I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHĂNG &
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai a x2 + bx + c = 0 với a, b, c e R , a * 0. Xĩt biệt số A = b 2 - 4ac của phương trình. Ta thấy :
• Khi A > 0 , có hai căn bậc hai (thực) của A lă ±VÊ vă phương trình có hai nghiím thực phđn biệt, được xâc định bởi công thức
—b ± -v/Ê
• Khi A < 0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của A .
Tuy nhiín, trong trường hợpA < 0 , nếu xĩt trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai ảo của A lă ± i^ jÊ Ị. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xâc định bởi công thức
V í dụ. Giải phương trình X2 + X + 1 = 0 trín tập hợp số phức.
Ta có A = 1 - 4 = - 3 . Vậy phương trình đê cho có hai nghiệm phức lă -1 ± 3
Xỉ’2 ■ 2 ■ NHẬN XĨT
Trín tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phđn biệt).
Tổng quât, người ta đê chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n > 1
aQx n + ũ ] X n ^ + ... + u n _ ị X + u n — 0,
trong đó íiQ, Oị, ..., a ne c, a0 ^ 0 đều có n nghiệm phức (câc nghiệm không nhất thiết phđn biệt).
Đó lă định lí cơ bản của Đại số học.
Băi tạp
1. Tìm câc căn bậc hai phức của câc số sau :
- 7; - 8; - 1 2; - 2 0; - 121.
>
2. Giải câc phương trình sau trín tập hợp số phức : a) —3x + 2x — 1 — 0 \
b ) l x 2 + 3jc + 2 = 0 ;
c) 5 x2 — 7jc + 11 = 0 .
3. Giải câc phương trình sau trín tập hợp số phức : a ) jc4 + JC2 - 6 = 0 ;
b ) jc4 + l x 2 + 10 = 0.
4. Cho a, b, c 6 R, a * 0, Zị, z2 lă hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình ax2 + bx + c = 0 . Hêy tính Zj + z2 vă Zj .z2 theo câc hệ số a, b, c.
5. Cho z = ư + bi lă m ột số phức. Hêy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận ĩ vă ĩ lăm nghiệm.
trong đó nlă một số nguyín dương ; aQ, ... a lă câc số đê cho vă được gọi lă câc hệ số của phương trình, X lă ẩn số vă lă số phải tìm. Nếu aQ * 0 thì n lă bậc của phương trình.
Việc nghiín cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại số vă tìm công thức tính nghiệm của nó đê thu hút công sức của nhiều nhă toân học, trong nhiều thế kỉ. Chính từ những nghiín cứu đó đê ra đời ngănh Đại số vă thúc đẩy sự phât triển của nhiều lĩnh vực toân học khâc.
Từ 2000 năm trước Công nguyín, người Ai Cập vă người Babilon cổ đê biết giải câc phương trình bậc nhất vă một số trường hợp riíng của câc phương trình bậc hai vă bậc bạ
Lí thuyết giải phương trình bậc hai được trình băy lần đầu tiín trong cuốn sâch "Số học” của Đi-ô-phăng (Diophantus), nhă bâc học cổ Hi Lạp thế kỉ IIỊ cần chú ý rằng
B Ă I Đ O C T H Í M
P H Ư Ơ N G T R I N H Đ Ạ I s ố
Phương trình đại số lă phương trình dạng
vấn đề có nghiệm của phương trình đại số luôn gắn với sự mở rộng câc tập hợp số. Chẳng hạn, phương trình * + 3 = 0 không có nghiệm trong tập hợp sô' tự nhiín N , nhưng có nghiệm trong tập hợp câc số nguyín z . Phương trình 3* + 2 = 0 không có nghiệm trong tập hợp câc số nguyín z , nhưng có nghiệm trong tập hợp câc số hữu tỉ Q .
Tổng quât, trín tập hợp câc số hữu tỉ ọ mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm. Nhờ việc mở rộng từ tập hợp câc số hữu tỉ Q sang tập hợp câc số thựcR, một lớp câc phương trình bậc hai dạng ax2 + b x + c = 0 với biệt số
A = b2 - 4ac > 0 có nghiệm.
Công thức xâc định nghiệm của phương trình bậc hai
—bịs[Ê
đê được biết từ thế kỉ thứ VI vă điều đó thúc đẩy câc nhă toân học đi tìm công thức tính nghiệm của câc phương trình bậc ba, bậc bốn,... Tuy nhiín, phải mười thế kỉ sau (thế kỉ XVI), công thức tính nghiệm của phương trình bậc ba vă thuật toân giải phương trình bậc bốn mới được câc nhă toân học l-ta-li-a tìm rạ
Nghiệm của phương trình bậc ba
Câc-đa-nô đê công bố công thức năy năm 1545, trong quyển sâch "Nghệ thuật lớn của phĩp giải câc phương trình đại số".
2 3
Lẽ tư nhiín, ta coi biểu thức trín có nghĩa khi đai lương A = — + — lă không đm. 4 27
Đại lượng A cũng được gọi lă biệt số của phương trình (*). Tuy nhiín, dễ chỉ ra những phương trình bậc ba với biệt số A < 0, mă vẫn có nghiệm thực. Chẳng hạn, xĩt phương trình
*3 -7*+ 6 = 0.
Phương trình năy có ba nghiệm lă - 3 , 1 , 2 nhưng biệt số 4
* =
2 a
* 3 + p x + q = 0
được cho bởi công thức sau (thường gọi lă công thức Câc-đa-nô) :
n