I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHĂNG &
188 4 1974) hoăn thiện.
Để định nghĩa tích phđn, câc nhă toân học ở thế kỉ XVII vă XVIII không dùng đến khâi niệm giới hạn. Thay văo đó, họ nói "tổng của một số vô cùnạ lớn những số hạng vổ cùng nhỏ” . Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong lă tong của một số vổ cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Dựa trín cơ sở năy, Kí-ple (Kepler, 1571 - 1630) đê tính một câch chính xâc nhiều diện tích vă thể tích. Câc nghiín cứu năy được Ca-va-li-ơ-ri (Cavalierie,1598 - 1647) tiếp tục phât triển.
Dưới dạng trừu tượng, tích phđn đê được Lai-bơ-nlt định nghĩa vă đưa văo kí hiệu /. Tín goi "tích phđn" do Bec-nu-li (Jacob Bernoulli, 1654 - 1705), học trò của Lai-bơ-nit đề xuất.
Như vậy, tích phđn đê xuất hiện độc lập với đạo hăm vă nguyín hăm. Do đó, việc thiết lập liín hệ giữa tích phđn vă nguyín hăm lă một phât minh vĩ đại của Niu-tơn vă Lai-bơ-nit.
Khâi niệm hiện đại về tích phđn, xem như giới hạn của câc tổng tích phđn, lă của Cô-si vă Ri-man.
B Ă I Đ O C T H Í M
T Í N H D I Ệ N T Í C H B Ằ N G G I Ớ I H Ạ N
1. T ín h d iệ n tíc h h ìn h th a n g c o n g
Xĩt hình thang cong giới hạn bởi câc đường X = a , Jt = h (a < b), y = 0 vă y = f(x),
trong đó /(x) lă hăm số liín tục, không đm trín đoạn [a ; b.
Để tính diện tích của hình thang cong trín, ta dùng phĩp chia nhỏ, xấp xỉ bởi một hình bậc thang vă chuyển qua giới hạn.
Ta chia đoạn ịa ; b\ thănh n phần tuỳ ý bởi câc điểm x0, xv .... xnsao cho
a = Xq < Xị <... < xn = b.
Từ câc điểm chia, vẽ câc đường thẳng song song với trục Oy, tương ứng chia hình thang cong thănh n hình thang cong nhỏ (H.64a).
Tại mỗi hình thang cong X _\A B.X , ta dựng một hình chữ nhật có đây lă đoạn [x._ị; xị] vă chiều cao bằng /(£ .) với 4ị lấy tuỳ ý trín đoạn íJrf_j ;■*,•] (H.64b). Hình chữ nhật nhận được x-_xM.N.Xị có diện tích bằng
Số năy xấp xỉ diện tích hình thang cong Xị_xAịBịXr
Kí hiệu s lă diện tích hình thang cong aABb cẩn tìm, ta có
s * /(£ , )(*! - x 0) + / ( £ )(x2 - Jtj) +... + f { ện ) ự n -Xn _ x),
hay S * ỵ n ệ i X x. - x. _l ). (1)
;=1
Xấp xỉ năy căng chính xâc nếu tất cả câc hiệu số X ị căng nhỏ. Sự kiện năy gợi ý cho ta về phĩp chuyển qua giới han khi m a x (jc; - X ị ,) dần tới 0 để thu đươc diện tích
Ìắ/ắn
hình thang cong aABb.
Xĩt
lim y f { L)ự. - X ị ,) khi m a x ( Xị - X ị _ x) -> 0. (2)
i=l
Người ta chứng minh được rằng nếu f(x) liín tục trín đoạn \a ; b\ thì giới hạn (2) luôn tồn tại không phụ thuộc câch chia đoạn \ a ; b \ vă câch lấy điểm ệị e [ j r (. _ ị ; JT(. ] ,
Vậy
n
S = ỉ i m Y f ( ệ ị )(xi - x i_l ) khi m ax (Xị — X ị, ) —» 0.
«=1 lsís"
(3)
2 . Âp d ụ n g
Nhờ giới hạn dạng (3), ta có thể tính được diện tích một số hình phẳng.
Ví d ụ 1. Tính diện tích hình thang cong y
giới hạn bởi câc đường
y = x2,y = 0, x = 0 v ă x = 1.
Giảị Ta tiến hănh theo phương phâp trín nhưng chia đoạn ịa ; b\ thănh nphần bằng nhau, tức lă độ dăi câc đoạn [ * . , ; * . ] bằng - . Điểm ậ. đươc chon lă mút trâi
n
của đoạn[jrf_j ; JC#. ], ệị = Xị_y Khi đó
/ ( £ ) = [ — ) ,/ = 1, 2, n (H.65). Ta lập tổng dạng (1) ' ( l + 2 2 + . . . + ( „ . , ) 2 ) = * Ĩ Z Ì ) S ĩ Z Ĩ > «3 6 n3 Hình 65 ( n - ỉ ) ( 2 n - \ ) 6 n2 ' Vậy tì
5 = lim Ỵ Jf ( ệ i )(xi - x i_x) = lim h->+oo~Ị n->+'
(n -l)(2 n -l) 1
M->+CO
(vì chia đều đoan [a ; b] nín max(jr. ~x._, )->0<=>n->+00).
1 <i<.n ' 1 1
Ví d ụ 2. Tính diện tích hình tròn bân kính R.
Giảị Vì diện tích hình tròn không phụ thuộc vị trí của nó trong mặt phẳng Oxy
nín để xâc định, ta giả sử tđm hình tròn trùng với gốc toạ độ. Hình tròn đối xứng qua tđm, nín ta chỉ cần tính diện tích của phần nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ.
Hình tròn được giới hạn bởi đường tròn có phương trình lă X 2 + y 2 = R 2 . Ta có thể viết phương trình năy ở dạng tham số
X = Rcost, y = Rsint, 0 < t < 2 n .
Ta tính diện tích phần tư hình tròn được giới hạn bởi cung tròn x = Rco$t, y = Rs\nt
Ị^O < t < — j vă hai trục toạ độ X = 0 vă y = 0.
-*0= ° ’ yo = R-
Lập tổng dạng (1), ta được
7=1 1=1
= 2R2Ỵ 'sin(/7-/)— .sin (2 n -2 / + 1)— . sin —
“ 7=1 2/7 4/7 4/7 = 2R2sin — 4/7 sin(/7 - 1 ) — ,sin(2/7 - 1 ) — + 2/7 4/7 = R2sin — 4/7 n 71 . n . 3n
+ sin(/7 - 2)— sin(2rt - 3) —-+... + sin— sin
2/7 4/7 2/7 4/7,
1 cos— — cos(4/7-3)— 1+ cos--- cos(4/7 —7)— +
V 4n 4/7 2 V 4/7 4/7 2 = R2cos— ,(/7 -l)sin —— 4/7 4/7 - t f 2 s i n - 4/7 71 7t +...+ COS-—— cos5—— V 4/7 4/7 ^ 7t - 71 -.71
cos5 — + cos9— + ... + cos(4/7 - 3 ) —
Vì cos5x + c o s9 .í+ ... + cos( 4 /7 - 3 )jc: nín tổng trín viết thănh n X /(£;)(-*; - Xi- 1 ) = R2 c o s - ^ - .( n - l) s in -^ - - R i=\ 4n 4/7 sin(4/2 -l)* -s in 3 Ă ' 2sin2jt • / J . V 7 Ĩ . __3t x sin(4/7 -1 ) — - sin —- ° 2 sin-71 4" 4" 4/7 • 2tu 2 sin —— 4/7 = /?2 cos— .(/7 -1 )sin — - / ? 2 4/7 4/7 ị sin (4 /7 -l)— - s i n — ì V 4/7 An) . 7 1 4 cos — 4/7
Chuyển qua giới han đẳng thức trín khi n- > +00 (vì maxCr. - JC._,) - » 0 <=> n- > -H »),
i<i</7 ' ' 1
ta được
tì
s = lim Ỵ j f ( ệ i)(xi - X i_x) =
/?-»+ooT"7/=1 = lim //—>+00 , sin — R2 co s— . - ( 1 - 1 ) — ả ỉL -R 2 4/7 4 /I _rc_ 4/7 sin(4/? - 1 ) — - sin — ________ 4/7_____ 4/7 4 cos— 4/7 7ĩ/?z
Vậy điện tích hình tròn bằng 7iR2