Các phương pháp được trong phần này áp dụng cho thiết kế beamformer để xấp xỉ một đáp ứng thiết kế tùy ý. Đây là điều quan tâm trong nhiều ứng dụng khác nhau. Ví dụ ta muốn nhận các tín hiệu đến từ một loạt các hướng, trong trường hợp này đáp ứng mong muốn là duy nhất trên toàn bộ phạm vi. Một ví dụ khác, ta biết là có nhiều nguồn nhiễu mạnh đến từ các hướng trong phạm vi nhất định, trong trường hợp này, đáp ứng mong muốn là bằng không trong phạm vi này. Hai ví dụ này tương đương với lọc thông dải và lọc chắn dải FIR.
Xem xét việc chọn w, sao cho đáp ứng thực tế ( ) ( ) xấp xỉ đáp ứng theo thiết kế ( ). Tương tự kĩ thuật Ad hoc sử dụng trong thiết kế bộ lọc FIR có thể được sử dụng để lựa chọn w. Ngoài ra, các phương pháp thiết kế tối ưu hóa chính thức có thể được sử dụng. Ở đây, để minh họa cho các thiết kế tối ưu chung, ta chỉ xem xét lựa chọn w để giảm thiểu bình phương trọng số trung bình của sự khác biệt giữa đáp ứng thiết kế.
Xem xét việc giảm bình phương lỗi giữa đáp ứng thực kế và đáp ứng thiết kế ở điểm P( ), . Nếu , ta thu được bình phương nhỏ nhất:
| | (1.12)
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 15
[ ( ) ( ) ( )] (1.13)
[ ( ) ( ) ( )] (1.14)
Với điều kiện là là khả nghịch, và nghiệm của (1.12) được cho bởi:
(1.15)
Với ( ) A là giả nghịch đảo của A.
Một chú ý quan trọng trong phần này. Tăng ích nhiễu trắng của beamformer được định nghĩa như là năng lượng đầu ra của phương sai đơn vị nhiễu trắng ở các phần tử. Do vậy, chuẩn bình phương của vector trọng số, đại diện cho tăng ích nhiễu trắng. Nếu độ tăng ích nhiễu trắng là lớn, thì độ chính xác bởi việc xấp xỉ đáp ứng thiết kế w là một điểm bởi vì đầu ra beamformer sẽ có SNR thấp do có sự can thiệp của nhiễu trắng. Nếu A trong tình trạng xấu, thì w có thể có một chuẩn rất lớn và vẫn xấp xỉ đáp ứng thiết kế. Ma trận A trong tình trạng xấu khi số chiều hiệu quả của không gian được mở rộng bởi ( ) là ít hơn N. Ví dụ, nếu chỉ có một hướng nguồn được lấy mẫu, sau đó các số hạng của vector A là xấp xỉ
được cho bởi TBWP với hướng đó. Hạng của ma trận xấp xỉ A và A+ có thể được
dùng bất cứ khi nào hạng của ma trận nhỏ hơn N. Điều này đảm bảo rằng định mức của w sẽ không quá lớn hơn cần thiết.
Hướng và tần số cụ thể được thể hiện ở công thức (1.12) bằng cách lựa chọn các điểm lấy mẫu ( ) và/hoặc các trọng số không đều của lỗi ở mỗi ( )
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 16
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 17
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 18
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 19
Từ (a) đến (e) ta xét một mảng 16 phần tử băng hẹp cách đều nhau một khoảng bằng một nửa bước sóng. Trong hình (a) (b) (c) độ lớn của trọng số và beampattern trong hệ tọa độ cực được thể hiện, tương ứng một beamformer Dolph- Chebyshev với búp sóng -30dB. Trong hình (d) và (e) các beampatterns được biểu diễn về mặt beamformers tối ưu thống kê mà được thiết kế để giảm thiểu năng lượng đầu ra đảm bảo rằng đáp ứng thống nhất để góc tới bằng 18o. Năng lượng được giả định là đi đến mảng từ một vài nguồn nhiễu. Trong hình (d) một vài nguồn nhiễu nằm giữa -200
và 230, với mỗi năng lượng 30dB sẽ tương ứng với năng lượng không có nhiễu trên một cảm biến đơn. Deep nulls được hình thành trong các hướng của nhiễu. Các nhiễu trong hình (d) nằm ở vị trí giữa 200 và 230, và cũng tương ứng với năng lượng 30dB. Một lần nữa deep nulls được hình thành ở hướng của nhiễu; mặc dù vậy, độ lớn búp sóng phụ cao hơn đáng kể ở các hướng khác. Hình (f) miêu tả độ lớn đáp ứng beamformer băng rộng LCMV ở tám tần số ở khoảng tần số
, - khi hai nhiễu đến từ các hướng -5,750 và -17,50 trong khi có nhiễu trắng. Các nhiễu có phổ trắng trong , - và có năng lượng 40dB và 30dB tương ứng với nhiễu trắng. Các điều kiện rằng buộc được thiết kế để tăng ích đơn vị và pha tuyến tính ở ngoài , - ở một DOA là 180. Mảng là 16 phần tử tuyến tính cách đều nhau với khoảng cách một nửa bước sóng ở tần số và năm bộ lọc FIR được sử dụng trong mỗi kênh phần tử.
Bảng 1.1 Tổng kết của tối ƣu các beamformer
Loại MSC Tín hiệu tham chiếu SNR cực đại LCMV Định nghĩa – Dữ liệu phụ – Dữ liệu chính * + * + Đầu ra: – dữ liệu mảng – Tín hiệu mong muốn * + * + – dữ liệu mảng – thành phần tín hiệu – thành phần nhiễu – dữ liệu mảng – ma trận giới hạn * + Đầu ra:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 20 Đầu ra: * + * + Đầu ra: Tiêu chuẩn *| | + *| | + * + Trọng số tối ưu , - Ưu điểm
Đơn giản Hướng của tín hiệu có thể không biết SNR đạt cực đại đúng Linh hoạt và hạn chế chung chung Nhược điểm Yêu cầu sự không có mặt của tín hiệu mong muốn ở các kênh phụ để xác định trọng số Phải tạo ra tín hiệu tham chiếu Phải biết và Giải quyết vấn đề riêng với các trọng số
Phải tính toán vector trọng số giới hạn. Tài liệu tham khảo Applebaum [1976] Widrow [1967] Monzingo and Miller [1980] Frost [1972]
1.4 Định hƣớng búp sóng tối ƣu thống kê
Trong định hướng búp sóng tối ưu về mặt thống kê, các trọng số được lựa chọn dựa trên dữ liệu thống kê nhận được tại mảng. Nói một cách sơ lược, mục tiêu
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 21
là để “tối ưu” đáp ứng beamformer sao cho đầu ra chứa nhiễu và các tín hiệu can nhiễu ít nhất. Ta sẽ đưa ra một vài tiêu chí khác nhau cho sự lựa chọn các trọng số của beamformer tối ưu thống kê. Bảng 1.1 tổng kết những cách tiếp cận khác nhau. Nếu có thể, phương trình mô tả tiêu chuẩn và các trọng số được giới hạn trong bảng 1.1. Sự xác định các trọng số khi các thống kê dữ liệu là không biết hoặc thời gian khác nhau được thảo luận ở các thuật toán thích nghi.
1.4.1 Multiple Sidelobe Canceller (MSC)
Multiple sidelobe canceller (MSC) là beamformer tối ưu về mặt thống kê sớm nhất. Một MSC bao gồm một “kênh chính” và có một hoặc nhiều hơn “kênh phụ” như được miêu tả trong hình 1.6(a). Kênh chính có thể là một antenna đơn tăng ích cao hoặc là một beamformer độc lập dữ liệu. Nó có đáp ứng hướng cao, được định hướng theo hướng tín hiệu mong muốn. Các tín hiệu can nhiễu được giả định thông qua búp sóng kênh chính. Các kênh phụ chỉ nhận các tín hiệu can nhiễu. Mục tiêu là để lựa chọn các trọng số kênh phụ để xóa bỏ các thành phần nhiễu kênh chính. Điều này có nghĩa là các đáp ứng với các nhiễu của kênh chính và tổ hợp tuyến tính các kênh phụ phải giống hệt nhau. Hệ thống tổng thể sau đó có một đáp ứng không (zero) như được miêu tả ở hình 1.6(b). Các trọng số thường được chọn để lợi dụng sự ngăn chặn nhiễu đối với tăng ích nhiễu trắng bằng cách giảm thiểu giá trị dự tính của tổng năng lượng đầu ra như miêu tả trong hình 1.1.
Lựa chọn trọng số để giảm thiểu năng lượng đầu ra có thể làm hỏng tín hiệu mong muốn bởi vì nó cũng góp phần vào tổng năng lượng đầu ra. Trong thực tế, khi tín hiệu mong muốn mạnh lên, nó góp phần lớn trong tổng năng lượng đầu ra và phần tỷ lệ lỗi hỏng cũng tăng lên. Đây là điều không mong muốn. MSC khá hiệu quả trong các ứng dụng mà có tín hiệu mong muốn rất yếu (tương quan với nhiễu), từ đó các trọng số tối ưu ta sẽ không phải quan tâm nữa, hoặc khi tín hiệu mong muốn được biết là vắng mặt trong một khoảng thời gian nhất định. Các trọng số sau
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 22
đó có thể thích nghi trong khi không có tín hiệu mong muốn và giữ nguyên khi có tín hiệu.
(a) (b)
Hình 1.6 Multiple sidelobe canceller (MSC)
MSC bao gồm một kênh chính và một vài kênh phụ như được miêu tả trong hình (a). Các trọng số kênh phụ được chọn để “hủy” nhiễu đi qua búp sóng kênh chính. (b) mô tả đáp ứng của kênh chính, nhánh phụ và hệ thống tổng thể khi có một nhiễu đến từ hướng .
1.4.2 Sử dụng tín hiệu tham chiếu
Nếu tín hiệu mong muốn đã biết, các trọng số được lựa chọn để giảm thiểu lỗi giữa đầu ra beamformer và tín hiệu mong muốn. Tất nhiên tin tức của tín hiệu thiết kế loại bỏ sự cần thiết của định hướng búp sóng. Mặc dù vậy, với một số ứng dụng, đủ để có thể biết được tín hiệu mong muốn để tạo ra một tín hiệu mà có liên quan chặt chẽ. Tín hiệu này được gọi là tín hiệu tham chiếu. Theo bảng 1.1, các
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 23
trọng số được chọn để giảm thiểu bình phương trung bình lỗi giữa đầu ra beamformer và tín hiệu tham chiếu.
Vector trọng số phụ thuộc vào phương sai chéo (the cross covariance) giữa tín hiệu mong muốn kí hiệu là x và tín hiệu tham chiếu. Hiệu suất chấp nhận được được tính bằng phương sai của tín hiệu mong muốn chưa biết với chính nó. Ví dụ, nếu tín hiệu mong muốn là tín hiệu điều biên, hiệu suất chấp nhận được thường thu được bằng cách thiết lập tín hiệu tham khảo bằng với sóng mang. Cũng giả định rằng các tín hiệu tham chiếu là không tương quan với tín hiệu can nhiễu ở x. Trên thực tế,ta không cần quan tâm hướng của tín hiệu mong muốn là một tính năng phân biệt của phương pháp tiếp cận tín hiệu tham chiếu. Vì lý do này, đôi khi nó được gọi là định hướng búp sóng “mù”. Các kĩ thuật định hướng búp sóng “mù” khác chọn các trọng số bằng cách khai thác các thuộc tính của tín hiệu mong muốn như là mô đun liên tục, các thống kê bậc thứ ba và bậc cao hơn nữa.
1.4.3 Tối đa hóa tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu (SNR)
Ở đây các trọng số được lựa chọn để tối đa hóa trực tiếp tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu (SNR) như mô tả trong bảng 1.1. Một giải pháp chung cho các trọng số là cần biết cả tín hiệu mong muốn và nhiễu , các ma trận phương sai. Để biết được những điều trên thì phụ thuộc vào ứng dụng. Ví dụ, trong một hệ thống rada chủ động có thể được ước lượng trong suốt thời gian không có tín hiệu được truyền và có thể thu được từ các xung truyền đã biết và hướng quan tâm. Nếu các thành phần của tín hiệu là băng hẹp, có tần số và có có hướng , thì
( ) ( ) từ kết quả trong phần 1.2. Trong trường hợp này, các trọng số thu được là:
( ) (1.16)
Với α là một hằng số phức khác không nào đó. Thế phương trình (1.16) vào biểu thức của SNR cho thấy SNR độc lập với giá trị được chọn α.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 24
1.4.4 Định hƣớng búp sóng tuyến tính hạn chế tối thiểu phƣơng sai
Trong nhiều ứng dụng khác với các ứng dụng ở trên, tín hiệu mong muốn có thể không biết độ lớn và có thể luôn luôn có mặt, dẫn đến kết quả bị hủy bỏ với MSC và ngăn chặn các ước lượng các ma trận phương sai của tín hiệu và nhiễu trong bộ xử lý cực đại SNR. Thiếu các thông tin về tín hiệu mong muốn có thể ngăn chặn việc tiếp cận tín hiệu tham chiếu. Những hạn chế này có thể được khắc phục thông qua việc áp dụng các ràng buộc tuyến tính với vector trọng số. Việc sử dụng các ràng buộc tuyến tính là một cách tiếp cận rất chung mà cho phép mở rộng quyền kiểm soát các đáp ứng thích nghi của beamformer. Phần này sẽ minh họa các rằng buộc tuyến tính được sử dụng như thế nào để điều khiển đáp ứng beamformer, thảo luận về các vấn đề tối ưu ràng buộc tuyến tính định hướng búp sóng, và giới thiệu về cấu trúc tổng quát để loại bỏ búp sóng phụ.
Ý tưởng cơ bản đầu tiên đằng sau định hướng búp sóng hạn chế tối thiểu sai số (LCMV) là để hạn chế đáp ứng của beamformer thì các tín hiệu đến từ hướng ta quan tâm được thông qua với tăng ích và pha xác định. Các trọng số được chọn để giảm thiểu sai số đầu ra hoặc năng lượng của đối tượng để hạn chế đáp ứng. Điều này có tác dụng bảo vệ các tín hiệu mong muốn trong khi giảm thiểu các các thành phần ở đầu ra như tín hiệu can nhiễu hoặc nhiễu đến từ các hướng khác nhiều hơn ở hướng mong muốn. Bộ lọc tương tự FIR có trọng số được lựa chọn để tối thiểu hóa năng lượng các thành phần ở đầu ra bộ lọc để hạn chế các đáp ứng của tín hiệu có tần số .
Trong phần 1.2 ta thấy rằng đáp ứng beamformer với một nguồn ở góc và tần số được tính bởi: ( ). Do vậy, bằng cách hạn chế tuyến tính các trọng số thỏa mãn ( ) = g với g là hằng số phức, đảm bảo rằng mọi tín hiệu đến từ góc và có tần số được thông qua đầu ra với đáp ứng g. Giảm thiểu các thành phần ở đầu ra do nhiễu (các tín hiệu không đến từ hướng với tần số ) được thực hiện bằng cách chọn các trọng số để tối thiểu hóa năng lượng đầu ra hoặc sai số
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 25
tùy thuộc vào ( ) = g*
(1.17)
Phương pháp hệ số nhân Lagrange có thể được dùng để giải phương trình (1.17), kết quả là:
g*
( )
( ) ( ) (1.18)
Chú ý rằng, trong thực tiễn, sự hiện diện của nhiễu không tương quan sẽ đảm bảo là khả nghịch. Nếu g = 1,thì công thức (1.18) thường được gọi là beamformer đáp ứng sai số tối thiểu không biến dạng (MVDR). Điều này được thể hiện trong phương trình (1.18) tương đương với nghiệm SNR cực đại trong (1.16) bằng cách thế ( ) ( ) cho trong công thức (1.18) và áp dụng các bổ để của ma trận nghịch đảo.
Các hạn chế tuyến tính đơn trong công thức (1.17) dễ dàng tổng quát hóa thành các hạn chế tuyến tính để thêm quyền kiểm soát beampattern. Ví dụ, nếu có một nguồn gây nhiễu cố định ở một hướng chưa biết , sau đó ta muốn tăng ích Zero theo hướng đó và thêm cả việc duy trì đáp ứng g với tín hiệu mong muốn. Điều này được thể hiện:
* ( )
( )+ 0
1 (1.19)
Nếu có hạn chế tuyến tính trên w, ta viết chúng dưới dạng với ma trận C có kích thước và vector f có L chiều được gọi là ma trận hạn chế và vector đáp ứng. Những hạn chế được giả định là độc lập tuyến tính bởi vậy C có hạng L. vấn đề LCMV và nghiệm với phương trình hạn chế tổng quát hơn được cho trong bảng 1.1.
Một số lý thuyết khác nhau có thể được sử dụng cho việc lựa chọn ma trận giới hạn và vector đáp ứng. Các tiếp cận điểm đặc trưng, đạo hàm và giới hạn vector đặc trưng là phổ biến. Mỗi giới hạn tuyến tính sử dụng một bậc tự do trong
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009 Page | 26
vector trọng số, do đó với L các giới hạn, chỉ có bậc tự do có sẵn để tối thiểu hóa sai số.
Generalized sidelobe canceller (GSC) đại diện cho công thức khác của vấn đề LCMV, với những gì đã biết, rất hữu ích cho việc phân tích và có thể làm đơn giản việc thực hiện LCMV beamformer. Nó cũng minh họa cho mỗi quan hệ giữa