫu nhiên là nhỏ; có nghĩa là: ‖ ( )‖ bởi vậy có lý do để giả định rằng ( ) là thưa trong không gian.
Tiếp theo ta thiết kế một ma trận đo Φ chiều với , và phép đo y(t) thu được bởi:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 85
Với dại diện cho số các kênh thu, và nhỏ hơn số phần tử mảng. Ma trận đo Φ có nghĩa là một phương pháp lấy mẫu nén không gian tín hiệu. Thế (3.25) vào (3.26) kết quả là:
( ) ( ) ( ) (3.27)
( ) ( )
Với được gọi là ma trận quan sát. Ta có thể khôi phục chính xác tín hiệu “thưa” ( ) từ vector “nén” y(t) khi ma trận quan sát P thỏa mãn điều kiện giới hạn đẳng cự (RIP). Với các lựa chọn Φ, Candes chỉ ra rằng nếu ta muốn tái tạo lại hoàn toàn một tín hiệu, ma trận quan sát P phải đảm bảo rằng 2 tín hiệu thưa K khác nhau sẽ không ánh xạ tới cùng một điểm. Ở đây ta xác định một ma trận tương quan G với các phần tử:
‖ ‖ ‖ ‖
(3.28)
( )
Với là hàng vector thứ i của P. Để xây dựng lại tín hiệu đầy đủ, ta phải tạo ra các hệ số tương quan nhỏ nhất có thể. Với cho H, các hệ số tương quan tối ưu và ma trận đo Φ có thể được tối ưu bằng cách sử dụng thuật toán di truyền, phương
pháp tối ưu bầy đàn hoặc các phương pháp khác. Với việc tối ưu hóa vị trí các phần tử, có thể giúp giảm các lỗi khi khôi phục. Trong phần này, ta sẽ lựa chọn ngẫu nhiên M phần tử từ một mảng đầy đủ để lấy mẫu các không gian tín hiệu.
Do sự thưa không gian của các tín hiệu ngẫu nhiên, ta có thể thu được ước lượng của ( ) từ phép đo ( ) bằng cách giải quyết bài toán lấy mẫu nén:
̂( )
( ) ‖ ( )‖ ‖ ( ) ( )‖
(3.29)
Và khôi phục tín hiêu nhận được sử dụng ̂( ) ̂( ), với ‖ ‖ là chuẩn của một vector mà biểu thị cho số lượng của các phần tử khác không trong một vector;
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 86
biểu thị cho mức nhiễu. Để giải bài toán này, ta không dung cách thế chuẩn cho chuẩn như là BP, FOCUSS, OMP. Phương pháp ta sử dụng ở đây là tối thiểu hóa trực tiếp bằng chuẩn . Ý tưởng cơ bản là để lựa chọn chức năng làm trơn liên tục để xấp xỉ chuẩn và tìm nghiệm tối ưu trên cơ sở gradient đi lên và phương pháp ánh xạ.
3.3.3 Định hƣớng búp sóng thích nghi
3.3.3.1 Chuẩn làm trơn
Được biết đến với chuẩn của một vector là một chức năng liên tục; tìm nghiệm nhỏ nhất của chuẩn là tổ hợp các vấn đề, đó là không lồi và độ trơn không cao. Hơn nữa, chuẩn của một vector cực kì nhạy cảm với nhiễu, và giá trị của nó sẽ hoàn toàn thay đổi mặc dù nhiễu rất yếu. Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu về các nhánh làm trơn khác nhau về xấp xỉ phức của chuẩn , mà tối thiểu hóa có thể thực hiện bằng cách sử dụng các phương pháp dựa trên gradient. Ta xét các chức năng của một họ Gaussian phức với tham số
( ) ( | |
) (
( )
)
(3.30)
Với | |, , là modun, phần thực, phần ảo của , ta có:
( ) { | | | | (3.31)
Hoặc xấp xỉ:
( ) { | | | | (3.32)
Sau đó, với một vector ( ) , ta có thể định nghĩa
( ) ∑ ( )
(3.33)
Từ đó số lượng các mục trong là Γ và chức năng của , - là một chỉ số về số lượng các mục bằng không trong , chuẩn của có thể xấp xỉ bởi:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 87
‖ ( )‖ , ( )- (3.34)
Với giá trị nhỏ của , và xấp xỉ có xu hướng bình đẳng khi .
Thế xấp xỉ này vào (3.29), bài toán lấy mẫu nén với chuẩn làm trơn :
̂( )
( ) * , ( )-+
( ) , ( )- ‖ ( ) ( )‖
(3.35)
3.3.3.2 Thuật toán khôi phục Lấy mẫu nén
Với giá trị nhỏ của ở (3.35), , - thu được rất nhiều điểm cực cục bộ. Dó đó, rất khó để tối đa hóa trực tiếp chức năng này cho giá trị rất nhỏ. Mặc dù vậy, khi giá trị tăng lên, chức năng trở lên cằng ngày càng trơn, và khi giá trị đủ lớn, thì sẽ không có cực đại cục bộ. Cách để giải phương trình (3.35) là sau đó giảm dần dần giá trị của . Dưới ý tưởng là để chọn một mà chắc chắn rằng bài toán tới ưu ban đầu là lồi và tăng dần một cách chính xác các xấp xỉ. Bằng cách lựa chọn cẩn thận dãy của , tính không lồi và cực tiểu cục bộ có thể tránh được. Với mỗi , ta sử dụng một số lần lặp đi lặp lại các bước của thuật toán lên dốc để tối đa hóa
, -, và giá trị ban đầu của thuật toán lên dốc là giá trị cực đại của , - thu được bằng giá trị phía trước (lớn hơn) của . Thuật toán khôi phục lấy mẫu nén được miêu tả: là một hằng số dương nhỏ, ( ) đại diện cho giả ngẫu nhiên Moore-Penrose của ma trận P, và đại diện cho kết quả Hadamard (nhân
phần tử) của vector x và y.
Thuật toán 1: (thuật toán khôi phục lấy mẫu nén) Bước 1: khởi tạo
Bước 1.1: cho ( ) bằng với mức tối thiểu nghiệm chuẩn của ( ) ( ), thu được ( ) ( ).
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 88
Bước 2: Với mỗi , cực đại (xấp xỉ) chức năng , - trên các thiết lập khả thi ‖ ( ) ( )‖
Bước 2.1: khởi tạo: ( ).
Bước 2.2: tính toán gradient , ( )- ( ) { ( ) }
Bước 2.3: thực hiện các thuật toán leo dốc: , ( )-.
Bước 2.4: ánh xạ vào các tập khả thi [ ( )]. Bước 2.5: chỉ định ( )
Bước 2.6: nếu ‖ ( ) ( )‖ và ít hơn thời gian lặp lại tối đa, thì quay về bước 2.2.
Bước 3: Thu được nghiệm cuối cùng: ̂( ) ( ).
Một vài nhận xét rút ra ở đây: (1) các vòng lặp nội bộ cho cố định được lặp đi lặp lại cố định và số lượng nhỏ các lần. Nói cách khác, để tăng tốc độ, ta không chờ đợi các thuật toán leo dốc đạt đến hội tụ. Ta chỉ cần đi vào vùng gần cực đại (toàn cục) của , - để thoát khỏi tối đa hóa cục bộ. (2) trong bước 1.1 của thuật toán 1, ta sử dụng nghiệm chuẩn cực tiểu (mà tương ứng để ) như ước tính ban đầu của nghiệm thưa. Đối với giá trị của , có thể được lựa chọn khoảng hai đến bốn lần giá trị tuyệt đối tối đa của các thành phần trong ( ). Sau đó ta dùng
, để xác định giá trị tiếp theo của , với thường được chọn giữa 0.5 và 1. Với giá trị nhỏ nhất (ví dụ: ), nó có thể được thiết lập từ một đến hai lần của (một ước lượng thô) độ lệch chuẩn của nhiễu. (3) Đối với các lựa chọn của
, tìm đường có thể áp dụng để tìm tối ưu cục bộ để tối thiểu hóa 0 ( )1. Biểu diễn tìm đường có thể tốn thời gian, do đó ta chỉ sử dụng một số cố định nhỏ (ví dụ: ). Đó là giá trị mà ta sử dụng lặp đi lặp lại các
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 89
bước trong thuật toán leo dốc, mà tỷ lệ thuận với . Lý do là với các giá trị nhỏ hơn , chức năng , - “dao động” nhiều hơn và do đó các bước kích thước nhỏ hơn có thể sử dụng cho tối đa hóa.
Ở cuối chương này, ta sẽ có một phân tích ngắn cho thuật toán 1. Chi phí tính toán gradient (bước 2.2) và thuật toán leo dốc (bước 2.3) nói về ( ), với là số mũ phức. Với ánh xạ (bước 2.4), nó có độ phức tạp (
) phát sinh từ ma trận nghịch đảo và phép nhân ma trận vector. Vì vậy độ phức tạp của thuật toán 1 là về {[ ( ) ] } Với và là số lần lặp đi lặp lại bên trong và bên ngoài.
3.3.3.3 Thuật toán định hƣớng búp sóng lặp LCMV
Sau khi thu được ̂( ) và tái tạo lại các tín hiệu tiếng vang sử dụng ̂( ) ̂( ), ta nên áp dụng các thuật toán định hướng búp sóng thích nghi để tăng cường tín hiệu mong muốn và ngăn chặn nhiễu hoặc tín hiệu can nhiễu bằng dữ liệu khôi phục. Trong chương này, ta sử dụng thuật định hướng búp sóng lặp LCMV để tạo thành chùm tia antenna. Tất nhiên các phương pháp định hướng búp sóng khác cũng có thể được áp dụng, ví dụ như thuật toán ánh xạ không gian con, GSC.
Thuật toán LCMV tối thiểu hóa tổng phương sai của đầu ra beamformer và thu được các trọng số bằng cách giải phương trình hằng số tuyến tính:
̂( ) * ( ) + ( )
(3.36)
Với ( ) , ̂( ) ̂ ( )- là ma trận phương sai của tín hiệu khôi phục ̂( ) và
( ) là vector điều hướng trong hướng mong muốn. Sử dụng phướng pháp nhân Lagrange, vector trọng số tối ưu có thể đạt được bằng:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 90
Để thực hiện trực tuyến, ta cũng có thể phát triển một công thức lặp cho tính toán trọng số định hướng búp sóng:
̂( ) , ̂( ) ̂( ) ̂ ( ) ̂( )- (3.38)
Với là kích thước bước lặp, ( ), ( ) ( )- , và ( ). Đối với sự ổn định của thuật toán, phải thỏa mãn
(3.39)
Với là trị riêng lớn nhất của ma trận phương sai ( ) , ̂( ) ̂ ( )-. Từ đó
( ) là nửa xác định tích cực, ta có:
* ( )+ (3.40)
Hình 3.2 Minh họa lƣới sàng lọc.
Với * + là đối số ma trận. Ta có:
* ( )+ (3.41)
Như là một giới hạn trên cho . Khi vượt quá giới hạn này, có thể làm cho thuật toán lặp LCMV không ổn định.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 91
Sau khi thu được trọng số định hướng búp sóng, ta có thể thu được đầu ra của beamformer thích nghi sử dụng:
( ) ̂ ( ) ̂( ) (3.42)
3.3.3.4 Khi các DOA không ở trên mạng lƣới phân vùng
Mở rộng hơn, ước lượng vị trí tín hiệu được giới hạn trong mạng lưới của phân vùng. Khi tín hiệu không trong mạng lưới, lỗi của tín hiệu khôi phục là rất lớn. Tăng tham số Γ để giảm khoảng cách lưới có thể giải quyết vấn đề này. Nhưng lưới đồng bộ tốt hơn sẽ làm tăng độ phức tạp về tính toán đáng kể. Thay vì có một mạng lưới đồng bộ, ta làm một lưới hoạt động tốt chỉ xung quanh các vùng mà tín hiệu hiện diện. Điều này cần một hiểu biết gần đúng về vị trí nguồn, mà có thể thu được bằng cách sử dụng một lưới thô đầu tiên. Các bước để tạo thành lưới tinh không đồng bộ như sau:
Tạo một mạng lưới phân vùng thô của vị trí tín hiệu tiềm năng: ̃( )
[ ̃( ) ̃( ) ̃( ) ] do đó mà | ( ̃ ( )) ( ̃( ))| ( ). Lưới không phải là quá thô để có được dự đoán ước lượng vị trí của các nguồn. Ở đây trong ví dụ, ta khởi tạo .
Dạng của ma trận biến đổi H quan hệ với ̃( ) và dùng thuật toán tái tạo lấy mẫu nén để tái tạo lại tín hiệu thưa ̃ ( ). Tìm các chỉ số K của các phần tử khác không có biên độ lớn nhất của ̃ ( ) và thu được ước lượng vị trí thô ̃( ) .
Như minh họa trong hình 3.2, với mỗi ̃( ) phân chia các khoảng thời gian [ ̃ ( ) ̃ ( )] trong các thành phần trong điều kiện góc sin đại diện, với là số lần xử lý. Sau đó ta có thể nhận lưới tinh phân vùng xung quanh vị trí ̃( ),
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 92
Hình 3.3 DOA của ba phƣơng pháp khác nhau với một tín hiệu ngẫu nhiên (SNR=10dB)
3.3.4 Mô phỏng số
Trong phần này một số mô phòng cho mảng tuyến tính và mảng hai chiều để minh họa hiệu quả của phương pháp định hướng búp sóng thích nghi.
3.3.4.1 Đánh giá DOA và lỗi tín hiệu khôi phục
Một mảng tuyến tính đồng dạng với phần tử đa hướng đặt cách nhau khoảng cách bằng một nửa bước sóng. Nhiễu là nhiễu tráng Gaussian phức với năng lượng trong mô phỏng. Ta chọn phần tử ngẫu nhiên từ mảng phần tử và thiết lập cho các phân vùng góc. Ta giả định rằng chỉ có một tín hiệu ngẫu nhiên từ hướng có ( ) với tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu (SNR) là 10dB. Để so sánh, ta so sánh giữa OMP, tiếp cận lặp thích nghi đối với biên độ và
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 93
ước lượng pha (IAA- APES) và phương pháp DOA dựa trên lấy mẫu nén (gọi là CS-OMP, CS-IAA-APES, và CS-SL0). Hình 3.3 biểu diễn DOA của ba phương pháp với một tín hiệu ngẫu nhiên, hình 3.4 đưa ra lỗi của tín hiệu khôi phục của ba phương pháp. Ở đây ta định nghĩa lỗi của tín hiệu khôi phục là:
‖ ̂ ‖ ‖ ‖
(3.43)
Với ̂ là tín hiệu là tín hiệu khôi phục được và x là tín hiệu ban đầu không có nhiễu.
Từ hình 3.3 và hình 3.4, ta có thể thấy ba phương pháp này đều cho hiệu suất DOA tương tự nhau. Mặc dù vậy phương pháp đề suất CS-SL0 tốt hơn CS-OMP và CS- IAA-APES xét về mặt lỗi tín hiệu khôi phục. Lý do là Phương pháp đề suất CS-LS0 thu được vector biên độ phức ̂( ) chính xác hơn hai phương pháp ước lượng DOA dựa trên lấy mẫu nén kia.
3.3.4.2 Đánh giá Beam Pattern và đầu ra SINR
Ta chỉ xét một mảng tuyến tính đồng bộ với phần tử đa hướng cách nhau khoảng cách là một nửa bước sóng.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 94
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 95
Hình 3.5 Beam pattern vủa lặp LCMV với các tín hiệu khác nhau.
Giả định rằng có bốn tín hiệu không gian từ bốn vị trí khác nhau. Một trông số đó là tín hiệu mong muốn với SNR = 10dB; các tín hiệu còn lại là nhiễu với tỉ lệ INR là 40dB. Hướng của tín hiệu mong muốn và ba tín hiệu can nhiễu được thiết lập tương ứng là 0.1, -0.21, 0.41 và -0.45 trong điều kiện là sin của góc (ví dụ: ( )). Các tham số khác tương tự như trong phần 3.3.4.1. Ba loại beam patterns được mô tả trong hình 3.5 bằng cách áp dụng định hướng búp sóng lặp LCMV vào tín hiệu tái tạo CS-SL0, tín hiệu nhận được tương ứng với 30 phần tử và 100 phần tử (mảng đầy đủ). Từ hình 3.5, ta có thể thấy rằng khẩu độ antenna không giảm đi khi số các phần tử giảm từ 100 xuống 30. Búp sóng phụ được hình thành bởi các tín hiệu của 30 phần tử là -9dB. Chùm tia của phương pháp CS-SL0 có hiệu suất tương tự như chùm tia của tín hiệu mảng đầy đủ (100 phần tử).
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 96
Hình 3.6: Đầu ra SINR so với SNR của lặp LCMV với tín hiệu khôi phục CS-SL0.
Để xác minh tính hiệu quả của thuật toán trong trường hợp các SNR khác nhau và DOA khác nhau, ta lựa chọn ngẫu nhiên hướng tín hiệu mong muốn và tín hiệu can nhiễu. Hướng của tín hiệu can nhiễu giả định rằng bên ngoài búp sóng