Điều kiện giới hạn thuộc tính đẳng cự (RIP)

Trong khi NSP là điều kiện cần và đủ thành lập đảm bảo của mẫu (2.4), những đảm bảo đó không tính đến nhiễu. Khi các phép đo bị nhiễm nhiễu hoặc đã bị lỗi bởi một số lỗi như lượng tử hóa, nó sẽ được dùng để xem xét điều kiện nào

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 61

mạnh hơn. Candés và Tao giới thiệu các điều kiện sau đây phép đẳng cự trên ma trận A và thiết lập vai trò quan trọng của nó trong lấy mẫu nén.

Định nghĩa 1.3: Một ma trận A thỏa mãn tính chất giới hạn thuộc tính đẳng cự (restricted isometry property - RIP) trật tự nếu tồn tại một k (0, 1) sao cho

2 2 2

2 2 2

(1k) || x|| || A ||x  (1 k) || x|| (2.5)

Với tất cả các giá trị x k

Nếu một ma trận A thỏa mãn điều kiện RIP trật tự 2 , sau đó chúng ta có thể giải thích (2.5) nói rằng A giữ một khoảng cách giữa bất kỳ cặp vectơ - thưa. Điều này rõ ràng có tác động cơ bản liên quan mạnh mẽ đến nhiễu. Hơn nữa, các ứng dụng tiềm năng như sự đưa vào ổn định dao động vượt xa việc thu lại với mục đích duy nhất là khôi phục lại tín hiệu.

Điều quan trọng cần lưu ý là trong khi ở định nghĩa của chúng ta về RIP chúng tôi giả định rằng giới hạn là đối xứng khoảng 1, điều này chỉ đơn thuần là để thuận tiện cho việc chú thích. Trong thực tế, một có thể được xem xét thay đổi tùy ý

2 2 2

2 2 2

|| ||x || A ||x || ||x

   

Trong đó 0 < <1. Khi đưa ra bất kỳ giới hạn như vậy, người ta luôn luôn có thể quy mô A để nó thỏa mãn sự đối xứng bị ràng buộc về 1 trong (2.5). Nói một cách cụ thể, nhân A với 2 / (  ) sẽ cho kết quả trong mỗi ̃ thỏa mãn (2.5) với hằng số ( ) ( ) k       

 . Trong khi chúng tôi sẽ không rõ ràng cho điều này, người ta

có thể kiểm tra xem tất cả các định lý trong chương này dựa trên giả thiết rằng A thực sự thỏa mãn điều kiện RIP miễn là có tồn tại một số chuẩn lấy mẫu của A mà thỏa mãn điều kiện RIP. Như vậy, chúng tôi luôn luôn có chuẩn lấy mẫu A thỏa mãn (2.5), chúng ta không mất đi bởi việc hạn chế sự chú ý của chúng tôi để sự ràng buộc này đơn giản hơn.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 62

Cũng lưu ý rằng nếu A thỏa mãn RIP trật tự k với hằng số k, Sau đó cho bất kỳ k’< k chúng ta tự động có A thỏa mãn RIP của k’ hàng với hằng số k’ k. Hơn nữa, nếu A thỏa mãn RIP trật tự với mỗi hằng số đủ nhỏ, sau đó nó cũng sẽ tự động đáp ứng các điều kiện RIP cho chính xác của hàng, mặc dù với một vài hằng số nào thấp hơn.

Bổ đề 1.1: Giả sử rằng A thỏa mãn điều kiện RIP của hàng với k không đổi. là một số nguyên dương. Sau đó, A thỏa mãn RIP của k’ = [k/2] hàng với hằng số k’< . k.

Trong bổ đề này thông thường cho =1,2, nhưng khi cho 3 (và k 4) điều này cho phép chúng ta mở rộng từ điều kiện RIP trật tự k đến số hàng cao hơn. Tuy nhiên cần lưu ý rằng, k phải có số hàng đủ nhỏ để có được kết quả như mong muốn.

2.5.2.1 Điều kiện RIP và sự ổn định

Chúng ta sẽ thấy tại những phần sau, rằng nếu một ma trận A thỏa mãn điều kiện RIP, điều này sẽ phù hợp cho một loạt các thuật toán để có thể phục hồi thành công một tín hiệu thưa từ các phép đo nhiễu. Điều kiện này quan trọng nhất, tuy nhiên, chúng tôi sẽ xem xét kỹ hơn liệu RIP có thực sự cần thiết. Rõ ràng rằng sự ràng buộc thấp hơn trong RIP là một điều kiện cần thiết nếu chúng ta muốn phục hồi tất cả các tín hiệu thưa từ các phép đo Ax vì những lý do thực sự cần thiết tương tự với NSP. Chúng ta có thể nói nhiều hơn về sự cần thiết của RIP bằng cách xem xét các khái niệm sau đây của sự ổn định.

Định nghĩa 1.4: Cho ma trận A: n m biểu thị một ma trận cảm biến và ma trận : m n biểu thị một thuật toán phục hồi. Chúng ta nói rằng cặp (A, ) là C-ổn định nếu cho bất kỳ x k và bất kỳ e m ta có:

2 2

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 63

Định nghĩa này chỉ đơn giản nói rằng nếu chúng ta thêm một lượng nhỏ nhiễu vào các phép đo, khi đó tác động của nó trên các tín hiệu phục hồi sẽ không lớn tùy ý. Định lý 1.3 dưới đây cho thấy sự tồn tại của bất kỳ thuật toán giải mã (có thể phi thực tế) mà có thể phục hồi ổn định từ các phép đo nhiễu đòi hỏi A thỏa mãn thấp hơn giới hạn của (4*) với một hằng số xác định bởi C.

Định lý 1.3: Nếu cặp (A, ) là C-ổn định, sau đó

2 2

1

||x|| || A ||x

C  (2.6)

Với mọi x 2k

Chứng minh: cho mọi giá trị x,z k.Ta có khái niệm sau:

A( ) 2 x z x e   và A( ) 2 z x z e   Và lưu ý rằng ( ) 2 x z A x z Axe  Aze  

Cho ̂ = (Ax+ex) = (Az+ez).Từ bất đẳng thức tam giác và từ khái niệm của C-ổn định, chúng ta có:

||x – z||=||x - ̂ + ̂ - z||2 ||x- ̂||2 + || ̂-z||2 C||ex||2 + C||ez||2 =C||Ax-Az||2

Vì điều này giữ cho mọi x,z k, ta có kết quả.

Lưu ý C 1, chúng ta có A phải thỏa mãn điều kiện thấp hơn giới hạn của (2.5), với

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 64

được khôi phục thì chúng ta phải điều chỉnh A để nó thỏa mãn thấp hơn giới hạn (4*) với một hằng số cụ thể hơn.

Người ta có thể phản ứng với kết quả này bằng cách cho rằng kể từ khi giới hạn trên là không cần thiết, chúng ta có thể tránh thiết kế lại A đơn giản bằng cách thay đổi tỷ lệ của A để sao cho A thỏa mãn điều kiện RIP với 2k <1, phiên bản sửa lại A sẽ thỏa mãn (2.6) cho bất kỳ C không đổi. Việc thiết lập sự thay đổi của nhiễu là độc lập với sự lựa chọn của A, đây là một điểm hợp lệ - bởi tỷ lệ của A về cơ bản điều chỉnh tăng trên “tín hiệu” một phần của các phép đo, và nếu tăng mà đạt được điều này thì sẽ không ảnh hưởng đến nhiễu, sau đó chúng ta có thể đạt được tỷ lệ cao tùy ý tín hiệu/nhiễu, vì vậy mà cuối cùng nhiễu là không đáng kể so với các tín hiệu.

Tuy nhiên, trong thực tế chúng ta thường sẽ không thay đổi tỷ lệ của A một cách tùy tiện. Hơn nữa, việc kiểm soát nhiễu trong thực tế phụ thuộc vào A. Ví dụ, hãy xem xét trường hợp nhiễu vector e biểu diễn cho nhiễu lượng tử được thực thi bởi một phạm vi lượng tử động hữu hạn với B bit. Giả sử các phép đo nằm trong khoảng [-T, T], và điều chỉnh để chụp khoảng lượng tử này. Nếu chúng ta thay đổi tỷ lệ của A bằng , sau đó chèn các phép đo vào giữa [- T, T], và chúng ta phải mở rộng phạm vi hoạt động của lượng tử ra . Trong trường hợp này kết quả lỗi lượng tử thông thường là e, và chúng tôi đã thu được giá trị không giảm trong các lỗi khôi phục.

2.5.2.2 giới hạn phép đo

Ta cũng có thể xét xem có bao nhiêu phép đo là cần thiết để đạt được điều kiện RIP. Nếu chúng ta bỏ qua những tác động của và chỉ tập trung vào các khía cạnh của vấn đề (N, M, K), sau đó chúng ta có thể thiết lập giới hạn thấp hơn đơn giản.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 65

Định lý 1.4: Cho A là một ma trận thỏa mãn điều kiện RIP trật tự 2K với hằng số [0, 1/2]. Khi đó

M Cklog( ) Tại đó C= 1/2log(√ + 1) 0.28

Lưu ý rằng các giới hạn để 1/2 là tùy ý và được thực hiện chỉ đơn thuần là để thuận tiện một chút cho sự thay đổi để argument thiết lập giới hạn cho tối đa cho để max với mọi max <1. Hơn nữa, mặc dù chúng tôi đã thực hiện tối thiểu nhất để tối ưu hóa các hằng số, nhưng vẫn không đáng chú ý, điều này cũng khá hợp lý.

Trong một số ít hướng dẫn chứng thiểu số, người ta có thể thiết lập một kết quả tương tự (về sự phụ thuộc vào và ) bằng cách kiểm tra chiều rộng Gelfand của 1. Tuy nhiên, cả hai kết quả này và định lý 1.4 không nắm rõ sự phụ thuộc chính xác của m trên điều kiện RIP với liên tục như mong muốn. Để xác định số lượng phụ thuộc này, chúng ta có thể kế thừa những kết quả gần đây liên quan đến bổ đề Johnson - Lindenstrauss, có liên quan đến đầu vào bộ đêm của các điểm trong không gian thấp chiều. Cụ thể là, nó được hiển thị trong rằng nếu chúng tôi có được một tập điểm với p điểm và muốn gán các điểm trong m sao cho bình phương khoảng cách 2 giữa bất kỳ cặp điểm được bảo toàn đến một hệ số của 1+ , Sau đó chúng ta phải có đó 0 2 log( ) c p m  Tại đó c0 > 0 là một hằng số

Bổ đề Johnson - Lindenstrauss có liên quan chặt chẽ với RIP. Trong nó được hiển thị mà bất kỳ phương pháp nào có thể được sử dụng để tạo ra một tổ hợp tuyến tính, khoảng cách an toàn đặt vào cho một tập điểm cũng có thể được sử dụng

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 66

để xây dựng một ma trận thỏa mãn RIP. Hơn nữa, trong nó được hiển thị rằng nếu một ma trận A thỏa mãn RIP trật tự = c1 log (p) với hằng số , Sau đó A có thể được sử dụng để xây dựng một khoảng cách an toàn đầu vào cho điểm p với =

4. Kết hợp lại chúng tôi được

2 0 0 2 1 log( ) 16 c p c k m c   ( )

Như vậy, cho dù rất nhỏ số phép đo cần thiết để đảm bảo rằng A thỏa mãn RIP trật tự k sẽ tỷ lệ thuận với k/ 2, cái mà có ý nghĩa lớn hơn Klog(N / K).

2.5.2.3 Mối quan hệ giữa RIP và NSP

Cuối cùng, chúng ta sẽ thấy rằng nếu một ma trận thỏa mãn RIP, sau đó nó cũng thỏa mãn NSP. Như vậy, RIP hoàn toàn ưu điểm hơn NSP.

Định lý 1.5. Giả sử rằng A thỏa mãn điều kiện RIP trật tự 2K với 2k < √ - 1. Sau đó, A thỏa mãn điều kiện NSP trật tự 2K với hằng số

2 2 2 1 (1 2) k k C     

Việc chứng minh định lý này liên quan đến hai bổ đề hữu ích. Đầu tiên theo hướng trực tiếp từ bất đẳng thức tiêu chuẩn bằng cách liên kết một vector K - thưa đến một vector trong tập Rk.